Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  revco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem revco 13431
 Description: Mapping of words commutes with reversal. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
revco ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (reverse‘𝑊)) = (reverse‘(𝐹𝑊)))

Proof of Theorem revco
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wrdfn 13174 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝐴𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊)))
21ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊)))
3 lencl 13179 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
43nn0zd 11356 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
5 fzoval 12340 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑊) ∈ ℤ → (0..^(#‘𝑊)) = (0...((#‘𝑊) − 1)))
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (0..^(#‘𝑊)) = (0...((#‘𝑊) − 1)))
76adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (0..^(#‘𝑊)) = (0...((#‘𝑊) − 1)))
87eleq2d 2673 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1))))
98biimpa 500 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑥 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1)))
10 fznn0sub2 12315 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0...((#‘𝑊) − 1)) → (((#‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((#‘𝑊) − 1)))
119, 10syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (((#‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0...((#‘𝑊) − 1)))
127adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (0..^(#‘𝑊)) = (0...((#‘𝑊) − 1)))
1311, 12eleqtrrd 2691 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (((#‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
14 fvco2 6183 . . . . . 6 ((𝑊 Fn (0..^(#‘𝑊)) ∧ (((#‘𝑊) − 1) − 𝑥) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝐹𝑊)‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝐹‘(𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
152, 13, 14syl2anc 691 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝐹𝑊)‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥)) = (𝐹‘(𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
16 lenco 13429 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (#‘(𝐹𝑊)) = (#‘𝑊))
1716oveq1d 6564 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → ((#‘(𝐹𝑊)) − 1) = ((#‘𝑊) − 1))
1817oveq1d 6564 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (((#‘(𝐹𝑊)) − 1) − 𝑥) = (((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))
1918adantr 480 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (((#‘(𝐹𝑊)) − 1) − 𝑥) = (((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))
2019fveq2d 6107 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝐹𝑊)‘(((#‘(𝐹𝑊)) − 1) − 𝑥)) = ((𝐹𝑊)‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
21 revfv 13363 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘𝑥) = (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
2221adantlr 747 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((reverse‘𝑊)‘𝑥) = (𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥)))
2322fveq2d 6107 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥)) = (𝐹‘(𝑊‘(((#‘𝑊) − 1) − 𝑥))))
2415, 20, 233eqtr4d 2654 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝐹𝑊)‘(((#‘(𝐹𝑊)) − 1) − 𝑥)) = (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥)))
2524mpteq2dva 4672 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ ((𝐹𝑊)‘(((#‘(𝐹𝑊)) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥))))
2616oveq2d 6565 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (0..^(#‘(𝐹𝑊))) = (0..^(#‘𝑊)))
2726mpteq1d 4666 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝐹𝑊))) ↦ ((𝐹𝑊)‘(((#‘(𝐹𝑊)) − 1) − 𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ ((𝐹𝑊)‘(((#‘(𝐹𝑊)) − 1) − 𝑥))))
28 revlen 13362 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (#‘(reverse‘𝑊)) = (#‘𝑊))
2928adantr 480 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (#‘(reverse‘𝑊)) = (#‘𝑊))
3029oveq2d 6565 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (0..^(#‘(reverse‘𝑊))) = (0..^(#‘𝑊)))
3130mpteq1d 4666 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘(reverse‘𝑊))) ↦ (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥))))
3225, 27, 313eqtr4rd 2655 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^(#‘(reverse‘𝑊))) ↦ (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝐹𝑊))) ↦ ((𝐹𝑊)‘(((#‘(𝐹𝑊)) − 1) − 𝑥))))
33 simpr 476 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → 𝐹:𝐴𝐵)
34 revcl 13361 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴)
35 wrdf 13165 . . . . 5 ((reverse‘𝑊) ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊):(0..^(#‘(reverse‘𝑊)))⟶𝐴)
3634, 35syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (reverse‘𝑊):(0..^(#‘(reverse‘𝑊)))⟶𝐴)
3736adantr 480 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (reverse‘𝑊):(0..^(#‘(reverse‘𝑊)))⟶𝐴)
38 fcompt 6306 . . 3 ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ (reverse‘𝑊):(0..^(#‘(reverse‘𝑊)))⟶𝐴) → (𝐹 ∘ (reverse‘𝑊)) = (𝑥 ∈ (0..^(#‘(reverse‘𝑊))) ↦ (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥))))
3933, 37, 38syl2anc 691 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (reverse‘𝑊)) = (𝑥 ∈ (0..^(#‘(reverse‘𝑊))) ↦ (𝐹‘((reverse‘𝑊)‘𝑥))))
40 ffun 5961 . . . . 5 (𝐹:𝐴𝐵 → Fun 𝐹)
4140adantl 481 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → Fun 𝐹)
42 simpl 472 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
43 cofunexg 7023 . . . 4 ((Fun 𝐹𝑊 ∈ Word 𝐴) → (𝐹𝑊) ∈ V)
4441, 42, 43syl2anc 691 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹𝑊) ∈ V)
45 revval 13360 . . 3 ((𝐹𝑊) ∈ V → (reverse‘(𝐹𝑊)) = (𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝐹𝑊))) ↦ ((𝐹𝑊)‘(((#‘(𝐹𝑊)) − 1) − 𝑥))))
4644, 45syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (reverse‘(𝐹𝑊)) = (𝑥 ∈ (0..^(#‘(𝐹𝑊))) ↦ ((𝐹𝑊)‘(((#‘(𝐹𝑊)) − 1) − 𝑥))))
4732, 39, 463eqtr4d 2654 1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐹:𝐴𝐵) → (𝐹 ∘ (reverse‘𝑊)) = (reverse‘(𝐹𝑊)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ↦ cmpt 4643   ∘ ccom 5042  Fun wfun 5798   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   − cmin 10145  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146  reversecreverse 13152 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-reverse 13160 This theorem is referenced by:  efginvrel1  17964
 Copyright terms: Public domain W3C validator