Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bccbc Structured version   Unicode version

Theorem bccbc 36664
Description: The binomial coefficient and generalized binomial coefficient are equal when their arguments are nonnegative integers. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
bccbc.c  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
bccbc.k  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
bccbc  |-  ( ph  ->  ( NC𝑐 K )  =  ( N  _C  K ) )

Proof of Theorem bccbc
StepHypRef Expression
1 bccbc.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
21nn0cnd 10934 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
3 bccbc.k . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
42, 3bccval 36657 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( NC𝑐 K )  =  ( ( N FallFac  K )  /  ( ! `  K ) ) )
54adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( NC𝑐 K )  =  ( ( N FallFac  K )  /  ( ! `  K ) ) )
6 bcfallfac 14096 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( N FallFac  K
)  /  ( ! `
 K ) ) )
76adantl 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( N FallFac  K
)  /  ( ! `
 K ) ) )
85, 7eqtr4d 2466 . 2  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( NC𝑐 K )  =  ( N  _C  K ) )
9 nn0split 11913 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  NN0  =  ( ( 0 ... N )  u.  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ) )
101, 9syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  NN0  =  ( ( 0 ... N )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
113, 10eleqtrd 2509 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ( 0 ... N )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
12 elun 3606 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( ( 0 ... N )  u.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  <->  ( K  e.  ( 0 ... N
)  \/  K  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ) )
1311, 12sylib 199 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  \/  K  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ) )
1413orcanai 921 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  K  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )
15 eluzle 11178 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  +  1 )  <_  K )
1615adantl 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  +  1 )  <_  K )
171nn0zd 11045 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
183nn0zd 11045 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
19 zltp1le 10993 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  <  K  <->  ( N  +  1 )  <_  K ) )
2017, 18, 19syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N  <  K  <->  ( N  +  1 )  <_  K ) )
2120adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  <  K  <->  ( N  + 
1 )  <_  K
) )
2216, 21mpbird 235 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  K  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  N  <  K )
2314, 22syldan 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  <  K )
241nn0ge0d 10935 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  N )
25 0zd 10956 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
26 elfzo 11929 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  ( 0..^ K )  <->  ( 0  <_  N  /\  N  <  K ) ) )
2717, 25, 18, 26syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( 0..^ K )  <->  ( 0  <_  N  /\  N  <  K ) ) )
2827biimpar 487 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( 0  <_  N  /\  N  <  K ) )  ->  N  e.  ( 0..^ K ) )
29 fzoval 11928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
0..^ K )  =  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )
3018, 29syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0..^ K )  =  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )
3130eleq2d 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N  e.  ( 0..^ K )  <->  N  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ) )
3231biimpa 486 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( 0..^ K ) )  ->  N  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )
332, 3bcc0 36659 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( NC𝑐 K )  =  0  <->  N  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ) )
3433biimpar 487 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( NC𝑐 K )  =  0 )
3532, 34syldan 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( 0..^ K ) )  ->  ( NC𝑐 K )  =  0 )
3628, 35syldan 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( 0  <_  N  /\  N  <  K ) )  -> 
( NC𝑐 K )  =  0 )
3724, 36sylanr1 656 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ph  /\  N  <  K ) )  ->  ( NC𝑐 K
)  =  0 )
3837anabss5 823 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  <  K )  ->  ( NC𝑐 K
)  =  0 )
3923, 38syldan 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( NC𝑐 K )  =  0 )
401, 18jca 534 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ ) )
41 bcval3 12497 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
42413expa 1205 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ )  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
4340, 42sylan 473 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  K )  =  0 )
4439, 43eqtr4d 2466 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( NC𝑐 K )  =  ( N  _C  K ) )
458, 44pm2.61dan 798 1  |-  ( ph  ->  ( NC𝑐 K )  =  ( N  _C  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    u. cun 3434   class class class wbr 4423   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   0cc0 9546   1c1 9547    + caddc 9549    < clt 9682    <_ cle 9683    - cmin 9867    / cdiv 10276   NN0cn0 10876   ZZcz 10944   ZZ>=cuz 11166   ...cfz 11791  ..^cfzo 11922   !cfa 12465    _C cbc 12493   FallFac cfallfac 14056  C𝑐cbcc 36655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-sup 7965  df-oi 8034  df-card 8381  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12220  df-exp 12279  df-fac 12466  df-bc 12494  df-hash 12522  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13551  df-prod 13959  df-fallfac 14059  df-bcc 36656
This theorem is referenced by:  binomcxplemnn0  36668
  Copyright terms: Public domain W3C validator