Theorem spthispth 26103

Description: A simple path is a path (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
spthispth	⊢ (𝐹(𝑉 SPaths 𝐸)𝑃 → 𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃)

Proof of Theorem spthispth

Dummy variables 𝑥 𝑒 𝑓 𝑝 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-spth 26039	. . 3 ⊢ SPaths = (𝑣 ∈ V, 𝑒 ∈ V ↦ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(𝑣 Trails 𝑒)𝑝 ∧ Fun ◡𝑝)})
2	1	brovmpt2ex 7236	. 2 ⊢ (𝐹(𝑉 SPaths 𝐸)𝑃 → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)))
3		simprl 790	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃)) → 𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃)
4		funres11 5880	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ◡𝑃 → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))))
5	4	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))))
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃)) → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))))
7		trliswlk 26069	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 → 𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃)
8	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 → 𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃))
9		2mwlk 26049	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(𝑉 Walks 𝐸)𝑃 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉))
10	8, 9	syl6 34	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)))
11	10	imp 444	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ 𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃) → (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉))
12		imain 5888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun ◡𝑃 → (𝑃 “ ({0, (#‘𝐹)} ∩ (1..^(#‘𝐹)))) = ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))))
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ Fun ◡𝑃) → (𝑃 “ ({0, (#‘𝐹)} ∩ (1..^(#‘𝐹)))) = ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))))
14		0lt1 10429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < 1
15		0re 9919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ∈ ℝ
16		1re 9918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℝ
17	15, 16	ltnlei 10037	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 0)
18	14, 17	mpbi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ¬ 1 ≤ 0
19		elfzole1 12347	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 ∈ (1..^(#‘𝐹)) → 1 ≤ 0)
20	18, 19	mto 187	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ¬ 0 ∈ (1..^(#‘𝐹))
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → ¬ 0 ∈ (1..^(#‘𝐹)))
22		wrdfin 13178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → 𝐹 ∈ Fin)
23		hashcl 13009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
24	23	nn0red 11229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐹 ∈ Fin → (#‘𝐹) ∈ ℝ)
25	22, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (#‘𝐹) ∈ ℝ)
26	25	ltnrd 10050	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → ¬ (#‘𝐹) < (#‘𝐹))
27	26	intn3an3d 1436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → ¬ ((#‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘1) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐹) < (#‘𝐹)))
28		elfzo2 12342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ (1..^(#‘𝐹)) ↔ ((#‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘1) ∧ (#‘𝐹) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐹) < (#‘𝐹)))
29	27, 28	sylnibr 318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → ¬ (#‘𝐹) ∈ (1..^(#‘𝐹)))
30		fvex 6113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (#‘𝐹) ∈ V
31		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ↔ 0 ∈ (1..^(#‘𝐹))))
32	31	notbid 307	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 0 → (¬ 𝑥 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ↔ ¬ 0 ∈ (1..^(#‘𝐹))))
33		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = (#‘𝐹) → (𝑥 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ↔ (#‘𝐹) ∈ (1..^(#‘𝐹))))
34	33	notbid 307	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (#‘𝐹) → (¬ 𝑥 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ↔ ¬ (#‘𝐹) ∈ (1..^(#‘𝐹))))
35	32, 34	ralprg 4181	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (#‘𝐹) ∈ V) → (∀𝑥 ∈ {0, (#‘𝐹)} ¬ 𝑥 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ↔ (¬ 0 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ ¬ (#‘𝐹) ∈ (1..^(#‘𝐹)))))
36	15, 30, 35	mp2an 704	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑥 ∈ {0, (#‘𝐹)} ¬ 𝑥 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ↔ (¬ 0 ∈ (1..^(#‘𝐹)) ∧ ¬ (#‘𝐹) ∈ (1..^(#‘𝐹))))
37	21, 29, 36	sylanbrc 695	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → ∀𝑥 ∈ {0, (#‘𝐹)} ¬ 𝑥 ∈ (1..^(#‘𝐹)))
38		disj 3969	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({0, (#‘𝐹)} ∩ (1..^(#‘𝐹))) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ {0, (#‘𝐹)} ¬ 𝑥 ∈ (1..^(#‘𝐹)))
39	37, 38	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → ({0, (#‘𝐹)} ∩ (1..^(#‘𝐹))) = ∅)
40	39	imaeq2d 5385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (𝑃 “ ({0, (#‘𝐹)} ∩ (1..^(#‘𝐹)))) = (𝑃 “ ∅))
41		ima0 5400	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 “ ∅) = ∅
42	40, 41	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (𝑃 “ ({0, (#‘𝐹)} ∩ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)
43	42	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ Fun ◡𝑃) → (𝑃 “ ({0, (#‘𝐹)} ∩ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)
44	13, 43	eqtr3d 2646	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ Fun ◡𝑃) → ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)
45	44	ex 449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (Fun ◡𝑃 → ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅))
46	45	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐸 ∧ 𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉) → (Fun ◡𝑃 → ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅))
47	11, 46	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ 𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃) → (Fun ◡𝑃 → ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅))
48	47	impr 647	. . . . 5 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃)) → ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)
49	3, 6, 48	3jca 1235	. . . 4 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) ∧ (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃)) → (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅))
50	49	ex 449	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → ((𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)))
51		isspth 26099	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 SPaths 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃)))
52		ispth 26098	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃 ↔ (𝐹(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)))
53	50, 51, 52	3imtr4d 282	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V)) → (𝐹(𝑉 SPaths 𝐸)𝑃 → 𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃))
54	2, 53	mpcom 37	1 ⊢ (𝐹(𝑉 SPaths 𝐸)𝑃 → 𝐹(𝑉 Paths 𝐸)𝑃)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  {cpr 4127   class class class wbr 4583  ^◡ccnv 5037  dom cdm 5038   ↾ cres 5040   “ cima 5041  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   Walks cwalk 26026   Trails ctrail 26027   Paths cpath 26028   SPaths cspath 26029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-wlk 26036  df-trail 26037  df-pth 26038  df-spth 26039

This theorem is referenced by:  spthon  26112  isspthonpth  26114  el2spthonot  26397  usg2wotspth  26411