Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fallfacval4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fallfacval4 14613
 Description: Represent the falling factorial via factorials when the first argument is a natural. (Contributed by Scott Fenton, 20-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
fallfacval4 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ((!‘𝐴) / (!‘(𝐴𝑁))))

Proof of Theorem fallfacval4
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 12634 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴) ∈ Fin)
2 elfzelz 12213 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
32zcnd 11359 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴) → 𝑘 ∈ ℂ)
43adantl 481 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)) → 𝑘 ∈ ℂ)
51, 4fprodcl 14521 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)𝑘 ∈ ℂ)
6 fzfid 12634 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (1...(𝐴𝑁)) ∈ Fin)
7 elfznn 12241 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
87adantl 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))) → 𝑘 ∈ ℕ)
98nncnd 10913 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))) → 𝑘 ∈ ℂ)
106, 9fprodcl 14521 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘 ∈ ℂ)
118nnne0d 10942 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))) → 𝑘 ≠ 0)
126, 9, 11fprodn0 14548 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘 ≠ 0)
135, 10, 12divcan3d 10685 . . 3 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘 · ∏𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)𝑘) / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘) = ∏𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)𝑘)
14 fznn0sub 12244 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴𝑁) ∈ ℕ0)
1514nn0red 11229 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴𝑁) ∈ ℝ)
1615ltp1d 10833 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴𝑁) < ((𝐴𝑁) + 1))
17 fzdisj 12239 . . . . . 6 ((𝐴𝑁) < ((𝐴𝑁) + 1) → ((1...(𝐴𝑁)) ∩ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)) = ∅)
1816, 17syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((1...(𝐴𝑁)) ∩ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)) = ∅)
19 nn0p1nn 11209 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝐴𝑁) + 1) ∈ ℕ)
2014, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((𝐴𝑁) + 1) ∈ ℕ)
21 nnuz 11599 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
2220, 21syl6eleq 2698 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((𝐴𝑁) + 1) ∈ (ℤ‘1))
2314nn0zd 11356 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴𝑁) ∈ ℤ)
24 elfzel2 12211 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
25 elfzle1 12215 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 0 ≤ 𝑁)
2624zred 11358 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
27 elfzelz 12213 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
2827zred 11358 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ ℝ)
2926, 28subge02d 10498 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (𝐴𝑁) ≤ 𝐴))
3025, 29mpbid 221 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴𝑁) ≤ 𝐴)
31 eluz2 11569 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘(𝐴𝑁)) ↔ ((𝐴𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴𝑁) ≤ 𝐴))
3223, 24, 30, 31syl3anbrc 1239 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ (ℤ‘(𝐴𝑁)))
33 fzsplit2 12237 . . . . . 6 ((((𝐴𝑁) + 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘(𝐴𝑁))) → (1...𝐴) = ((1...(𝐴𝑁)) ∪ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)))
3422, 32, 33syl2anc 691 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (1...𝐴) = ((1...(𝐴𝑁)) ∪ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)))
35 fzfid 12634 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (1...𝐴) ∈ Fin)
36 elfznn 12241 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℕ)
3736nncnd 10913 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℂ)
3837adantl 481 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (0...𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → 𝑘 ∈ ℂ)
3918, 34, 35, 38fprodsplit 14535 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 = (∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘 · ∏𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)𝑘))
4039oveq1d 6564 . . 3 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘) = ((∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘 · ∏𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)𝑘) / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘))
4124zcnd 11359 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
4227zcnd 11359 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ ℂ)
43 1cnd 9935 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 1 ∈ ℂ)
4441, 42, 43subsubd 10299 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 − (𝑁 − 1)) = ((𝐴𝑁) + 1))
4544oveq1d 6564 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴) = (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴))
4645prodeq1d 14490 . . 3 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘 = ∏𝑘 ∈ (((𝐴𝑁) + 1)...𝐴)𝑘)
4713, 40, 463eqtr4rd 2655 . 2 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘 = (∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘))
48 fallfacval3 14582 . 2 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ∏𝑘 ∈ ((𝐴 − (𝑁 − 1))...𝐴)𝑘)
49 elfz3nn0 12303 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝐴 ∈ ℕ0)
50 fprodfac 14542 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
5149, 50syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
52 fprodfac 14542 . . . 4 ((𝐴𝑁) ∈ ℕ0 → (!‘(𝐴𝑁)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘)
5314, 52syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (!‘(𝐴𝑁)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘)
5451, 53oveq12d 6567 . 2 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → ((!‘𝐴) / (!‘(𝐴𝑁))) = (∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 / ∏𝑘 ∈ (1...(𝐴𝑁))𝑘))
5547, 48, 543eqtr4d 2654 1 (𝑁 ∈ (0...𝐴) → (𝐴 FallFac 𝑁) = ((!‘𝐴) / (!‘(𝐴𝑁))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  !cfa 12922  ∏cprod 14474   FallFac cfallfac 14574 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-prod 14475  df-fallfac 14577 This theorem is referenced by:  bcfallfac  14614  fallfacfac  14615
 Copyright terms: Public domain W3C validator