Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bccbc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bccbc 37566
Description: The binomial coefficient and generalized binomial coefficient are equal when their arguments are nonnegative integers. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
bccbc.c (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
bccbc.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
bccbc (𝜑 → (𝑁C𝑐𝐾) = (𝑁C𝐾))

Proof of Theorem bccbc
StepHypRef Expression
1 bccbc.c . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
21nn0cnd 11230 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
3 bccbc.k . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
42, 3bccval 37559 . . . 4 (𝜑 → (𝑁C𝑐𝐾) = ((𝑁 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
54adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑐𝐾) = ((𝑁 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
6 bcfallfac 14614 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
76adantl 481 . . 3 ((𝜑𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = ((𝑁 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
85, 7eqtr4d 2647 . 2 ((𝜑𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑐𝐾) = (𝑁C𝐾))
9 nn0split 12323 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ℕ0 = ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
101, 9syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℕ0 = ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
113, 10eleqtrd 2690 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
12 elun 3715 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∨ 𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
1311, 12sylib 207 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 ∈ (0...𝑁) ∨ 𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
1413orcanai 950 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
15 eluzle 11576 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝐾)
1615adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ≤ 𝐾)
171nn0zd 11356 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
183nn0zd 11356 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
19 zltp1le 11304 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝐾 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝐾))
2017, 18, 19syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 < 𝐾 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝐾))
2120adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 < 𝐾 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝐾))
2216, 21mpbird 246 . . . . 5 ((𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 < 𝐾)
2314, 22syldan 486 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 < 𝐾)
241nn0ge0d 11231 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
25 0zd 11266 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
26 elfzo 12341 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (0..^𝐾) ↔ (0 ≤ 𝑁𝑁 < 𝐾)))
2717, 25, 18, 26syl3anc 1318 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 ∈ (0..^𝐾) ↔ (0 ≤ 𝑁𝑁 < 𝐾)))
2827biimpar 501 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝑁𝑁 < 𝐾)) → 𝑁 ∈ (0..^𝐾))
29 fzoval 12340 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → (0..^𝐾) = (0...(𝐾 − 1)))
3018, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0..^𝐾) = (0...(𝐾 − 1)))
3130eleq2d 2673 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 ∈ (0..^𝐾) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝐾 − 1))))
3231biimpa 500 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ (0..^𝐾)) → 𝑁 ∈ (0...(𝐾 − 1)))
332, 3bcc0 37561 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁C𝑐𝐾) = 0 ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝐾 − 1))))
3433biimpar 501 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 ∈ (0...(𝐾 − 1))) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
3532, 34syldan 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 ∈ (0..^𝐾)) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
3628, 35syldan 486 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (0 ≤ 𝑁𝑁 < 𝐾)) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
3724, 36sylanr1 682 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝜑𝑁 < 𝐾)) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
3837anabss5 853 . . . 4 ((𝜑𝑁 < 𝐾) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
3923, 38syldan 486 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑐𝐾) = 0)
401, 18jca 553 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ))
41 bcval3 12955 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
42413expa 1257 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
4340, 42sylan 487 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
4439, 43eqtr4d 2647 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑐𝐾) = (𝑁C𝐾))
458, 44pm2.61dan 828 1 (𝜑 → (𝑁C𝑐𝐾) = (𝑁C𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  cun 3538   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145   / cdiv 10563  0cn0 11169  cz 11254  cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  !cfa 12922  Ccbc 12951   FallFac cfallfac 14574  C𝑐cbcc 37557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-prod 14475  df-fallfac 14577  df-bcc 37558
This theorem is referenced by:  binomcxplemnn0  37570
  Copyright terms: Public domain W3C validator