Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashun2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashun2 13033
 Description: The size of the union of finite sets is less than or equal to the sum of their sizes. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
hashun2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴𝐵)) ≤ ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))

Proof of Theorem hashun2
StepHypRef Expression
1 undif2 3996 . . . 4 (𝐴 ∪ (𝐵𝐴)) = (𝐴𝐵)
21fveq2i 6106 . . 3 (#‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = (#‘(𝐴𝐵))
3 diffi 8077 . . . 4 (𝐵 ∈ Fin → (𝐵𝐴) ∈ Fin)
4 disjdif 3992 . . . . 5 (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅
5 hashun 13032 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (𝐵𝐴)) = ∅) → (#‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = ((#‘𝐴) + (#‘(𝐵𝐴))))
64, 5mp3an3 1405 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐵𝐴) ∈ Fin) → (#‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = ((#‘𝐴) + (#‘(𝐵𝐴))))
73, 6sylan2 490 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴 ∪ (𝐵𝐴))) = ((#‘𝐴) + (#‘(𝐵𝐴))))
82, 7syl5eqr 2658 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴𝐵)) = ((#‘𝐴) + (#‘(𝐵𝐴))))
93adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵𝐴) ∈ Fin)
10 hashcl 13009 . . . . 5 ((𝐵𝐴) ∈ Fin → (#‘(𝐵𝐴)) ∈ ℕ0)
119, 10syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐵𝐴)) ∈ ℕ0)
1211nn0red 11229 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
13 hashcl 13009 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
1413adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
1514nn0red 11229 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐵) ∈ ℝ)
16 hashcl 13009 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
1716adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
1817nn0red 11229 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐴) ∈ ℝ)
19 simpr 476 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐵 ∈ Fin)
20 difss 3699 . . . . 5 (𝐵𝐴) ⊆ 𝐵
21 ssdomg 7887 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → ((𝐵𝐴) ⊆ 𝐵 → (𝐵𝐴) ≼ 𝐵))
2219, 20, 21mpisyl 21 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐵𝐴) ≼ 𝐵)
23 hashdom 13029 . . . . 5 (((𝐵𝐴) ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘(𝐵𝐴)) ≤ (#‘𝐵) ↔ (𝐵𝐴) ≼ 𝐵))
249, 23sylancom 698 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘(𝐵𝐴)) ≤ (#‘𝐵) ↔ (𝐵𝐴) ≼ 𝐵))
2522, 24mpbird 246 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐵𝐴)) ≤ (#‘𝐵))
2612, 15, 18, 25leadd2dd 10521 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘𝐴) + (#‘(𝐵𝐴))) ≤ ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))
278, 26eqbrtrd 4605 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (#‘(𝐴𝐵)) ≤ ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ≼ cdom 7839  Fincfn 7841   + caddc 9818   ≤ cle 9954  ℕ0cn0 11169  #chash 12979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980 This theorem is referenced by:  hashunlei  13072  hashfun  13084  prmreclem4  15461  fta1glem2  23730  fta1lem  23866  vieta1lem2  23870
 Copyright terms: Public domain W3C validator