Theorem zcnd 11359

Description: An integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
zcnd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem zcnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
2	1	zred 11358	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	recnd 9947	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  ℂcc 9813  ℤcz 11254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-resscn 9872

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-iota 5768  df-fv 5812  df-ov 6552  df-neg 10148  df-z 11255

This theorem is referenced by:  zsupss  11653  rpnnen1lem5  11694  rpnnen1lem5OLD  11700  fzm1  12289  fzrevral  12294  fzshftral  12297  nn0disj  12324  predfz  12333  fzoss2  12365  fzo0addelr  12390  fzosubel  12394  fzosubel3  12396  fzocatel  12399  fzosplitsnm1  12409  elfzom1elp1fzo1  12434  2tnp1ge0ge0  12492  quoremz  12516  intfrac2  12519  intfracq  12520  flpmodeq  12535  moddiffl  12543  modmul1  12585  modmul12d  12586  modfzo0difsn  12604  modsumfzodifsn  12605  addmodlteq  12607  uzrdgxfr  12628  fzen2  12630  monoord2  12694  seqf1olem1  12702  seqf1olem2  12703  seqz  12711  expaddzlem  12765  modexp  12861  sqoddm1div8  12890  bcm1k  12964  bcp1nk  12966  bcval5  12967  bcpasc  12970  hashfz  13074  hashfzo  13076  hashfzp1  13078  hashbclem  13093  seqcoll  13105  ccatval3  13216  ccatlid  13222  ccatass  13224  ccatalpha  13228  swrd0val  13273  swrdid  13280  swrd0fv  13291  swrdfv2  13298  swrds1  13303  ccatswrd  13308  swrdswrd0  13314  spllen  13356  splfv1  13357  splfv2a  13358  revccat  13366  revrev  13367  cshwidxmod  13400  cshwidxm1  13404  cshweqrep  13418  2cshwcshw  13422  cshimadifsn0  13427  seqshft  13673  fzomaxdif  13931  climshft2  14161  iserex  14235  isercoll2  14247  serf0  14259  iseraltlem2  14261  iseraltlem3  14262  iseralt  14263  sumrblem  14289  fsumm1  14324  fsumsplitsnun  14328  fsump1  14329  fsumshftm  14355  fsumrev2  14356  telfsumo  14375  fsumparts  14379  binomlem  14400  isumshft  14410  isumsplit  14411  isum1p  14412  arisum  14431  cvgrat  14454  mertenslem1  14455  ntrivcvg  14468  ntrivcvgtail  14471  prodrblem  14498  fprodser  14518  fprodm1  14536  fprodp1  14538  fprodrev  14546  fprodmodd  14567  fallfacval3  14582  fallfacfwd  14606  0fallfac  14607  binomfallfaclem2  14610  fallfacval4  14613  fsumkthpow  14626  eirrlem  14771  sqr2irrlem  14816  dvds2ln  14852  dvdsadd2b  14866  fsumdvds  14868  fzocongeq  14884  addmodlteqALT  14885  dvdsexp  14887  dvdsmod  14888  3dvds  14890  3dvdsOLD  14891  fprodfvdvdsd  14896  odd2np1  14903  oddm1even  14905  oexpneg  14907  mod2eq1n2dvds  14909  mulsucdiv2z  14915  zob  14921  ltoddhalfle  14923  sumodd  14949  pwp1fsum  14952  divalglem0  14954  divalglem4  14957  divalglem8  14961  divalgb  14965  divalgmod  14967  divalgmodOLD  14968  modremain  14970  flodddiv4  14975  bitsp1  14991  bitsfzo  14995  bitsmod  14996  bitsinv1lem  15001  bitsf1  15006  sadaddlem  15026  bitsres  15033  bitsuz  15034  bitsshft  15035  smumullem  15052  modgcd  15091  bezoutlem1  15094  bezoutlem2  15095  bezoutlem3  15096  bezoutlem4  15097  dvdsmulgcd  15112  rplpwr  15114  lcmid  15160  absprodnn  15169  mulgcddvds  15207  divgcdcoprm0  15217  cncongr1  15219  cncongr2  15220  rpexp  15270  qmuldeneqnum  15293  numdensq  15300  qden1elz  15303  hashdvds  15318  phiprm  15320  eulerthlem2  15325  fermltl  15327  prmdiv  15328  prmdiveq  15329  hashgcdlem  15331  odzdvds  15338  vfermltlALT  15345  modprm0  15348  modprmn0modprm0  15350  pythagtriplem6  15364  pythagtriplem7  15365  pythagtriplem15  15372  pcpremul  15386  pceulem  15388  pczpre  15390  pcdiv  15395  pcqmul  15396  pcqdiv  15400  pcexp  15402  pcaddlem  15430  pcadd  15431  fldivp1  15439  pcfac  15441  pcbc  15442  prmpwdvds  15446  prmreclem4  15461  4sqlem5  15484  4sqlem8  15487  4sqlem9  15488  4sqlem10  15489  4sqlem11  15497  4sqlem14  15500  4sqlem16  15502  4sqlem17  15503  vdwapun  15516  vdwnnlem2  15538  prmop1  15580  prmdvdsprmo  15584  prmgaplem7  15599  prmlem0  15650  mulgsubcl  17378  mulgdirlem  17395  mulgdir  17396  mulgass  17402  mulgmodid  17404  mulgsubdir  17405  psgnunilem5  17737  psgnunilem2  17738  psgnunilem4  17740  m1expaddsub  17741  psgnuni  17742  odnncl  17787  odmulg  17796  odbezout  17798  sylow1lem1  17836  sylow2alem2  17856  efgsres  17974  efgredleme  17979  efgredlemc  17981  odadd1  18074  odadd2  18075  cyggeninv  18108  gsummptshft  18159  ablfacrp  18288  pgpfac1lem3  18299  srgbinomlem3  18365  srgbinomlem4  18366  zringmulg  19645  zringlpirlem1  19651  zringlpirlem3  19653  prmirredlem  19660  zndvds0  19718  znf1o  19719  znunit  19731  cayhamlem1  20490  tgpmulg  21707  zdis  22427  uniioombllem3  23159  mbfi1fseqlem4  23291  dvexp3  23545  aareccl  23885  aalioulem1  23891  geolim3  23898  aaliou3lem2  23902  aaliou3lem6  23907  ulmshft  23948  sineq0  24077  efif1olem2  24093  igamz  24574  wilthlem1  24594  wilthlem2  24595  basellem3  24609  mumul  24707  musum  24717  musumsum  24718  muinv  24719  ppiub  24729  chtub  24737  logfac2  24742  chpchtsum  24744  dchrptlem1  24789  pcbcctr  24801  bcmono  24802  bposlem5  24813  bposlem6  24814  lgslem1  24822  lgsval2lem  24832  lgsval4a  24844  lgsneg  24846  lgsneg1  24847  lgsmod  24848  lgsdirprm  24856  lgsdir  24857  lgsdilem2  24858  lgsdi  24859  lgsne0  24860  lgsabs1  24861  lgssq  24862  lgssq2  24863  lgsmulsqcoprm  24868  lgsdirnn0  24869  lgsdinn0  24870  lgsqrlem1  24871  gausslemma2dlem1a  24890  gausslemma2dlem1  24891  gausslemma2dlem4  24894  gausslemma2dlem5a  24895  gausslemma2dlem5  24896  gausslemma2dlem6  24897  gausslemma2d  24899  lgseisenlem1  24900  lgseisenlem2  24901  lgseisenlem3  24902  lgseisenlem4  24903  lgsquadlem1  24905  lgsquad2lem1  24909  lgsquad3  24912  2lgslem1b  24917  2lgsoddprmlem2  24934  2sqlem3  24945  2sqlem4  24946  2sqlem8a  24950  2sqlem8  24951  2sqlem11  24954  2sqblem  24956  dchrisumlem1  24978  dchrmusum2  24983  dchrvmasumlem1  24984  dchrvmasum2lem  24985  mudivsum  25019  mulogsum  25021  mulog2sumlem2  25024  selberglem1  25034  selberglem3  25036  selberg  25037  pntpbnd2  25076  pntlemf  25094  padicabvcxp  25121  axlowdimlem14  25635  axlowdimlem16  25637  wlkdvspthlem  26137  fargshiftf1  26165  fargshiftfo  26166  clwwisshclww  26335  eupatrl  26495  znsqcld  28900  fzspl  28938  bcm1n  28941  numdenneg  28950  divnumden2  28951  ltesubnnd  28955  2sqn0  28977  2sqmod  28979  archiabllem1  29078  archiabllem2c  29080  zrhnm  29341  cnzh  29342  rezh  29343  qqhval2lem  29353  qqhghm  29360  qqhrhm  29361  qqhnm  29362  ballotlemfc0  29881  ballotlemfcc  29882  ballotlemic  29895  ballotlem1c  29896  ballotlemsgt1  29899  ballotlemsdom  29900  ballotlemsel1i  29901  ballotlemsf1o  29902  ballotlemsima  29904  ballotlemfrceq  29917  ballotlemfrcn0  29918  ballotlem1ri  29923  signsplypnf  29953  divcnvlin  30871  fwddifnp1  31442  knoppndvlem2  31674  knoppndvlem7  31679  knoppndvlem14  31686  knoppndvlem16  31688  ltflcei  32567  poimirlem1  32580  poimirlem2  32581  poimirlem7  32586  poimirlem16  32595  poimirlem17  32596  poimirlem19  32598  poimirlem20  32599  poimirlem24  32603  poimirlem31  32610  poimirlem32  32611  fdc  32711  mettrifi  32723  caushft  32727  cntotbnd  32765  mzpsubmpt  36324  lzenom  36351  diophun  36355  eqrabdioph  36359  irrapxlem2  36405  irrapxlem3  36406  pellexlem6  36416  pell1234qrreccl  36436  pellfund14  36480  rmxyneg  36503  rmxyadd  36504  rmxp1  36515  rmxm1  36517  rmym1  36518  rmxluc  36519  rmyluc  36520  rmyluc2  36521  rmxdbl  36522  rmydbl  36523  congadd  36551  congsub  36555  congabseq  36559  acongrep  36565  acongeq  36568  jm2.18  36573  jm2.19lem1  36574  jm2.19lem2  36575  jm2.19lem3  36576  jm2.22  36580  jm2.23  36581  jm2.20nn  36582  jm2.25  36584  jm2.26lem3  36586  jm2.27c  36592  nzss  37538  hashnzfz  37541  hashnzfz2  37542  hashnzfzclim  37543  uzmptshftfval  37567  sineq0ALT  38195  fzisoeu  38455  fperiodmul  38459  fmul01lt1lem2  38652  sumnnodd  38697  dvdsn1add  38829  dvnmul  38833  dvnprodlem1  38836  stoweidlem11  38904  stoweidlem26  38919  dirkertrigeqlem1  38991  dirkertrigeqlem2  38992  dirkertrigeqlem3  38993  dirkertrigeq  38994  dirkeritg  38995  fourierdlem26  39026  fourierdlem48  39047  fourierdlem49  39048  fourierdlem79  39078  fourierdlem91  39090  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  fouriersw  39124  etransclem1  39128  etransclem4  39131  etransclem8  39135  etransclem9  39136  etransclem15  39142  etransclem17  39144  etransclem18  39145  etransclem20  39147  etransclem21  39148  etransclem22  39149  etransclem23  39150  etransclem24  39151  etransclem25  39152  etransclem35  39162  etransclem38  39165  etransclem41  39168  etransclem44  39171  etransclem45  39172  etransclem46  39173  etransclem47  39174  etransclem48  39175  iccpartgtprec  39958  pwdif  40039  mod42tp1mod8  40057  sfprmdvdsmersenne  40058  lighneallem3  40062  lighneallem4b  40064  modexp2m1d  40067  dfodd6  40088  onego  40097  m1expoddALTV  40099  zofldiv2ALTV  40112  oddflALTV  40113  oexpnegALTV  40126  omoeALTV  40134  omeoALTV  40135  epoo  40150  emoo  40151  epee  40152  emee  40153  evensumeven  40154  bgoldbst  40200  sgoldbaltlem2  40202  nnsum3primesprm  40206  nnsum4primesodd  40212  nnsum4primesoddALTV  40213  nnsum4primeseven  40216  nnsum4primesevenALTV  40217  bgoldbtbndlem2  40222  bgoldbtbndlem4  40224  bgoldbtbnd  40225  pfxfv  40262  ccatpfx  40272  pfxccatin12lem2  40287  2elfz2melfz  40355  fsumsplitsndif  40372  pthdadjvtx  40936  crctcsh1wlkn0lem4  41016  crctcsh1wlkn0lem5  41017  crctcshlem4  41023  crctcsh  41027  clwwisshclwws  41235  eucrctshift  41411  2zrngamnd  41731  2zrngacmnd  41732  2zrngagrp  41733  2zrngALT  41738  2zrngnmlid  41739  2zrngnmlid2  41741  ztprmneprm  41918  altgsumbcALT  41924  fldivmod  42107  m1modmmod  42110  zofldiv2  42119  fllogbd  42152  nnpw2blen  42172  blen1b  42180  blennngt2o2  42184  blennn0e2  42186  dig2nn1st  42197  dignn0flhalflem1  42207