Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fallfacval4 Structured version   Unicode version

Theorem fallfacval4 28742
 Description: Represent the falling factorial via factorials when the first argument is a natural. (Contributed by Scott Fenton, 20-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
fallfacval4 FallFac

Proof of Theorem fallfacval4
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 12047 . . . . 5
2 elfzelz 11684 . . . . . . 7
32zcnd 10963 . . . . . 6
43adantl 466 . . . . 5
51, 4fprodcl 28661 . . . 4
6 fzfid 12047 . . . . 5
7 elfznn 11710 . . . . . . 7
87adantl 466 . . . . . 6
98nncnd 10548 . . . . 5
106, 9fprodcl 28661 . . . 4
118nnne0d 10576 . . . . 5
126, 9, 11fprodn0 28686 . . . 4
135, 10, 12divcan3d 10321 . . 3
14 fznn0sub 11712 . . . . . . . 8
1514nn0red 10849 . . . . . . 7
1615ltp1d 10472 . . . . . 6
17 fzdisj 11708 . . . . . 6
1816, 17syl 16 . . . . 5
19 nn0p1nn 10831 . . . . . . . 8
2014, 19syl 16 . . . . . . 7
21 nnuz 11113 . . . . . . 7
2220, 21syl6eleq 2565 . . . . . 6
2314nn0zd 10960 . . . . . . 7
24 elfzel2 11682 . . . . . . 7
25 elfzle1 11685 . . . . . . . 8
2624zred 10962 . . . . . . . . 9
27 elfzelz 11684 . . . . . . . . . 10
2827zred 10962 . . . . . . . . 9
2926, 28subge02d 10140 . . . . . . . 8
3025, 29mpbid 210 . . . . . . 7
31 eluz2 11084 . . . . . . 7
3223, 24, 30, 31syl3anbrc 1180 . . . . . 6
33 fzsplit2 11706 . . . . . 6
3422, 32, 33syl2anc 661 . . . . 5
35 fzfid 12047 . . . . 5
36 elfznn 11710 . . . . . . 7
3736nncnd 10548 . . . . . 6
3837adantl 466 . . . . 5
3918, 34, 35, 38fprodsplit 28672 . . . 4
4039oveq1d 6297 . . 3
4124zcnd 10963 . . . . . 6
4227zcnd 10963 . . . . . 6
43 ax-1cn 9546 . . . . . . 7
4443a1i 11 . . . . . 6
4541, 42, 44subsubd 9954 . . . . 5
4645oveq1d 6297 . . . 4
4746prodeq1d 28630 . . 3
4813, 40, 473eqtr4rd 2519 . 2
49 fallfacval3 28711 . 2 FallFac
50 elfz3nn0 11767 . . . 4
51 fprodfac 28679 . . . 4
5250, 51syl 16 . . 3
53 fprodfac 28679 . . . 4
5414, 53syl 16 . . 3
5552, 54oveq12d 6300 . 2
5648, 49, 553eqtr4d 2518 1 FallFac
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   cun 3474   cin 3475  c0 3785   class class class wbr 4447  cfv 5586  (class class class)co 6282  cc 9486  cc0 9488  c1 9489   caddc 9491   cmul 9493   clt 9624   cle 9625   cmin 9801   cdiv 10202  cn 10532  cn0 10791  cz 10860  cuz 11078  cfz 11668  cfa 12317  cprod 28614   FallFac cfallfac 28703 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-exp 12131  df-fac 12318  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-prod 28615  df-fallfac 28706 This theorem is referenced by:  bcfallfac  28743  fallfacfac  28744
 Copyright terms: Public domain W3C validator