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Theorem pcaddlem 15430
Description: Lemma for pcadd 15431. The original numbers 𝐴 and 𝐵 have been decomposed using the prime count function as (𝑃𝑀) · (𝑅 / 𝑆) where 𝑅, 𝑆 are both not divisible by 𝑃 and 𝑀 = (𝑃 pCnt 𝐴), and similarly for 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcaddlem.1 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
pcaddlem.2 (𝜑𝐴 = ((𝑃𝑀) · (𝑅 / 𝑆)))
pcaddlem.3 (𝜑𝐵 = ((𝑃𝑁) · (𝑇 / 𝑈)))
pcaddlem.4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
pcaddlem.5 (𝜑 → (𝑅 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝑅))
pcaddlem.6 (𝜑 → (𝑆 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑃𝑆))
pcaddlem.7 (𝜑 → (𝑇 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝑇))
pcaddlem.8 (𝜑 → (𝑈 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑃𝑈))
Assertion
Ref Expression
pcaddlem (𝜑𝑀 ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem pcaddlem
StepHypRef Expression
1 oveq2 6557 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) = 0 → (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)) = (𝑃 pCnt 0))
21breq2d 4595 . 2 ((𝐴 + 𝐵) = 0 → (𝑀 ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)) ↔ 𝑀 ≤ (𝑃 pCnt 0)))
3 pcaddlem.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
4 eluzel2 11568 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
65zred 11358 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
76adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
8 pcaddlem.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
9 prmnn 15226 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
1110nncnd 10913 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
1210nnne0d 10942 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ≠ 0)
13 eluzelz 11573 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
143, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1514, 5zsubcld 11363 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℤ)
1611, 12, 15expclzd 12875 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃↑(𝑁𝑀)) ∈ ℂ)
17 pcaddlem.7 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑇 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝑇))
1817simpld 474 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℤ)
1918zcnd 11359 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
20 pcaddlem.8 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑈 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑃𝑈))
2120simpld 474 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ ℕ)
2221nncnd 10913 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
2321nnne0d 10942 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ≠ 0)
2416, 19, 22, 23divassd 10715 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) / 𝑈) = ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))
2524oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑅 / 𝑆) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) / 𝑈)) = ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))
26 pcaddlem.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑅 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝑅))
2726simpld 474 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℤ)
2827zcnd 11359 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
29 pcaddlem.6 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 ∈ ℕ ∧ ¬ 𝑃𝑆))
3029simpld 474 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℕ)
3130nncnd 10913 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
3216, 19mulcld 9939 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) ∈ ℂ)
3330nnne0d 10942 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ≠ 0)
3428, 31, 32, 22, 33, 23divadddivd 10724 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑅 / 𝑆) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) / 𝑈)) = (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)))
3525, 34eqtr3d 2646 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) = (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)))
3635oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = (𝑃 pCnt (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈))))
3736adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = (𝑃 pCnt (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈))))
388adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℙ)
3921nnzd 11357 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ ℤ)
4027, 39zmulcld 11364 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 · 𝑈) ∈ ℤ)
41 uznn0sub 11595 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
423, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℕ0)
4310, 42nnexpcld 12892 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃↑(𝑁𝑀)) ∈ ℕ)
4443nnzd 11357 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃↑(𝑁𝑀)) ∈ ℤ)
4544, 18zmulcld 11364 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) ∈ ℤ)
4630nnzd 11357 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ ℤ)
4745, 46zmulcld 11364 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆) ∈ ℤ)
4840, 47zaddcld 11362 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ∈ ℤ)
4948adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ∈ ℤ)
5011, 12, 5expclzd 12875 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃𝑀) ∈ ℂ)
5150mul01d 10114 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑃𝑀) · 0) = 0)
52 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) = 0 → ((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = ((𝑃𝑀) · 0))
5352eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) = 0 → (((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = 0 ↔ ((𝑃𝑀) · 0) = 0))
5451, 53syl5ibrcom 236 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) = 0 → ((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = 0))
5554necon3d 2803 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) ≠ 0 → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ≠ 0))
5628, 31, 33divcld 10680 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑅 / 𝑆) ∈ ℂ)
5719, 22, 23divcld 10680 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇 / 𝑈) ∈ ℂ)
5816, 57mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)) ∈ ℂ)
5950, 56, 58adddid 9943 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = (((𝑃𝑀) · (𝑅 / 𝑆)) + ((𝑃𝑀) · ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))))
60 pcaddlem.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 = ((𝑃𝑀) · (𝑅 / 𝑆)))
61 pcaddlem.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 = ((𝑃𝑁) · (𝑇 / 𝑈)))
625zcnd 11359 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
6314zcnd 11359 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
6462, 63pncan3d 10274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀 + (𝑁𝑀)) = 𝑁)
6564oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑃↑(𝑀 + (𝑁𝑀))) = (𝑃𝑁))
66 expaddz 12766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ≠ 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ)) → (𝑃↑(𝑀 + (𝑁𝑀))) = ((𝑃𝑀) · (𝑃↑(𝑁𝑀))))
6711, 12, 5, 15, 66syl22anc 1319 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑃↑(𝑀 + (𝑁𝑀))) = ((𝑃𝑀) · (𝑃↑(𝑁𝑀))))
6865, 67eqtr3d 2646 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑃𝑁) = ((𝑃𝑀) · (𝑃↑(𝑁𝑀))))
6968oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑃𝑁) · (𝑇 / 𝑈)) = (((𝑃𝑀) · (𝑃↑(𝑁𝑀))) · (𝑇 / 𝑈)))
7050, 16, 57mulassd 9942 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑃𝑀) · (𝑃↑(𝑁𝑀))) · (𝑇 / 𝑈)) = ((𝑃𝑀) · ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))
7161, 69, 703eqtrd 2648 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 = ((𝑃𝑀) · ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))
7260, 71oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) = (((𝑃𝑀) · (𝑅 / 𝑆)) + ((𝑃𝑀) · ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))))
7359, 72eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = (𝐴 + 𝐵))
7473neeq1d 2841 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) ≠ 0 ↔ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0))
7535neeq1d 2841 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ≠ 0 ↔ (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) ≠ 0))
7655, 74, 753imtr3d 281 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ≠ 0 → (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) ≠ 0))
7730, 21nnmulcld 10945 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆 · 𝑈) ∈ ℕ)
7877nncnd 10913 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 · 𝑈) ∈ ℂ)
7977nnne0d 10942 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 · 𝑈) ≠ 0)
8078, 79div0d 10679 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 / (𝑆 · 𝑈)) = 0)
81 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) = 0 → (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) = (0 / (𝑆 · 𝑈)))
8281eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) = 0 → ((((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) = 0 ↔ (0 / (𝑆 · 𝑈)) = 0))
8380, 82syl5ibrcom 236 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) = 0 → (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) = 0))
8483necon3d 2803 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈)) ≠ 0 → ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ≠ 0))
8576, 84syld 46 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ≠ 0 → ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ≠ 0))
8685imp 444 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ≠ 0)
8777adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑆 · 𝑈) ∈ ℕ)
88 pcdiv 15395 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ∈ ℤ ∧ ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ≠ 0) ∧ (𝑆 · 𝑈) ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈))) = ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈))))
8938, 49, 86, 87, 88syl121anc 1323 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) / (𝑆 · 𝑈))) = ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈))))
90 pcmul 15394 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ≠ 0) ∧ (𝑈 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈)) = ((𝑃 pCnt 𝑆) + (𝑃 pCnt 𝑈)))
918, 46, 33, 39, 23, 90syl122anc 1327 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈)) = ((𝑃 pCnt 𝑆) + (𝑃 pCnt 𝑈)))
9229simprd 478 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝑃𝑆)
93 pceq0 15413 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑆 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑆) = 0 ↔ ¬ 𝑃𝑆))
948, 30, 93syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑆) = 0 ↔ ¬ 𝑃𝑆))
9592, 94mpbird 246 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑆) = 0)
9620simprd 478 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝑃𝑈)
97 pceq0 15413 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑈 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑈) = 0 ↔ ¬ 𝑃𝑈))
988, 21, 97syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑈) = 0 ↔ ¬ 𝑃𝑈))
9996, 98mpbird 246 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 pCnt 𝑈) = 0)
10095, 99oveq12d 6567 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑆) + (𝑃 pCnt 𝑈)) = (0 + 0))
101 00id 10090 . . . . . . . . . . 11 (0 + 0) = 0
102100, 101syl6eq 2660 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃 pCnt 𝑆) + (𝑃 pCnt 𝑈)) = 0)
10391, 102eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈)) = 0)
104103oveq2d 6565 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈))) = ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − 0))
105104adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈))) = ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − 0))
106 pczcl 15391 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ∈ ℤ ∧ ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆)) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) ∈ ℕ0)
10738, 49, 86, 106syl12anc 1316 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) ∈ ℕ0)
108107nn0cnd 11230 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) ∈ ℂ)
109108subid1d 10260 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − 0) = (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))))
110105, 109eqtrd 2644 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))) − (𝑃 pCnt (𝑆 · 𝑈))) = (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))))
11137, 89, 1103eqtrd 2648 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) = (𝑃 pCnt ((𝑅 · 𝑈) + (((𝑃↑(𝑁𝑀)) · 𝑇) · 𝑆))))
112111, 107eqeltrd 2688 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) ∈ ℕ0)
113 nn0addge1 11216 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)))) ∈ ℕ0) → 𝑀 ≤ (𝑀 + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
1147, 112, 113syl2anc 691 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → 𝑀 ≤ (𝑀 + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
115 nnq 11677 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
11610, 115syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℚ)
117 qexpclz 12743 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑃𝑀) ∈ ℚ)
118116, 12, 5, 117syl3anc 1318 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃𝑀) ∈ ℚ)
119118adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃𝑀) ∈ ℚ)
12011, 12, 5expne0d 12876 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃𝑀) ≠ 0)
121120adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃𝑀) ≠ 0)
122 znq 11668 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ) → (𝑅 / 𝑆) ∈ ℚ)
12327, 30, 122syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑅 / 𝑆) ∈ ℚ)
124 qexpclz 12743 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ≠ 0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ) → (𝑃↑(𝑁𝑀)) ∈ ℚ)
125116, 12, 15, 124syl3anc 1318 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃↑(𝑁𝑀)) ∈ ℚ)
126 znq 11668 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ ℤ ∧ 𝑈 ∈ ℕ) → (𝑇 / 𝑈) ∈ ℚ)
12718, 21, 126syl2anc 691 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑇 / 𝑈) ∈ ℚ)
128 qmulcl 11682 . . . . . . . 8 (((𝑃↑(𝑁𝑀)) ∈ ℚ ∧ (𝑇 / 𝑈) ∈ ℚ) → ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)) ∈ ℚ)
129125, 127, 128syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)) ∈ ℚ)
130 qaddcl 11680 . . . . . . 7 (((𝑅 / 𝑆) ∈ ℚ ∧ ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈)) ∈ ℚ) → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ∈ ℚ)
131123, 129, 130syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ∈ ℚ)
132131adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ∈ ℚ)
13374, 55sylbird 249 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) ≠ 0 → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ≠ 0))
134133imp 444 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ≠ 0)
135 pcqmul 15396 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝑃𝑀) ∈ ℚ ∧ (𝑃𝑀) ≠ 0) ∧ (((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ∈ ℚ ∧ ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = ((𝑃 pCnt (𝑃𝑀)) + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
13638, 119, 121, 132, 134, 135syl122anc 1327 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = ((𝑃 pCnt (𝑃𝑀)) + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
13773oveq2d 6565 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))
138137adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt ((𝑃𝑀) · ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))
139 pcid 15415 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑃 pCnt (𝑃𝑀)) = 𝑀)
1408, 5, 139syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 pCnt (𝑃𝑀)) = 𝑀)
141140oveq1d 6564 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃 pCnt (𝑃𝑀)) + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = (𝑀 + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
142141adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → ((𝑃 pCnt (𝑃𝑀)) + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))) = (𝑀 + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
143136, 138, 1423eqtr3d 2652 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)) = (𝑀 + (𝑃 pCnt ((𝑅 / 𝑆) + ((𝑃↑(𝑁𝑀)) · (𝑇 / 𝑈))))))
144114, 143breqtrrd 4611 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐴 + 𝐵) ≠ 0) → 𝑀 ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))
1456rexrd 9968 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ*)
146 pnfge 11840 . . . 4 (𝑀 ∈ ℝ*𝑀 ≤ +∞)
147145, 146syl 17 . . 3 (𝜑𝑀 ≤ +∞)
148 pc0 15397 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) = +∞)
1498, 148syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑃 pCnt 0) = +∞)
150147, 149breqtrrd 4611 . 2 (𝜑𝑀 ≤ (𝑃 pCnt 0))
1512, 144, 150pm2.61ne 2867 1 (𝜑𝑀 ≤ (𝑃 pCnt (𝐴 + 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818   · cmul 9820  +∞cpnf 9950  *cxr 9952  cle 9954  cmin 10145   / cdiv 10563  cn 10897  0cn0 11169  cz 11254  cuz 11563  cq 11664  cexp 12722  cdvds 14821  cprime 15223   pCnt cpc 15379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-pc 15380
This theorem is referenced by:  pcadd  15431
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