MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgcpbllemb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgcpbllemb 17991
Description: Lemma for efgrelex 17987. Show that 𝐿 is an equivalence relation containing all direct extensions of a word, so is closed under . (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
efgcpbllem.1 𝐿 = {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝑊 ∧ ((𝐴 ++ 𝑖) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ 𝑗) ++ 𝐵))}
Assertion
Ref Expression
efgcpbllemb ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝐿)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐴   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧   𝑖,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑀,𝑗   𝑖,𝑘,𝑇,𝑗,𝑚,𝑡,𝑥   𝑦,𝑖,𝑧,𝑊,𝑗   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑖,𝑗,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑖,𝑗   𝑆,𝑖,𝑗   𝑖,𝐼,𝑗,𝑚,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑖,𝑗,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)

Proof of Theorem efgcpbllemb
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑓 𝑔 𝑟 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . 3 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
2 efgval.r . . 3 = ( ~FG𝐼)
3 efgval2.m . . 3 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
4 efgval2.t . . 3 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
51, 2, 3, 4efgval2 17960 . 2 = {𝑟 ∣ (𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑓𝑊 ran (𝑇𝑓) ⊆ [𝑓]𝑟)}
6 efgcpbllem.1 . . . . . . 7 𝐿 = {⟨𝑖, 𝑗⟩ ∣ ({𝑖, 𝑗} ⊆ 𝑊 ∧ ((𝐴 ++ 𝑖) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ 𝑗) ++ 𝐵))}
76relopabi 5167 . . . . . 6 Rel 𝐿
87a1i 11 . . . . 5 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → Rel 𝐿)
9 efgred.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
10 efgred.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
111, 2, 3, 4, 9, 10, 6efgcpbllema 17990 . . . . . . . 8 (𝑓𝐿𝑔 ↔ (𝑓𝑊𝑔𝑊 ∧ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ 𝑔) ++ 𝐵)))
1211simp2bi 1070 . . . . . . 7 (𝑓𝐿𝑔𝑔𝑊)
1312adantl 481 . . . . . 6 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝐿𝑔) → 𝑔𝑊)
1411simp1bi 1069 . . . . . . 7 (𝑓𝐿𝑔𝑓𝑊)
1514adantl 481 . . . . . 6 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝐿𝑔) → 𝑓𝑊)
161, 2efger 17954 . . . . . . . 8 Er 𝑊
1716a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝐿𝑔) → Er 𝑊)
1811simp3bi 1071 . . . . . . . 8 (𝑓𝐿𝑔 → ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ 𝑔) ++ 𝐵))
1918adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝐿𝑔) → ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ 𝑔) ++ 𝐵))
2017, 19ersym 7641 . . . . . 6 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝐿𝑔) → ((𝐴 ++ 𝑔) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))
211, 2, 3, 4, 9, 10, 6efgcpbllema 17990 . . . . . 6 (𝑔𝐿𝑓 ↔ (𝑔𝑊𝑓𝑊 ∧ ((𝐴 ++ 𝑔) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)))
2213, 15, 20, 21syl3anbrc 1239 . . . . 5 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝐿𝑔) → 𝑔𝐿𝑓)
2314ad2antrl 760 . . . . . 6 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑓𝐿𝑔𝑔𝐿)) → 𝑓𝑊)
241, 2, 3, 4, 9, 10, 6efgcpbllema 17990 . . . . . . . 8 (𝑔𝐿 ↔ (𝑔𝑊𝑊 ∧ ((𝐴 ++ 𝑔) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ ) ++ 𝐵)))
2524simp2bi 1070 . . . . . . 7 (𝑔𝐿𝑊)
2625ad2antll 761 . . . . . 6 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑓𝐿𝑔𝑔𝐿)) → 𝑊)
2716a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑓𝐿𝑔𝑔𝐿)) → Er 𝑊)
2818ad2antrl 760 . . . . . . 7 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑓𝐿𝑔𝑔𝐿)) → ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ 𝑔) ++ 𝐵))
2924simp3bi 1071 . . . . . . . 8 (𝑔𝐿 → ((𝐴 ++ 𝑔) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ ) ++ 𝐵))
3029ad2antll 761 . . . . . . 7 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑓𝐿𝑔𝑔𝐿)) → ((𝐴 ++ 𝑔) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ ) ++ 𝐵))
3127, 28, 30ertrd 7645 . . . . . 6 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑓𝐿𝑔𝑔𝐿)) → ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ ) ++ 𝐵))
321, 2, 3, 4, 9, 10, 6efgcpbllema 17990 . . . . . 6 (𝑓𝐿 ↔ (𝑓𝑊𝑊 ∧ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ ) ++ 𝐵)))
3323, 26, 31, 32syl3anbrc 1239 . . . . 5 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑓𝐿𝑔𝑔𝐿)) → 𝑓𝐿)
3416a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) → Er 𝑊)
35 fviss 6166 . . . . . . . . . . . . . 14 ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) ⊆ Word (𝐼 × 2𝑜)
361, 35eqsstri 3598 . . . . . . . . . . . . 13 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2𝑜)
37 simpll 786 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) → 𝐴𝑊)
3836, 37sseldi 3566 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) → 𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
39 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) → 𝑓𝑊)
4036, 39sseldi 3566 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) → 𝑓 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
41 ccatcl 13212 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → (𝐴 ++ 𝑓) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
4238, 40, 41syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) → (𝐴 ++ 𝑓) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
43 simplr 788 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) → 𝐵𝑊)
4436, 43sseldi 3566 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) → 𝐵 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
45 ccatcl 13212 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ++ 𝑓) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝐵 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
4642, 44, 45syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) → ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
471efgrcl 17951 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜)))
4847simprd 478 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑊𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜))
4948ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) → 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜))
5046, 49eleqtrrd 2691 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) → ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ∈ 𝑊)
5134, 50erref 7649 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) → ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))
5251ex 449 . . . . . . 7 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → (𝑓𝑊 → ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)))
5352pm4.71d 664 . . . . . 6 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → (𝑓𝑊 ↔ (𝑓𝑊 ∧ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))))
541, 2, 3, 4, 9, 10, 6efgcpbllema 17990 . . . . . . 7 (𝑓𝐿𝑓 ↔ (𝑓𝑊𝑓𝑊 ∧ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)))
55 df-3an 1033 . . . . . . 7 ((𝑓𝑊𝑓𝑊 ∧ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)) ↔ ((𝑓𝑊𝑓𝑊) ∧ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)))
56 anidm 674 . . . . . . . 8 ((𝑓𝑊𝑓𝑊) ↔ 𝑓𝑊)
5756anbi1i 727 . . . . . . 7 (((𝑓𝑊𝑓𝑊) ∧ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)) ↔ (𝑓𝑊 ∧ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)))
5854, 55, 573bitri 285 . . . . . 6 (𝑓𝐿𝑓 ↔ (𝑓𝑊 ∧ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)))
5953, 58syl6bbr 277 . . . . 5 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → (𝑓𝑊𝑓𝐿𝑓))
608, 22, 33, 59iserd 7655 . . . 4 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝐿 Er 𝑊)
611, 2, 3, 4efgtf 17958 . . . . . . . . . 10 (𝑓𝑊 → ((𝑇𝑓) = (𝑎 ∈ (0...(#‘𝑓)), 𝑏 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑓 splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩)) ∧ (𝑇𝑓):((0...(#‘𝑓)) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊))
6261simprd 478 . . . . . . . . 9 (𝑓𝑊 → (𝑇𝑓):((0...(#‘𝑓)) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊)
6362adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) → (𝑇𝑓):((0...(#‘𝑓)) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊)
64 ffn 5958 . . . . . . . 8 ((𝑇𝑓):((0...(#‘𝑓)) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊 → (𝑇𝑓) Fn ((0...(#‘𝑓)) × (𝐼 × 2𝑜)))
65 ovelrn 6708 . . . . . . . 8 ((𝑇𝑓) Fn ((0...(#‘𝑓)) × (𝐼 × 2𝑜)) → (𝑎 ∈ ran (𝑇𝑓) ↔ ∃𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓))∃𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜)𝑎 = (𝑐(𝑇𝑓)𝑢)))
6663, 64, 653syl 18 . . . . . . 7 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) → (𝑎 ∈ ran (𝑇𝑓) ↔ ∃𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓))∃𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜)𝑎 = (𝑐(𝑇𝑓)𝑢)))
67 simplr 788 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → 𝑓𝑊)
6862ad2antlr 759 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (𝑇𝑓):((0...(#‘𝑓)) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊)
69 simprl 790 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → 𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)))
70 simprr 792 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))
7168, 69, 70fovrnd 6704 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (𝑐(𝑇𝑓)𝑢) ∈ 𝑊)
7250adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ∈ 𝑊)
7337adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → 𝐴𝑊)
7436, 73sseldi 3566 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → 𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
7540adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → 𝑓 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
76 swrdcl 13271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
78 ccatcl 13212 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → (𝐴 ++ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
7974, 77, 78syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (𝐴 ++ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
803efgmf 17949 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑀:(𝐼 × 2𝑜)⟶(𝐼 × 2𝑜)
8180ffvelrni 6266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜) → (𝑀𝑢) ∈ (𝐼 × 2𝑜))
8281ad2antll 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (𝑀𝑢) ∈ (𝐼 × 2𝑜))
8370, 82s2cld 13466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
84 ccatcl 13212 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ++ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → ((𝐴 ++ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩)) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
8579, 83, 84syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((𝐴 ++ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩)) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
86 swrdcl 13271 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → (𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
8775, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
8844adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → 𝐵 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
89 ccatass 13224 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ++ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩)) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝐵 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → ((((𝐴 ++ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩)) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩)) ++ 𝐵) = (((𝐴 ++ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩)) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ++ ((𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩) ++ 𝐵)))
9085, 87, 88, 89syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((((𝐴 ++ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩)) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩)) ++ 𝐵) = (((𝐴 ++ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩)) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ++ ((𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩) ++ 𝐵)))
91 ccatcl 13212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → ((𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
9277, 83, 91syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
93 ccatass 13224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ((𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → ((𝐴 ++ ((𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩)) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩)) = (𝐴 ++ (((𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩))))
9474, 92, 87, 93syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((𝐴 ++ ((𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩)) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩)) = (𝐴 ++ (((𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩))))
95 ccatass 13224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → ((𝐴 ++ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩)) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) = (𝐴 ++ ((𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩)))
9674, 77, 83, 95syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((𝐴 ++ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩)) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) = (𝐴 ++ ((𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩)))
9796oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (((𝐴 ++ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩)) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩)) = ((𝐴 ++ ((𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩)) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩)))
981, 2, 3, 4efgtval 17959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓𝑊𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) → (𝑐(𝑇𝑓)𝑢) = (𝑓 splice ⟨𝑐, 𝑐, ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩⟩))
9967, 69, 70, 98syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (𝑐(𝑇𝑓)𝑢) = (𝑓 splice ⟨𝑐, 𝑐, ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩⟩))
100 splval 13353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓𝑊 ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))) → (𝑓 splice ⟨𝑐, 𝑐, ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩⟩) = (((𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩)))
10167, 69, 69, 83, 100syl13anc 1320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (𝑓 splice ⟨𝑐, 𝑐, ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩⟩) = (((𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩)))
10299, 101eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (𝑐(𝑇𝑓)𝑢) = (((𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩)))
103102oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (𝐴 ++ (𝑐(𝑇𝑓)𝑢)) = (𝐴 ++ (((𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩))))
10494, 97, 1033eqtr4rd 2655 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (𝐴 ++ (𝑐(𝑇𝑓)𝑢)) = (((𝐴 ++ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩)) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩)))
105104oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((𝐴 ++ (𝑐(𝑇𝑓)𝑢)) ++ 𝐵) = ((((𝐴 ++ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩)) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩)) ++ 𝐵))
106 lencl 13179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
10774, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
108 nn0uz 11598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 = (ℤ‘0)
109107, 108syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (#‘𝐴) ∈ (ℤ‘0))
110 elfznn0 12302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) → 𝑐 ∈ ℕ0)
111110ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → 𝑐 ∈ ℕ0)
112 uzaddcl 11620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((#‘𝐴) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((#‘𝐴) + 𝑐) ∈ (ℤ‘0))
113109, 111, 112syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((#‘𝐴) + 𝑐) ∈ (ℤ‘0))
11442adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (𝐴 ++ 𝑓) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
115 ccatlen 13213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ++ 𝑓) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝐵 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → (#‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)) = ((#‘(𝐴 ++ 𝑓)) + (#‘𝐵)))
116114, 88, 115syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (#‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)) = ((#‘(𝐴 ++ 𝑓)) + (#‘𝐵)))
117 ccatlen 13213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑓 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → (#‘(𝐴 ++ 𝑓)) = ((#‘𝐴) + (#‘𝑓)))
11874, 75, 117syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (#‘(𝐴 ++ 𝑓)) = ((#‘𝐴) + (#‘𝑓)))
119 elfzuz3 12210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) → (#‘𝑓) ∈ (ℤ𝑐))
120119ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (#‘𝑓) ∈ (ℤ𝑐))
121107nn0zd 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (#‘𝐴) ∈ ℤ)
122 eluzadd 11592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((#‘𝑓) ∈ (ℤ𝑐) ∧ (#‘𝐴) ∈ ℤ) → ((#‘𝑓) + (#‘𝐴)) ∈ (ℤ‘(𝑐 + (#‘𝐴))))
123120, 121, 122syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((#‘𝑓) + (#‘𝐴)) ∈ (ℤ‘(𝑐 + (#‘𝐴))))
124 lencl 13179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → (#‘𝑓) ∈ ℕ0)
12575, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (#‘𝑓) ∈ ℕ0)
126125nn0cnd 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (#‘𝑓) ∈ ℂ)
127107nn0cnd 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (#‘𝐴) ∈ ℂ)
128126, 127addcomd 10117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((#‘𝑓) + (#‘𝐴)) = ((#‘𝐴) + (#‘𝑓)))
129111nn0cnd 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → 𝑐 ∈ ℂ)
130129, 127addcomd 10117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (𝑐 + (#‘𝐴)) = ((#‘𝐴) + 𝑐))
131130fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (ℤ‘(𝑐 + (#‘𝐴))) = (ℤ‘((#‘𝐴) + 𝑐)))
132123, 128, 1313eltr3d 2702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((#‘𝐴) + (#‘𝑓)) ∈ (ℤ‘((#‘𝐴) + 𝑐)))
133118, 132eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (#‘(𝐴 ++ 𝑓)) ∈ (ℤ‘((#‘𝐴) + 𝑐)))
134 lencl 13179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
13588, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
136 uzaddcl 11620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((#‘(𝐴 ++ 𝑓)) ∈ (ℤ‘((#‘𝐴) + 𝑐)) ∧ (#‘𝐵) ∈ ℕ0) → ((#‘(𝐴 ++ 𝑓)) + (#‘𝐵)) ∈ (ℤ‘((#‘𝐴) + 𝑐)))
137133, 135, 136syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((#‘(𝐴 ++ 𝑓)) + (#‘𝐵)) ∈ (ℤ‘((#‘𝐴) + 𝑐)))
138116, 137eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (#‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)) ∈ (ℤ‘((#‘𝐴) + 𝑐)))
139 elfzuzb 12207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘𝐴) + 𝑐) ∈ (0...(#‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))) ↔ (((#‘𝐴) + 𝑐) ∈ (ℤ‘0) ∧ (#‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)) ∈ (ℤ‘((#‘𝐴) + 𝑐))))
140113, 138, 139sylanbrc 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((#‘𝐴) + 𝑐) ∈ (0...(#‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))))
1411, 2, 3, 4efgtval 17959 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ∈ 𝑊 ∧ ((#‘𝐴) + 𝑐) ∈ (0...(#‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) → (((#‘𝐴) + 𝑐)(𝑇‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))𝑢) = (((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) splice ⟨((#‘𝐴) + 𝑐), ((#‘𝐴) + 𝑐), ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩⟩))
14272, 140, 70, 141syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (((#‘𝐴) + 𝑐)(𝑇‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))𝑢) = (((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) splice ⟨((#‘𝐴) + 𝑐), ((#‘𝐴) + 𝑐), ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩⟩))
143 wrd0 13185 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ∅ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)
144143a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ∅ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
145 ccatcl 13212 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝐵 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → ((𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩) ++ 𝐵) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
14687, 88, 145syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩) ++ 𝐵) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
147 ccatrid 13223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ++ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → ((𝐴 ++ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩)) ++ ∅) = (𝐴 ++ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩)))
14879, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((𝐴 ++ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩)) ++ ∅) = (𝐴 ++ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩)))
149148oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (((𝐴 ++ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩)) ++ ∅) ++ ((𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩) ++ 𝐵)) = ((𝐴 ++ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩)) ++ ((𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩) ++ 𝐵)))
150 ccatass 13224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ++ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩)) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝐵 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → (((𝐴 ++ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩)) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩)) ++ 𝐵) = ((𝐴 ++ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩)) ++ ((𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩) ++ 𝐵)))
15179, 87, 88, 150syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (((𝐴 ++ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩)) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩)) ++ 𝐵) = ((𝐴 ++ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩)) ++ ((𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩) ++ 𝐵)))
152 ccatass 13224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → ((𝐴 ++ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩)) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩)) = (𝐴 ++ ((𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩))))
15374, 77, 87, 152syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((𝐴 ++ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩)) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩)) = (𝐴 ++ ((𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩))))
154111, 108syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → 𝑐 ∈ (ℤ‘0))
155 eluzfz1 12219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑐 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑐))
156154, 155syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → 0 ∈ (0...𝑐))
157125, 108syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (#‘𝑓) ∈ (ℤ‘0))
158 eluzfz2 12220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((#‘𝑓) ∈ (ℤ‘0) → (#‘𝑓) ∈ (0...(#‘𝑓)))
159157, 158syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (#‘𝑓) ∈ (0...(#‘𝑓)))
160 ccatswrd 13308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (0 ∈ (0...𝑐) ∧ 𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ (#‘𝑓) ∈ (0...(#‘𝑓)))) → ((𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩)) = (𝑓 substr ⟨0, (#‘𝑓)⟩))
16175, 156, 69, 159, 160syl13anc 1320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩)) = (𝑓 substr ⟨0, (#‘𝑓)⟩))
162 swrdid 13280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → (𝑓 substr ⟨0, (#‘𝑓)⟩) = 𝑓)
16375, 162syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (𝑓 substr ⟨0, (#‘𝑓)⟩) = 𝑓)
164161, 163eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩)) = 𝑓)
165164oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (𝐴 ++ ((𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩))) = (𝐴 ++ 𝑓))
166153, 165eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((𝐴 ++ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩)) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩)) = (𝐴 ++ 𝑓))
167166oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (((𝐴 ++ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩)) ++ (𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩)) ++ 𝐵) = ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))
168149, 151, 1673eqtr2rd 2651 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) = (((𝐴 ++ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩)) ++ ∅) ++ ((𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩) ++ 𝐵)))
169 ccatlen 13213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → (#‘(𝐴 ++ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩))) = ((#‘𝐴) + (#‘(𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩))))
17074, 77, 169syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (#‘(𝐴 ++ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩))) = ((#‘𝐴) + (#‘(𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩))))
171 swrd0len 13274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓))) → (#‘(𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩)) = 𝑐)
17275, 69, 171syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (#‘(𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩)) = 𝑐)
173172oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((#‘𝐴) + (#‘(𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩))) = ((#‘𝐴) + 𝑐))
174170, 173eqtr2d 2645 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((#‘𝐴) + 𝑐) = (#‘(𝐴 ++ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩))))
175 hash0 13019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (#‘∅) = 0
176175oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘𝐴) + 𝑐) + (#‘∅)) = (((#‘𝐴) + 𝑐) + 0)
177107, 111nn0addcld 11232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((#‘𝐴) + 𝑐) ∈ ℕ0)
178177nn0cnd 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((#‘𝐴) + 𝑐) ∈ ℂ)
179178addid1d 10115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (((#‘𝐴) + 𝑐) + 0) = ((#‘𝐴) + 𝑐))
180176, 179syl5req 2657 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((#‘𝐴) + 𝑐) = (((#‘𝐴) + 𝑐) + (#‘∅)))
18179, 144, 146, 83, 168, 174, 180splval2 13359 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) splice ⟨((#‘𝐴) + 𝑐), ((#‘𝐴) + 𝑐), ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩⟩) = (((𝐴 ++ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩)) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ++ ((𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩) ++ 𝐵)))
182142, 181eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (((#‘𝐴) + 𝑐)(𝑇‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))𝑢) = (((𝐴 ++ (𝑓 substr ⟨0, 𝑐⟩)) ++ ⟨“𝑢(𝑀𝑢)”⟩) ++ ((𝑓 substr ⟨𝑐, (#‘𝑓)⟩) ++ 𝐵)))
18390, 105, 1823eqtr4d 2654 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((𝐴 ++ (𝑐(𝑇𝑓)𝑢)) ++ 𝐵) = (((#‘𝐴) + 𝑐)(𝑇‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))𝑢))
1841, 2, 3, 4efgtf 17958 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ∈ 𝑊 → ((𝑇‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)) = (𝑎 ∈ (0...(#‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))), 𝑏 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) splice ⟨𝑎, 𝑎, ⟨“𝑏(𝑀𝑏)”⟩⟩)) ∧ (𝑇‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)):((0...(#‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊))
185184simprd 478 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ∈ 𝑊 → (𝑇‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)):((0...(#‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊)
186 ffn 5958 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)):((0...(#‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))) × (𝐼 × 2𝑜))⟶𝑊 → (𝑇‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)) Fn ((0...(#‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))) × (𝐼 × 2𝑜)))
18772, 185, 1863syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (𝑇‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)) Fn ((0...(#‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))) × (𝐼 × 2𝑜)))
188 fnovrn 6707 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)) Fn ((0...(#‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))) × (𝐼 × 2𝑜)) ∧ ((#‘𝐴) + 𝑐) ∈ (0...(#‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜)) → (((#‘𝐴) + 𝑐)(𝑇‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))𝑢) ∈ ran (𝑇‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)))
189187, 140, 70, 188syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (((#‘𝐴) + 𝑐)(𝑇‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))𝑢) ∈ ran (𝑇‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)))
190183, 189eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((𝐴 ++ (𝑐(𝑇𝑓)𝑢)) ++ 𝐵) ∈ ran (𝑇‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵)))
1911, 2, 3, 4efgi2 17961 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ∈ 𝑊 ∧ ((𝐴 ++ (𝑐(𝑇𝑓)𝑢)) ++ 𝐵) ∈ ran (𝑇‘((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵))) → ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ (𝑐(𝑇𝑓)𝑢)) ++ 𝐵))
19272, 190, 191syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ (𝑐(𝑇𝑓)𝑢)) ++ 𝐵))
1931, 2, 3, 4, 9, 10, 6efgcpbllema 17990 . . . . . . . . . 10 (𝑓𝐿(𝑐(𝑇𝑓)𝑢) ↔ (𝑓𝑊 ∧ (𝑐(𝑇𝑓)𝑢) ∈ 𝑊 ∧ ((𝐴 ++ 𝑓) ++ 𝐵) ((𝐴 ++ (𝑐(𝑇𝑓)𝑢)) ++ 𝐵)))
19467, 71, 192, 193syl3anbrc 1239 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → 𝑓𝐿(𝑐(𝑇𝑓)𝑢))
195 vex 3176 . . . . . . . . . . 11 𝑎 ∈ V
196 vex 3176 . . . . . . . . . . 11 𝑓 ∈ V
197195, 196elec 7673 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ [𝑓]𝐿𝑓𝐿𝑎)
198 breq2 4587 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑐(𝑇𝑓)𝑢) → (𝑓𝐿𝑎𝑓𝐿(𝑐(𝑇𝑓)𝑢)))
199197, 198syl5bb 271 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑐(𝑇𝑓)𝑢) → (𝑎 ∈ [𝑓]𝐿𝑓𝐿(𝑐(𝑇𝑓)𝑢)))
200194, 199syl5ibrcom 236 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) ∧ (𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜))) → (𝑎 = (𝑐(𝑇𝑓)𝑢) → 𝑎 ∈ [𝑓]𝐿))
201200rexlimdvva 3020 . . . . . . 7 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) → (∃𝑐 ∈ (0...(#‘𝑓))∃𝑢 ∈ (𝐼 × 2𝑜)𝑎 = (𝑐(𝑇𝑓)𝑢) → 𝑎 ∈ [𝑓]𝐿))
20266, 201sylbid 229 . . . . . 6 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) → (𝑎 ∈ ran (𝑇𝑓) → 𝑎 ∈ [𝑓]𝐿))
203202ssrdv 3574 . . . . 5 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝑓𝑊) → ran (𝑇𝑓) ⊆ [𝑓]𝐿)
204203ralrimiva 2949 . . . 4 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → ∀𝑓𝑊 ran (𝑇𝑓) ⊆ [𝑓]𝐿)
205 fvex 6113 . . . . . . 7 ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) ∈ V
2061, 205eqeltri 2684 . . . . . 6 𝑊 ∈ V
207 erex 7653 . . . . . 6 (𝐿 Er 𝑊 → (𝑊 ∈ V → 𝐿 ∈ V))
20860, 206, 207mpisyl 21 . . . . 5 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝐿 ∈ V)
209 ereq1 7636 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝐿 → (𝑟 Er 𝑊𝐿 Er 𝑊))
210 eceq2 7671 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝐿 → [𝑓]𝑟 = [𝑓]𝐿)
211210sseq2d 3596 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝐿 → (ran (𝑇𝑓) ⊆ [𝑓]𝑟 ↔ ran (𝑇𝑓) ⊆ [𝑓]𝐿))
212211ralbidv 2969 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝐿 → (∀𝑓𝑊 ran (𝑇𝑓) ⊆ [𝑓]𝑟 ↔ ∀𝑓𝑊 ran (𝑇𝑓) ⊆ [𝑓]𝐿))
213209, 212anbi12d 743 . . . . . 6 (𝑟 = 𝐿 → ((𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑓𝑊 ran (𝑇𝑓) ⊆ [𝑓]𝑟) ↔ (𝐿 Er 𝑊 ∧ ∀𝑓𝑊 ran (𝑇𝑓) ⊆ [𝑓]𝐿)))
214213elabg 3320 . . . . 5 (𝐿 ∈ V → (𝐿 ∈ {𝑟 ∣ (𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑓𝑊 ran (𝑇𝑓) ⊆ [𝑓]𝑟)} ↔ (𝐿 Er 𝑊 ∧ ∀𝑓𝑊 ran (𝑇𝑓) ⊆ [𝑓]𝐿)))
215208, 214syl 17 . . . 4 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → (𝐿 ∈ {𝑟 ∣ (𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑓𝑊 ran (𝑇𝑓) ⊆ [𝑓]𝑟)} ↔ (𝐿 Er 𝑊 ∧ ∀𝑓𝑊 ran (𝑇𝑓) ⊆ [𝑓]𝐿)))
21660, 204, 215mpbir2and 959 . . 3 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝐿 ∈ {𝑟 ∣ (𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑓𝑊 ran (𝑇𝑓) ⊆ [𝑓]𝑟)})
217 intss1 4427 . . 3 (𝐿 ∈ {𝑟 ∣ (𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑓𝑊 ran (𝑇𝑓) ⊆ [𝑓]𝑟)} → {𝑟 ∣ (𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑓𝑊 ran (𝑇𝑓) ⊆ [𝑓]𝑟)} ⊆ 𝐿)
218216, 217syl 17 . 2 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → {𝑟 ∣ (𝑟 Er 𝑊 ∧ ∀𝑓𝑊 ran (𝑇𝑓) ⊆ [𝑓]𝑟)} ⊆ 𝐿)
2195, 218syl5eqss 3612 1 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝐿)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  {cab 2596  wral 2896  wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173  cdif 3537  wss 3540  c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127  cop 4131  cotp 4133   cint 4410   ciun 4455   class class class wbr 4583  {copab 4642  cmpt 4643   I cid 4948   × cxp 5036  ran crn 5039  Rel wrel 5043   Fn wfn 5799  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  cmpt2 6551  1𝑜c1o 7440  2𝑜c2o 7441   Er wer 7626  [cec 7627  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  cmin 10145  0cn0 11169  cz 11254  cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   ++ cconcat 13148   substr csubstr 13150   splice csplice 13151  ⟨“cs2 13437   ~FG cefg 17942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-splice 13159  df-s2 13444  df-efg 17945
This theorem is referenced by:  efgcpbl  17992
  Copyright terms: Public domain W3C validator