Theorem hashcl 13009

Description: Closure of the # function. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hashcl	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem hashcl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2610	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2	1	hashgval 12982	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) = (#‘𝐴))
3		ficardom 8670	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (card‘𝐴) ∈ ω)
4	1	hashgf1o 12632	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5		f1of 6050	. . . . 5 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0 → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω⟶ℕ0
7	6	ffvelrni 6266	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) ∈ ω → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
8	3, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)‘(card‘𝐴)) ∈ ℕ0)
9	2, 8	eqeltrrd 2689	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ↦ cmpt 4643   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ωcom 6957  reccrdg 7392  Fincfn 7841  cardccrd 8644  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ℕ₀cn0 11169  #chash 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-hash 12980

This theorem is referenced by:  hashclb  13011  isfinite4  13014  hashnncl  13018  hashdom  13029  hashsdom  13031  hashun2  13033  hashun3  13034  hashunx  13036  1elfz0hash  13040  hashssdif  13061  hashdifpr  13064  hashunlei  13072  hashsslei  13073  hashxplem  13080  hashmap  13082  hashfun  13084  fnfz0hashnn0  13089  fnfzo0hashnn0  13092  hashbclem  13093  hashf1lem2  13097  hashf1  13098  hashfac  13099  fz1isolem  13102  seqcoll2  13106  hashge2el2dif  13117  hashtpg  13121  hash1to3  13128  fi1uzind  13134  brfi1indALT  13137  fi1uzindOLD  13140  brfi1indALTOLD  13143  lencl  13179  wrdnfi  13193  ccatval2  13215  splfv1  13357  splfv2a  13358  ofccat  13556  isercoll  14246  fz1f1o  14288  o1fsum  14386  hashiun  14395  ackbijnn  14399  incexclem  14407  incexc  14408  incexc2  14409  climcndslem1  14420  climcndslem2  14421  sumodd  14949  phicl2  15311  phiprmpw  15319  sumhash  15438  prmreclem3  15460  prmreclem4  15461  prmreclem5  15462  4sqlem11  15497  vdwlem11  15533  vdwlem12  15534  vdwlem13  15535  ramlb  15561  0ram  15562  ramub1lem1  15568  ramub1lem2  15569  lagsubg2  17478  lagsubg  17479  psgnunilem4  17740  odhash3  17814  gexdvds3  17828  sylow1lem1  17836  sylow1lem5  17840  pgpfi  17843  pgpssslw  17852  sylow2alem2  17856  sylow2a  17857  sylow2blem3  17860  sylow3lem3  17867  sylow3lem4  17868  sylow3lem6  17870  cyggex2  18121  ablfacrplem  18287  ablfacrp2  18289  ablfac1c  18293  ablfac1eulem  18294  ablfac1eu  18295  pgpfac1lem2  18297  pgpfaclem2  18304  ablfaclem3  18309  0ringnnzr  19090  cygznlem1  19734  cygznlem2a  19735  cygznlem3  19737  cygth  19739  mdet1  20226  chpscmatgsumbin  20468  chpscmatgsummon  20469  tsmsxp  21768  fta1glem2  23730  fta1blem  23732  fta1lem  23866  vieta1lem2  23870  birthday  24481  ppif  24656  isnsqf  24661  muf  24666  0sgm  24670  mule1  24674  ppidif  24689  mumul  24707  musum  24717  ppiub  24729  chpub  24745  dchrabs  24785  sumdchr2  24795  dchrhash  24796  lgsquadlem1  24905  lgsquadlem2  24906  lgsquadlem3  24907  rpvmasum2  25001  dchrisum0re  25002  pntlemr  25091  pntlemj  25092  upgredg  25811  fiusgraedgfi  25936  cusgrasizeinds  26004  spthispth  26103  clwwlkndivn  26364  vdgrfival  26424  vdgrfif  26426  vdgrfiun  26429  nbhashuvtx1  26442  konigsberg  26514  frghash2spot  26590  usgreghash2spotv  26593  frgregordn0  26597  numclwwlk1  26625  numclwwlk3  26636  numclwwlk5  26639  numclwwlk6  26640  frgrareg  26644  frgraregord013  26645  frgraogt3nreg  26647  friendshipgt3  26648  friendship  26649  esumcst  29452  hasheuni  29474  coinfliplem  29867  coinflippv  29872  ballotlemfelz  29879  ballotlemfp1  29880  ballotlemgun  29913  ballotth  29926  ofcccat  29946  signshf  29991  derangf  30404  derangen2  30410  subfacp1lem1  30415  erdszelem8  30434  erdsze2lem1  30439  snmlff  30565  poimirlem26  32605  poimirlem27  32606  poimirlem28  32607  rrnequiv  32804  rrntotbnd  32805  eldioph2lem1  36341  isnumbasgrplem3  36694  rp-isfinite5  36882  fzisoeu  38455  stoweidlem26  38919  fourierdlem36  39036  fourierdlem52  39051  fourierdlem102  39101  fourierdlem114  39113  rrndistlt  39186  hoicvrrex  39446  fusgredgfi  40544  hashnbusgrnn0  40604  nbusgrvtxm1  40607  vtxdgfival  40685  vtxdgfisnn0  40690  upgrwlkdvdelem  40942  clwwlksndivn  41264  konigsberglem5  41426  frgrhash2wsp  41497  frrusgrord0  41503  av-numclwwlk1  41528  av-numclwwlk3  41539  av-numclwwlk5  41542  av-numclwwlk6  41544  av-frgraregord013  41549  av-frgraogt3nreg  41551  av-friendshipgt3  41552  av-friendship  41553  pgrple2abl  41940  pgrpgt2nabl  41941