Theorem signshf 29991

Description: 𝐻, corresponding to the word 𝐹 multiplied by (𝑥 − 𝐶), as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(#‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(#‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signs.h	⊢ 𝐻 = ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘𝑓 − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩)∘𝑓/𝑐 · 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
signshf	⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐻:(0..^((#‘𝐹) + 1))⟶ℝ)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝐻(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signshf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubcl 10224	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
3		0red 9920	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
4	3	s1cld 13236	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ)
5		simpl 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
6		ccatcl 13212	. . . . . 6 ⊢ ((⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ∈ Word ℝ) → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∈ Word ℝ)
7	4, 5, 6	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∈ Word ℝ)
8		wrdf 13165	. . . . 5 ⊢ ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∈ Word ℝ → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^(#‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)))⟶ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^(#‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)))⟶ℝ)
10		ccatlen 13213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ∈ Word ℝ) → (#‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)) = ((#‘⟨“0”⟩) + (#‘𝐹)))
11	4, 5, 10	syl2anc 691	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (#‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)) = ((#‘⟨“0”⟩) + (#‘𝐹)))
12		s1len 13238	. . . . . . . . 9 ⊢ (#‘⟨“0”⟩) = 1
13	12	oveq1i 6559	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘⟨“0”⟩) + (#‘𝐹)) = (1 + (#‘𝐹))
14	11, 13	syl6eq 2660	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (#‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)) = (1 + (#‘𝐹)))
15		1cnd 9935	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
16		wrdfin 13178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → 𝐹 ∈ Fin)
17		hashcl 13009	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
18	5, 16, 17	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
19	18	nn0cnd 11230	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (#‘𝐹) ∈ ℂ)
20	15, 19	addcomd 10117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (1 + (#‘𝐹)) = ((#‘𝐹) + 1))
21	14, 20	eqtrd 2644	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (#‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)) = ((#‘𝐹) + 1))
22	21	oveq2d 6565	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0..^(#‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹))) = (0..^((#‘𝐹) + 1)))
23	22	feq2d 5944	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^(#‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)))⟶ℝ ↔ (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^((#‘𝐹) + 1))⟶ℝ))
24	9, 23	mpbid 221	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^((#‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
25		remulcl 9900	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
26	25	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
27		ccatcl 13212	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ) → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∈ Word ℝ)
28	4, 27	syldan 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∈ Word ℝ)
29		wrdf 13165	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∈ Word ℝ → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^(#‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)))⟶ℝ)
30	28, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^(#‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)))⟶ℝ)
31		ccatlen 13213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ) → (#‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = ((#‘𝐹) + (#‘⟨“0”⟩)))
32	4, 31	syldan 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (#‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = ((#‘𝐹) + (#‘⟨“0”⟩)))
33	12	oveq2i 6560	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝐹) + (#‘⟨“0”⟩)) = ((#‘𝐹) + 1)
34	32, 33	syl6eq 2660	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (#‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = ((#‘𝐹) + 1))
35	34	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0..^(#‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩))) = (0..^((#‘𝐹) + 1)))
36	35	feq2d 5944	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^(#‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)))⟶ℝ ↔ (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^((#‘𝐹) + 1))⟶ℝ))
37	30, 36	mpbid 221	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^((#‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
38		ovex 6577	. . . . 5 ⊢ (0..^((#‘𝐹) + 1)) ∈ V
39	38	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0..^((#‘𝐹) + 1)) ∈ V)
40		simpr 476	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
41	40	rpred 11748	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
42	26, 37, 39, 41	ofcf 29492	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩)∘𝑓/𝑐 · 𝐶):(0..^((#‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
43		inidm 3784	. . 3 ⊢ ((0..^((#‘𝐹) + 1)) ∩ (0..^((#‘𝐹) + 1))) = (0..^((#‘𝐹) + 1))
44	2, 24, 42, 39, 39, 43	off 6810	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘𝑓 − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩)∘𝑓/𝑐 · 𝐶)):(0..^((#‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
45		signs.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘𝑓 − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩)∘𝑓/𝑐 · 𝐶))
46	45	feq1i 5949	. 2 ⊢ (𝐻:(0..^((#‘𝐹) + 1))⟶ℝ ↔ ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘𝑓 − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩)∘𝑓/𝑐 · 𝐶)):(0..^((#‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
47	44, 46	sylibr 223	1 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐻:(0..^((#‘𝐹) + 1))⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173  ifcif 4036  {cpr 4127  {ctp 4129  ⟨cop 4131   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551   ∘_𝑓 cof 6793  Fincfn 7841  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  -cneg 10146  ℕ₀cn0 11169  ℝ⁺crp 11708  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   ++ cconcat 13148  ⟨“cs1 13149  sgncsgn 13674  Σcsu 14264  ndxcnx 15692  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768   Σ_g cgsu 15924  ∘_𝑓/𝑐cofc 29484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-ofc 29485

This theorem is referenced by:  signshwrd  29992  signshlen  29993