Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fta1glem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fta1glem1 23729
 Description: Lemma for fta1g 23731. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fta1g.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
fta1g.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
fta1g.d 𝐷 = ( deg1𝑅)
fta1g.o 𝑂 = (eval1𝑅)
fta1g.w 𝑊 = (0g𝑅)
fta1g.z 0 = (0g𝑃)
fta1g.1 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
fta1g.2 (𝜑𝐹𝐵)
fta1glem.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
fta1glem.x 𝑋 = (var1𝑅)
fta1glem.m = (-g𝑃)
fta1glem.a 𝐴 = (algSc‘𝑃)
fta1glem.g 𝐺 = (𝑋 (𝐴𝑇))
fta1glem.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
fta1glem.4 (𝜑 → (𝐷𝐹) = (𝑁 + 1))
fta1glem.5 (𝜑𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}))
Assertion
Ref Expression
fta1glem1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) = 𝑁)

Proof of Theorem fta1glem1
StepHypRef Expression
1 1cnd 9935 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2 fta1g.1 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ IDomn)
3 isidom 19125 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
43simprbi 479 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
5 domnnzr 19116 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ NzRing)
72, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ NzRing)
8 nzrring 19082 . . . . 5 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑅 ∈ Ring)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
10 fta1g.2 . . . . 5 (𝜑𝐹𝐵)
11 fta1g.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
12 fta1g.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑃)
13 fta1glem.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝑅)
14 fta1glem.x . . . . . . . 8 𝑋 = (var1𝑅)
15 fta1glem.m . . . . . . . 8 = (-g𝑃)
16 fta1glem.a . . . . . . . 8 𝐴 = (algSc‘𝑃)
17 fta1glem.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑋 (𝐴𝑇))
18 fta1g.o . . . . . . . 8 𝑂 = (eval1𝑅)
193simplbi 475 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ CRing)
202, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
21 fta1glem.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}))
22 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅s 𝐾) = (𝑅s 𝐾)
23 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘(𝑅s 𝐾)) = (Base‘(𝑅s 𝐾))
24 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝑅) ∈ V
2513, 24eqeltri 2684 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 ∈ V
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ V)
2718, 11, 22, 13evl1rhm 19517 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
2820, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)))
2912, 23rhmf 18549 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅s 𝐾)))
3130, 10ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑂𝐹) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐾)))
3222, 13, 23, 2, 26, 31pwselbas 15972 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑂𝐹):𝐾𝐾)
33 ffn 5958 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑂𝐹):𝐾𝐾 → (𝑂𝐹) Fn 𝐾)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑂𝐹) Fn 𝐾)
35 fniniseg 6246 . . . . . . . . . . 11 ((𝑂𝐹) Fn 𝐾 → (𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑇𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇 ∈ ((𝑂𝐹) “ {𝑊}) ↔ (𝑇𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊)))
3721, 36mpbid 221 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑇𝐾 ∧ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊))
3837simpld 474 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇𝐾)
39 eqid 2610 . . . . . . . 8 (Monic1p𝑅) = (Monic1p𝑅)
40 fta1g.d . . . . . . . 8 𝐷 = ( deg1𝑅)
41 fta1g.w . . . . . . . 8 𝑊 = (0g𝑅)
4211, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 7, 20, 38, 39, 40, 41ply1remlem 23726 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 ∈ (Monic1p𝑅) ∧ (𝐷𝐺) = 1 ∧ ((𝑂𝐺) “ {𝑊}) = {𝑇}))
4342simp1d 1066 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ (Monic1p𝑅))
44 eqid 2610 . . . . . . 7 (Unic1p𝑅) = (Unic1p𝑅)
4544, 39mon1puc1p 23714 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺 ∈ (Monic1p𝑅)) → 𝐺 ∈ (Unic1p𝑅))
469, 43, 45syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ (Unic1p𝑅))
47 eqid 2610 . . . . . 6 (quot1p𝑅) = (quot1p𝑅)
4847, 11, 12, 44q1pcl 23719 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺 ∈ (Unic1p𝑅)) → (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
499, 10, 46, 48syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵)
50 fta1glem.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐷𝐹) = (𝑁 + 1))
51 fta1glem.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
52 peano2nn0 11210 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
5351, 52syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
5450, 53eqeltrd 2688 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷𝐹) ∈ ℕ0)
55 fta1g.z . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑃)
5640, 11, 55, 12deg1nn0clb 23654 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵) → (𝐹0 ↔ (𝐷𝐹) ∈ ℕ0))
579, 10, 56syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹0 ↔ (𝐷𝐹) ∈ ℕ0))
5854, 57mpbird 246 . . . . . 6 (𝜑𝐹0 )
5937simprd 478 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊)
60 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (∥r𝑃) = (∥r𝑃)
6111, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 7, 20, 38, 10, 41, 60facth1 23728 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺(∥r𝑃)𝐹 ↔ ((𝑂𝐹)‘𝑇) = 𝑊))
6259, 61mpbird 246 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺(∥r𝑃)𝐹)
63 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (.r𝑃) = (.r𝑃)
6411, 60, 12, 44, 63, 47dvdsq1p 23724 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹𝐵𝐺 ∈ (Unic1p𝑅)) → (𝐺(∥r𝑃)𝐹𝐹 = ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)))
659, 10, 46, 64syl3anc 1318 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺(∥r𝑃)𝐹𝐹 = ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺)))
6662, 65mpbid 221 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 = ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺))
6766eqcomd 2616 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) = 𝐹)
6811ply1crng 19389 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing)
6920, 68syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ CRing)
70 crngring 18381 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ CRing → 𝑃 ∈ Ring)
7169, 70syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
7211, 12, 39mon1pcl 23708 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (Monic1p𝑅) → 𝐺𝐵)
7343, 72syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺𝐵)
7412, 63, 55ringlz 18410 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → ( 0 (.r𝑃)𝐺) = 0 )
7571, 73, 74syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → ( 0 (.r𝑃)𝐺) = 0 )
7658, 67, 753netr4d 2859 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) ≠ ( 0 (.r𝑃)𝐺))
77 oveq1 6556 . . . . . 6 ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺) = 0 → ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) = ( 0 (.r𝑃)𝐺))
7877necon3i 2814 . . . . 5 (((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) ≠ ( 0 (.r𝑃)𝐺) → (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ≠ 0 )
7976, 78syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ≠ 0 )
8040, 11, 55, 12deg1nn0cl 23652 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ≠ 0 ) → (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∈ ℕ0)
819, 49, 79, 80syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∈ ℕ0)
8281nn0cnd 11230 . 2 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) ∈ ℂ)
8351nn0cnd 11230 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
8412, 63crngcom 18385 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ CRing ∧ (𝐹(quot1p𝑅)𝐺) ∈ 𝐵𝐺𝐵) → ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) = (𝐺(.r𝑃)(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))
8569, 49, 73, 84syl3anc 1318 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹(quot1p𝑅)𝐺)(.r𝑃)𝐺) = (𝐺(.r𝑃)(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))
8666, 85eqtrd 2644 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝐺(.r𝑃)(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)))
8786fveq2d 6107 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝐹) = (𝐷‘(𝐺(.r𝑃)(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))))
88 eqid 2610 . . . . 5 (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
8942simp2d 1067 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐷𝐺) = 1)
90 1nn0 11185 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
9189, 90syl6eqel 2696 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐷𝐺) ∈ ℕ0)
9240, 11, 55, 12deg1nn0clb 23654 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐺𝐵) → (𝐺0 ↔ (𝐷𝐺) ∈ ℕ0))
939, 73, 92syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺0 ↔ (𝐷𝐺) ∈ ℕ0))
9491, 93mpbird 246 . . . . 5 (𝜑𝐺0 )
95 eqid 2610 . . . . . . . 8 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
9688, 95unitrrg 19114 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
979, 96syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
9840, 95, 44uc1pldg 23712 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (Unic1p𝑅) → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
9946, 98syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (Unit‘𝑅))
10097, 99sseldd 3569 . . . . 5 (𝜑 → ((coe1𝐺)‘(𝐷𝐺)) ∈ (RLReg‘𝑅))
10140, 11, 88, 12, 63, 55, 9, 73, 94, 100, 49, 79deg1mul2 23678 . . . 4 (𝜑 → (𝐷‘(𝐺(.r𝑃)(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))) = ((𝐷𝐺) + (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))))
10287, 50, 1013eqtr3d 2652 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 1) = ((𝐷𝐺) + (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))))
103 ax-1cn 9873 . . . 4 1 ∈ ℂ
104 addcom 10101 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 + 1) = (1 + 𝑁))
10583, 103, 104sylancl 693 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 1) = (1 + 𝑁))
10689oveq1d 6564 . . 3 (𝜑 → ((𝐷𝐺) + (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))) = (1 + (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))))
107102, 105, 1063eqtr3rd 2653 . 2 (𝜑 → (1 + (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺))) = (1 + 𝑁))
1081, 82, 83, 107addcanad 10120 1 (𝜑 → (𝐷‘(𝐹(quot1p𝑅)𝐺)) = 𝑁)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  {csn 4125   class class class wbr 4583  ◡ccnv 5037   “ cima 5041   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  1c1 9816   + caddc 9818  ℕ0cn0 11169  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  0gc0g 15923   ↑s cpws 15930  -gcsg 17247  Ringcrg 18370  CRingccrg 18371  ∥rcdsr 18461  Unitcui 18462   RingHom crh 18535  NzRingcnzr 19078  RLRegcrlreg 19100  Domncdomn 19101  IDomncidom 19102  algSccascl 19132  var1cv1 19367  Poly1cpl1 19368  coe1cco1 19369  eval1ce1 19500   deg1 cdg1 23618  Monic1pcmn1 23689  Unic1pcuc1p 23690  quot1pcq1p 23691 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-srg 18329  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-rnghom 18538  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-nzr 19079  df-rlreg 19104  df-domn 19105  df-idom 19106  df-assa 19133  df-asp 19134  df-ascl 19135  df-psr 19177  df-mvr 19178  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-evls 19327  df-evl 19328  df-psr1 19371  df-vr1 19372  df-ply1 19373  df-coe1 19374  df-evl1 19502  df-cnfld 19568  df-mdeg 23619  df-deg1 23620  df-mon1 23694  df-uc1p 23695  df-q1p 23696  df-r1p 23697 This theorem is referenced by:  fta1glem2  23730
 Copyright terms: Public domain W3C validator