MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divcan3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divcan3d 10685
Description: A cancellation law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3 (𝜑𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divcan3d (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem divcan3d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divcld.3 . 2 (𝜑𝐵 ≠ 0)
4 divcan3 10590 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
51, 2, 3, 4syl3anc 1318 1 (𝜑 → ((𝐵 · 𝐴) / 𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  (class class class)co 6549  cc 9813  0cc0 9815   · cmul 9820   / cdiv 10563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564
This theorem is referenced by:  prodgt0  10747  mulge0b  10772  ltdivmul  10777  ledivmul  10778  zneo  11336  2tnp1ge0ge0  12492  quoremz  12516  quoremnn0ALT  12518  moddiffl  12543  zesq  12849  discr  12863  bcn1  12962  crre  13702  abslem2  13927  fallfacval4  14613  sinhval  14723  eirrlem  14771  sqr2irrlem  14816  ltoddhalfle  14923  flodddiv4  14975  bitsp1e  14992  bitsp1o  14993  iserodd  15378  fldivp1  15439  4sqlem17  15503  gexexlem  18078  abv1z  18655  gzrngunit  19631  cphipval2  22848  ovolunlem1a  23071  itg1mulc  23277  dvrec  23524  elqaalem3  23880  eff1olem  24098  logf1o2  24196  isosctrlem2  24349  heron  24365  dcubic2  24371  mcubic  24374  cubic2  24375  dquartlem1  24378  dquartlem2  24379  dquart  24380  cosasin  24431  efiatan2  24444  tanatan  24446  dvatan  24462  atantayl3  24466  jensen  24515  basellem3  24609  basellem5  24611  basellem8  24614  logfacrlim  24749  perfectlem2  24755  lgsquadlem1  24905  lgsquadlem2  24906  2lgslem1c  24918  2lgslem3a  24921  dchrvmasumlem1  24984  mudivsum  25019  vmalogdivsum2  25027  logsqvma  25031  selberglem2  25035  selberglem3  25036  selberg  25037  selbergr  25057  selberg3r  25058  selberg4r  25059  selberg34r  25060  pntsval2  25065  pntpbnd1a  25074  pntibndlem2  25080  axsegconlem9  25605  cdj1i  28676  subfacval2  30423  circum  30822  knoppndvlem2  31674  knoppndvlem9  31681  areacirclem1  32670  areacirclem4  32673  hashnzfzclim  37543  dmmcand  38469  sumnnodd  38697  sinmulcos  38748  itgsinexp  38846  itgcoscmulx  38861  itgsincmulx  38866  stirlinglem7  38973  dirkertrigeqlem3  38993  dirkeritg  38995  dirkercncflem2  38997  fourierdlem79  39078  fourierdlem83  39082  fourierdlem95  39094  fouriercnp  39119  fourierswlem  39123  etransclem24  39151  etransclem41  39168  sfprmdvdsmersenne  40058  dfodd6  40088  dfeven4  40089  perfectALTVlem2  40165  sinhpcosh  42280
  Copyright terms: Public domain W3C validator