MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0zd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0zd 11356
Description: A positive integer is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0zd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
nn0zd (𝜑𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0zd
StepHypRef Expression
1 nn0ssz 11275 . 2 0 ⊆ ℤ
2 nn0zd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
31, 2sseldi 3566 1 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1977  0cn0 11169  cz 11254
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255
This theorem is referenced by:  nnzd  11357  eluzmn  11570  difelfznle  12322  zmodfz  12554  expnegz  12756  expaddzlem  12765  expaddz  12766  expmulz  12768  faclbnd  12939  bcpasc  12970  hashf1  13098  fz1isolem  13102  hashge2el2dif  13117  hashtpg  13121  wrdffz  13181  wrdsymb0  13194  wrdlenge1n0  13195  ccatcl  13212  ccatval3  13216  ccatsymb  13219  ccatass  13224  ccatrn  13225  lswccatn0lsw  13226  ccats1val2  13256  swrdnd  13284  swrdtrcfv0  13294  swrdtrcfvl  13302  swrdccat1  13309  swrdccat2  13310  swrdccatin2  13338  swrdccatin12  13342  splfv2a  13358  splval2  13359  revcl  13361  revccat  13366  revrev  13367  cshwmodn  13392  cshwsublen  13393  cshwn  13394  cshwidxmod  13400  2cshwid  13411  3cshw  13415  cshweqdif2  13416  revco  13431  ccatco  13432  ccat2s1fvwALT  13546  ofccat  13556  zabscl  13901  absrdbnd  13929  iseraltlem3  14262  fsum0diaglem  14350  modfsummods  14366  binomlem  14400  binom1p  14402  incexc2  14409  climcndslem1  14420  geoser  14438  pwm1geoser  14439  geolim2  14441  mertenslem1  14455  mertenslem2  14456  mertens  14457  binomfallfaclem2  14610  binomrisefac  14612  fallfacval4  14613  bpolydiflem  14624  ruclem10  14807  sumodd  14949  divalglem9  14962  divalgmod  14967  divalgmodOLD  14968  bitsfzolem  14994  bitsfzo  14995  bitsmod  14996  bitsfi  14997  bitsinv1lem  15001  sadcaddlem  15017  sadadd3  15021  sadaddlem  15026  sadadd  15027  sadasslem  15030  sadass  15031  sadeq  15032  bitsres  15033  bitsuz  15034  bitsshft  15035  smuval2  15042  smupvallem  15043  smupval  15048  smueqlem  15050  smumullem  15052  smumul  15053  gcdcllem1  15059  zeqzmulgcd  15070  gcd0id  15078  gcdneg  15081  modgcd  15091  bezoutlem4  15097  dvdsgcdb  15100  gcdass  15102  mulgcd  15103  gcdzeq  15109  dvdsmulgcd  15112  bezoutr  15119  bezoutr1  15120  nn0seqcvgd  15121  algfx  15131  eucalginv  15135  eucalg  15138  gcddvdslcm  15153  lcmneg  15154  lcmgcdlem  15157  lcmdvds  15159  lcmgcdeq  15163  lcmdvdsb  15164  lcmass  15165  lcmftp  15187  lcmfunsnlem1  15188  lcmfunsnlem2lem1  15189  lcmfunsnlem2lem2  15190  lcmfunsnlem2  15191  lcmfdvdsb  15194  lcmfun  15196  lcmfass  15197  mulgcddvds  15207  rpmulgcd2  15208  qredeu  15210  divgcdcoprm0  15217  sqnprm  15252  divnumden  15294  powm2modprm  15346  coprimeprodsq  15351  iserodd  15378  pclem  15381  pcpre1  15385  pcpremul  15386  pcqcl  15399  pcdvdsb  15411  pcidlem  15414  pc2dvds  15421  pcprmpw2  15424  dvdsprmpweqle  15428  pcadd  15431  pcfac  15441  pcbc  15442  pockthlem  15447  prmreclem2  15459  prmreclem3  15460  mul4sqlem  15495  4sqlem11  15497  4sqlem12  15498  4sqlem14  15500  vdwapun  15516  prmgaplcmlem1  15593  lagsubg  17479  psgnuni  17742  psgnran  17758  odmodnn0  17782  mndodconglem  17783  mndodcong  17784  odmulg2  17795  odmulg  17796  odmulgeq  17797  odbezout  17798  odinv  17801  odf1  17802  gexod  17824  gexdvds3  17828  sylow1lem1  17836  sylow1lem3  17838  pgpfi  17843  pgpssslw  17852  sylow2alem2  17856  sylow2blem3  17860  fislw  17863  sylow3lem4  17868  sylow3lem6  17870  efginvrel2  17963  efgredlemf  17977  efgredlemd  17980  efgredlemc  17981  efgredlem  17983  efgcpbllemb  17991  odadd1  18074  odadd2  18075  gexexlem  18078  gexex  18079  torsubg  18080  lt6abl  18119  gsummulg  18165  ablfacrplem  18287  ablfacrp  18288  ablfacrp2  18289  ablfac1b  18292  ablfac1c  18293  ablfac1eulem  18294  ablfac1eu  18295  pgpfac1lem2  18297  pgpfaclem1  18303  ablfaclem3  18309  srgbinomlem3  18365  srgbinomlem4  18366  psrbaglefi  19193  chrid  19694  znunit  19731  psgnghm  19745  chfacfscmulfsupp  20483  chfacfpmmulfsupp  20487  cpmadugsumlemF  20500  dyadss  23168  dyaddisjlem  23169  ply1divex  23700  ply1termlem  23763  plyeq0lem  23770  plyaddlem1  23773  plymullem1  23774  coeeulem  23784  coeidlem  23797  coeeq2  23802  coemulhi  23814  dvply1  23843  dvply2g  23844  plydivex  23856  elqaalem2  23879  aareccl  23885  aannenlem1  23887  aalioulem1  23891  taylplem1  23921  taylplem2  23922  taylpfval  23923  dvtaylp  23928  taylthlem2  23932  dvradcnv  23979  abelthlem7  23996  cxpeq  24298  birthdaylem2  24479  ftalem1  24599  basellem3  24609  isppw2  24641  isnsqf  24661  mule1  24674  ppinncl  24700  musum  24717  chtublem  24736  pclogsum  24740  vmasum  24741  dchrabs  24785  bcmax  24803  bposlem1  24809  bposlem6  24814  lgsval2lem  24832  lgsmod  24848  lgsdirprm  24856  lgsne0  24860  gausslemma2dlem0h  24888  gausslemma2dlem0i  24889  gausslemma2dlem2  24892  gausslemma2dlem6  24897  gausslemma2d  24899  lgseisenlem1  24900  lgseisenlem2  24901  lgseisenlem3  24902  lgseisenlem4  24903  lgsquadlem1  24905  m1lgs  24913  2lgslem1a  24916  2lgslem3a  24921  2lgslem3b  24922  2lgslem3c  24923  2lgslem3d  24924  2lgslem3d1  24928  2lgsoddprmlem2  24934  2sqlem8  24951  chebbnd1lem1  24958  dchrisumlem1  24978  dchrisum0flblem1  24997  selberg2lem  25039  ostth2lem2  25123  ostth2lem3  25124  wwlknredwwlkn0  26255  wwlkextproplem2  26270  clwwlkndivn  26364  nbhashuvtx1  26442  eupath2lem3  26506  eupath2  26507  numclwwlkovf2ex  26613  numclwwlk5  26639  numclwwlk6  26640  ex-ind-dvds  26710  nndiffz1  28936  2sqcoprm  28978  2sqmod  28979  archirng  29073  archirngz  29074  archiabllem1a  29076  madjusmdetlem4  29224  qqhval2lem  29353  oddpwdc  29743  eulerpartlems  29749  eulerpartlemb  29757  sseqfv1  29778  sseqfn  29779  sseqmw  29780  sseqf  29781  sseqfv2  29783  sseqp1  29784  ccatmulgnn0dir  29945  signsplypnf  29953  signsply0  29954  signslema  29965  signstfvn  29972  signstfvp  29974  signstfvc  29977  subfacval3  30425  bcprod  30877  bccolsum  30878  fwddifnp1  31442  knoppndvlem6  31678  knoppndvlem7  31679  knoppndvlem10  31682  knoppndvlem14  31686  knoppndvlem15  31687  knoppndvlem16  31688  knoppndvlem17  31689  knoppndvlem19  31691  knoppndvlem21  31693  poimirlem3  32582  poimirlem4  32583  poimirlem6  32585  poimirlem13  32592  poimirlem14  32593  poimirlem17  32596  poimirlem21  32600  poimirlem22  32601  poimirlem23  32602  poimirlem24  32603  poimirlem26  32605  poimirlem27  32606  poimirlem31  32610  geomcau  32725  eldioph2lem1  36341  pellexlem5  36415  congrep  36558  jm2.18  36573  jm2.19lem1  36574  jm2.19lem2  36575  jm2.19  36578  jm2.22  36580  jm2.23  36581  jm2.20nn  36582  jm2.25  36584  jm2.26a  36585  jm2.26lem3  36586  jm2.26  36587  jm2.27a  36590  jm2.27b  36591  jm2.27c  36592  jm3.1  36605  expdiophlem1  36606  hbtlem5  36717  radcnvrat  37535  nzin  37539  bccbc  37566  binomcxplemnn0  37570  binomcxplemnotnn0  37577  fprodexp  38661  mccllem  38664  ioodvbdlimc1lem2  38822  ioodvbdlimc2lem  38824  dvnxpaek  38832  dvnmul  38833  dvnprodlem1  38836  dvnprodlem2  38837  wallispilem1  38958  wallispilem5  38962  stirlinglem3  38969  stirlinglem5  38971  stirlinglem7  38973  stirlinglem8  38974  fourierdlem102  39101  fourierdlem114  39113  sqwvfoura  39121  elaa2lem  39126  etransclem10  39137  etransclem20  39147  etransclem21  39148  etransclem22  39149  etransclem23  39150  etransclem24  39151  etransclem27  39154  etransclem28  39155  etransclem35  39162  etransclem38  39165  etransclem44  39171  etransclem45  39172  etransclem46  39173  sge0ad2en  39324  fmtnoge3  39980  fmtnof1  39985  fmtnorec1  39987  sqrtpwpw2p  39988  fmtnodvds  39994  goldbachthlem2  39996  fmtnoprmfac2lem1  40016  pwm1geoserALT  40040  lighneallem3  40062  lighneallem4b  40064  lighneallem4  40065  pfxtrcfv0  40265  pfxtrcfvl  40268  pfxccat1  40273  pfxccatin12  40288  pfxccatpfx2  40291  pfxccat3a  40292  fsummmodsnunz  40374  red1wlklem  40880  1wlkdlem1  40891  pthdlem1  40972  crctcsh1wlkn0lem4  41016  wwlksnredwwlkn0  41102  wwlksnextproplem1  41115  wwlksnextproplem2  41116  clwwlksndivn  41264  eupth2lem3lem3  41398  eupth2lem3lem4  41399  eupth2lem3  41404  eupth2lems  41406  av-numclwwlkovf2ex  41517  av-numclwwlk5  41542  av-numclwwlk6  41544  ssnn0ssfz  41920  altgsumbcALT  41924  flnn0ohalf  42122  dig2nn1st  42197  0dig2nn0o  42205  aacllem  42356
  Copyright terms: Public domain W3C validator