Theorem nn0cnd 11230

Description: A nonnegative integer is a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0cnd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Proof of Theorem nn0cnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2	1	nn0red 11229	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	recnd 9947	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  ℂcc 9813  ℕ₀cn0 11169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-nn 10898  df-n0 11170

This theorem is referenced by:  quoremnn0ALT  12518  expaddzlem  12765  expaddz  12766  expmulz  12768  facdiv  12936  faclbnd4lem3  12944  bcp1n  12965  bcn2m1  12973  bcn2p1  12974  hashgadd  13027  hashdom  13029  hashun3  13034  hashssdif  13061  hashdifpr  13064  hashxplem  13080  hashmap  13082  hashbclem  13093  hashf1lem2  13097  hashf1  13098  ccatval3  13216  ccatlid  13222  ccatrid  13223  ccatass  13224  ccatrn  13225  lswccatn0lsw  13226  ccatalpha  13228  wrdlenccats1lenm1  13252  ccats1val2  13256  ccatws1lenrev  13260  swrd0f  13279  swrdid  13280  addlenswrd  13290  swrdtrcfvl  13302  swrdccat2  13310  ccatopth2  13323  cats1un  13327  swrdccat3b  13347  spllen  13356  splfv2a  13358  revccat  13366  cshwlen  13396  cshwidxmod  13400  repswcshw  13409  2cshwid  13411  cshweqdif2  13416  relexpaddg  13641  rtrclreclem3  13648  isercoll2  14247  iseraltlem3  14262  binomlem  14400  bcxmas  14406  incexclem  14407  incexc  14408  incexc2  14409  climcndslem1  14420  climcndslem2  14421  arisum  14431  arisum2  14432  geomulcvg  14446  mertens  14457  risefacval2  14580  fallfacval2  14581  fallfacval3  14582  risefallfac  14594  risefacp1  14599  fallfacp1  14600  fallfacfwd  14606  binomfallfaclem1  14609  binomfallfaclem2  14610  binomrisefac  14612  bpolycl  14622  bpolysum  14623  bpolydiflem  14624  fsumkthpow  14626  bpoly4  14629  effsumlt  14680  dvdsexp  14887  nn0ob  14938  divalgmod  14967  divalgmodOLD  14968  bitsinv1lem  15001  sadcp1  15015  sadcaddlem  15017  sadadd2lem  15019  sadadd3  15021  sadaddlem  15026  sadasslem  15030  smupp1  15040  smumullem  15052  mulgcd  15103  absmulgcd  15104  mulgcdr  15105  gcddiv  15106  lcmgcd  15158  lcmid  15160  lcm1  15161  3lcm2e6woprm  15166  6lcm4e12  15167  mulgcddvds  15207  qredeu  15210  divgcdcoprm0  15217  divgcdcoprmex  15218  cncongr1  15219  cncongr2  15220  odzdvds  15338  powm2modprm  15346  coprimeprodsq  15351  pceulem  15388  pczpre  15390  pcqmul  15396  pcaddlem  15430  pcmpt  15434  pcmpt2  15435  sumhash  15438  oddprmdvds  15445  mul4sq  15496  4sqlem12  15498  vdwapun  15516  vdwlem2  15524  vdwlem3  15525  vdwlem6  15528  vdwlem8  15530  vdwlem9  15531  ramub1lem2  15569  ramcl  15571  mulgnn0dir  17394  mulgnn0ass  17401  lagsubg2  17478  psgnunilem2  17738  odmodnn0  17782  odmulg  17796  odmulgeq  17797  odinv  17801  sylow1lem1  17836  sylow2a  17857  sylow2blem3  17860  sylow3lem3  17867  sylow3lem4  17868  efginvrel2  17963  efgsval2  17969  efgsp1  17973  efgredlemg  17978  efgredleme  17979  efgcpbllemb  17991  odadd2  18075  odadd  18076  torsubg  18080  frgpnabllem1  18099  pgpfaclem1  18303  srgbinomlem3  18365  srgbinomlem4  18366  mplcoe5  19289  coe1tmmul2  19467  coe1tmmul2fv  19469  coe1pwmulfv  19471  nn0srg  19635  mbfi1fseqlem3  23290  dvn2bss  23499  tdeglem4  23624  tdeglem2  23625  mdegmullem  23642  coe1mul3  23663  ply1divex  23700  fta1glem1  23729  plyaddlem1  23773  plymullem1  23774  coeeulem  23784  coemulc  23815  dgrmulc  23831  dgrcolem2  23834  dgrco  23835  dvply1  23843  dvply2g  23844  plydivlem4  23855  fta1lem  23866  vieta1lem1  23869  aareccl  23885  aaliou3lem8  23904  taylply2  23926  dvtaylp  23928  dvntaylp  23929  dvntaylp0  23930  dvradcnv  23979  pserdvlem2  23986  advlogexp  24201  cxpeq  24298  atantayl3  24466  birthdaylem2  24479  harmonicbnd4  24537  dmgmaddnn0  24553  lgamucov  24564  wilthlem2  24595  basellem2  24608  basellem3  24609  basellem5  24611  0sgm  24670  sgmppw  24722  chtublem  24736  chpval2  24743  sumdchr2  24795  bcp1ctr  24804  lgslem1  24822  gausslemma2dlem6  24897  gausslemma2d  24899  lgseisenlem2  24901  lgseisenlem3  24902  lgsquadlem1  24905  lgsquadlem2  24906  lgsquad2lem2  24910  m1lgs  24913  2lgslem1c  24918  2lgslem3a  24921  2lgslem3b  24922  2lgslem3c  24923  2lgslem3d  24924  2sqlem8  24951  dchrisumlem1  24978  dchrisum0flblem2  24998  rpvmasum2  25001  mulogsumlem  25020  selberg2lem  25039  pntrsumo1  25054  pntrlog2bndlem4  25069  cusgrasizeinds  26004  wlklniswwlkn2  26228  wwlknred  26251  wwlknext  26252  wwlknextbi  26253  wwlknredwwlkn  26254  wwlkextproplem2  26270  clwlkisclwwlk  26317  vdgrfiun  26429  nbhashuvtx1  26442  eupath2lem3  26506  frghash2spot  26590  usgreghash2spotv  26593  frgregordn0  26597  numclwwlk3  26636  ex-lcm  26707  ex-ind-dvds  26710  divnumden2  28951  2sqmod  28979  omndmul2  29043  omndmul3  29044  archiabllem1a  29076  oddpwdc  29743  eulerpartlemsv2  29747  eulerpartlems  29749  eulerpartlemsv3  29750  eulerpartlemv  29753  eulerpartlemb  29757  iwrdsplit  29776  ballotlemgun  29913  ccatmulgnn0dir  29945  ofcccat  29946  signsplypnf  29953  signslema  29965  signstfvn  29972  signstfveq0  29980  signsvtp  29986  signsvtn  29987  signlem0  29990  signshf  29991  subfacp1lem6  30421  subfacval2  30423  subfaclim  30424  cvmliftlem7  30527  elmrsubrn  30671  bcprod  30877  bccolsum  30878  faclimlem1  30882  faclim2  30887  fwddifnp1  31442  knoppndvlem6  31678  knoppndvlem14  31686  poimirlem4  32583  poimirlem5  32584  poimirlem6  32585  poimirlem7  32586  poimirlem10  32589  poimirlem11  32590  poimirlem12  32591  poimirlem16  32595  poimirlem17  32596  poimirlem19  32598  poimirlem20  32599  poimirlem22  32601  poimirlem24  32603  poimirlem25  32604  poimirlem29  32608  poimirlem31  32610  rmxyneg  36503  rmxyadd  36504  rmyp1  36516  rmxm1  36517  rmym1  36518  rmxluc  36519  rmyluc  36520  rmxdbl  36522  rmydbl  36523  jm2.18  36573  jm2.19lem1  36574  jm2.19lem2  36575  jm2.22  36580  jm2.23  36581  jm2.25  36584  jm2.27c  36592  rmxdiophlem  36600  expdioph  36608  hbtlem4  36715  itgpowd  36819  relexpmulg  37021  radcnvrat  37535  nzprmdif  37540  bcc0  37561  bccp1k  37562  bccbc  37566  binomcxplemnn0  37570  binomcxplemrat  37571  binomcxplemfrat  37572  binomcxplemnotnn0  37577  fzisoeu  38455  mccllem  38664  dvxpaek  38830  dvnxpaek  38832  dvnmul  38833  dvnprodlem1  38836  dvnprodlem2  38837  stoweidlem24  38917  stirlinglem3  38969  stirlinglem7  38973  fourierdlem36  39036  fourierdlem47  39046  etransclem23  39150  etransclem32  39159  etransclem48  39175  fmtnom1nn  39982  fmtnof1  39985  fmtnorec1  39987  sqrtpwpw2p  39988  fmtnorec2lem  39992  fmtnorec3  39998  fmtnofac2lem  40018  fmtnofac2  40019  fmtnofac1  40020  pwdif  40039  lighneallem3  40062  lighneallem4b  40064  addlenpfx  40261  pfxfv  40262  pfxtrcfvl  40268  pfxpfx  40278  ccats1pfxeq  40284  fz0addcom  40354  1wlklenvm1  40826  crctcshlem4  41023  crctcsh  41027  1wlklnwwlkln2lem  41079  wwlksnred  41098  wwlksnext  41099  wwlksnextbi  41100  wwlksnredwwlkn  41101  wwlksnextproplem2  41116  rusgrnumwwlks  41177  rusgrnumwwlk  41178  clwlkclwwlk  41211  eupth2lem3lem3  41398  eupth2lem3lem6  41401  frgrhash2wsp  41497  fusgreghash2wspv  41499  frrusgrord0  41503  av-numclwwlk1  41528  av-numclwwlk3  41539  altgsumbc  41923  altgsumbcALT  41924  nnpw2pmod  42175  dignn0ehalf  42209  nn0sumshdiglemA  42211  nn0sumshdiglemB  42212  nn0sumshdiglem2  42214  nn0mullong  42217  aacllem  42356