MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow3lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow3lem4 17868
Description: Lemma for sylow3 17871, first part. The number of Sylow subgroups is a divisor of the size of 𝐺 reduced by the size of a Sylow subgroup of 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow3lem1.a + = (+g𝐺)
sylow3lem1.d = (-g𝐺)
sylow3lem1.m = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
sylow3lem2.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
sylow3lem2.h 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐾) = 𝐾}
sylow3lem2.n 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐾 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝐾)}
Assertion
Ref Expression
sylow3lem4 (𝜑 → (#‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∥ ((#‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝑦,𝑧,   𝑢, ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐻,𝑦   𝑢,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑁,𝑧   𝑢,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐺,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, + ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑃,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧,𝑢)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sylow3lem4
StepHypRef Expression
1 sylow3.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 sylow3.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
3 sylow3.xf . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
4 sylow3.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
5 sylow3lem1.a . . 3 + = (+g𝐺)
6 sylow3lem1.d . . 3 = (-g𝐺)
7 sylow3lem1.m . . 3 = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
8 sylow3lem2.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
9 sylow3lem2.h . . 3 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐾) = 𝐾}
10 sylow3lem2.n . . 3 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐾 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝐾)}
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10sylow3lem3 17867 . 2 (𝜑 → (#‘(𝑃 pSyl 𝐺)) = (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))))
12 slwsubg 17848 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
138, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (𝐺s 𝑁) = (𝐺s 𝑁)
1510, 1, 5, 14nmznsg 17461 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 ∈ (NrmSGrp‘(𝐺s 𝑁)))
16 nsgsubg 17449 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (NrmSGrp‘(𝐺s 𝑁)) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘(𝐺s 𝑁)))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘(𝐺s 𝑁)))
1813, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘(𝐺s 𝑁)))
1910, 1, 5nmzsubg 17458 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
202, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2114subgbas 17421 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁 = (Base‘(𝐺s 𝑁)))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 = (Base‘(𝐺s 𝑁)))
231subgss 17418 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁𝑋)
2420, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁𝑋)
25 ssfi 8065 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑋) → 𝑁 ∈ Fin)
263, 24, 25syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
2722, 26eqeltrrd 2689 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘(𝐺s 𝑁)) ∈ Fin)
28 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (Base‘(𝐺s 𝑁)) = (Base‘(𝐺s 𝑁))
2928lagsubg 17479 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (SubGrp‘(𝐺s 𝑁)) ∧ (Base‘(𝐺s 𝑁)) ∈ Fin) → (#‘𝐾) ∥ (#‘(Base‘(𝐺s 𝑁))))
3018, 27, 29syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝐾) ∥ (#‘(Base‘(𝐺s 𝑁))))
3122fveq2d 6107 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝑁) = (#‘(Base‘(𝐺s 𝑁))))
3230, 31breqtrrd 4611 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐾) ∥ (#‘𝑁))
33 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3433subg0cl 17425 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝐾)
3513, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ 𝐾)
36 ne0i 3880 . . . . . . . . . 10 ((0g𝐺) ∈ 𝐾𝐾 ≠ ∅)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ≠ ∅)
381subgss 17418 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾𝑋)
3913, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾𝑋)
40 ssfi 8065 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑋) → 𝐾 ∈ Fin)
413, 39, 40syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ Fin)
42 hashnncl 13018 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Fin → ((#‘𝐾) ∈ ℕ ↔ 𝐾 ≠ ∅))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((#‘𝐾) ∈ ℕ ↔ 𝐾 ≠ ∅))
4437, 43mpbird 246 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘𝐾) ∈ ℕ)
4544nnzd 11357 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝐾) ∈ ℤ)
46 hashcl 13009 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ Fin → (#‘𝑁) ∈ ℕ0)
4726, 46syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘𝑁) ∈ ℕ0)
4847nn0zd 11356 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝑁) ∈ ℤ)
49 pwfi 8144 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
503, 49sylib 207 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
51 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ~QG 𝑁) = (𝐺 ~QG 𝑁)
521, 51eqger 17467 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑁) Er 𝑋)
5320, 52syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝑁) Er 𝑋)
5453qsss 7695 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ⊆ 𝒫 𝑋)
55 ssfi 8065 . . . . . . . . . 10 ((𝒫 𝑋 ∈ Fin ∧ (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ⊆ 𝒫 𝑋) → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ Fin)
5650, 54, 55syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ Fin)
57 hashcl 13009 . . . . . . . . 9 ((𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ Fin → (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℕ0)
5856, 57syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℕ0)
5958nn0zd 11356 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℤ)
60 dvdscmul 14846 . . . . . . 7 (((#‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (#‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℤ) → ((#‘𝐾) ∥ (#‘𝑁) → ((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝐾)) ∥ ((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝑁))))
6145, 48, 59, 60syl3anc 1318 . . . . . 6 (𝜑 → ((#‘𝐾) ∥ (#‘𝑁) → ((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝐾)) ∥ ((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝑁))))
6232, 61mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝐾)) ∥ ((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝑁)))
63 hashcl 13009 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ Fin → (#‘𝑋) ∈ ℕ0)
643, 63syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘𝑋) ∈ ℕ0)
6564nn0cnd 11230 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝑋) ∈ ℂ)
6644nncnd 10913 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝐾) ∈ ℂ)
6744nnne0d 10942 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝐾) ≠ 0)
6865, 66, 67divcan1d 10681 . . . . . 6 (𝜑 → (((#‘𝑋) / (#‘𝐾)) · (#‘𝐾)) = (#‘𝑋))
691, 51, 20, 3lagsubg2 17478 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝑋) = ((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝑁)))
7068, 69eqtrd 2644 . . . . 5 (𝜑 → (((#‘𝑋) / (#‘𝐾)) · (#‘𝐾)) = ((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝑁)))
7162, 70breqtrrd 4611 . . . 4 (𝜑 → ((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝐾)) ∥ (((#‘𝑋) / (#‘𝐾)) · (#‘𝐾)))
721lagsubg 17479 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (#‘𝐾) ∥ (#‘𝑋))
7313, 3, 72syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐾) ∥ (#‘𝑋))
7464nn0zd 11356 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝑋) ∈ ℤ)
75 dvdsval2 14824 . . . . . . 7 (((#‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐾) ≠ 0 ∧ (#‘𝑋) ∈ ℤ) → ((#‘𝐾) ∥ (#‘𝑋) ↔ ((#‘𝑋) / (#‘𝐾)) ∈ ℤ))
7645, 67, 74, 75syl3anc 1318 . . . . . 6 (𝜑 → ((#‘𝐾) ∥ (#‘𝑋) ↔ ((#‘𝑋) / (#‘𝐾)) ∈ ℤ))
7773, 76mpbid 221 . . . . 5 (𝜑 → ((#‘𝑋) / (#‘𝐾)) ∈ ℤ)
78 dvdsmulcr 14849 . . . . 5 (((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝑋) / (#‘𝐾)) ∈ ℤ ∧ ((#‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (#‘𝐾) ≠ 0)) → (((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝐾)) ∥ (((#‘𝑋) / (#‘𝐾)) · (#‘𝐾)) ↔ (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∥ ((#‘𝑋) / (#‘𝐾))))
7959, 77, 45, 67, 78syl112anc 1322 . . . 4 (𝜑 → (((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝐾)) ∥ (((#‘𝑋) / (#‘𝐾)) · (#‘𝐾)) ↔ (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∥ ((#‘𝑋) / (#‘𝐾))))
8071, 79mpbid 221 . . 3 (𝜑 → (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∥ ((#‘𝑋) / (#‘𝐾)))
811, 3, 8slwhash 17862 . . . 4 (𝜑 → (#‘𝐾) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝑋))))
8281oveq2d 6565 . . 3 (𝜑 → ((#‘𝑋) / (#‘𝐾)) = ((#‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝑋)))))
8380, 82breqtrd 4609 . 2 (𝜑 → (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∥ ((#‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝑋)))))
8411, 83eqbrtrd 4605 1 (𝜑 → (#‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∥ ((#‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (#‘𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  {crab 2900  wss 3540  c0 3874  𝒫 cpw 4108   class class class wbr 4583  cmpt 4643  ran crn 5039  cfv 5804  (class class class)co 6549  cmpt2 6551   Er wer 7626   / cqs 7628  Fincfn 7841  0cc0 9815   · cmul 9820   / cdiv 10563  cn 10897  0cn0 11169  cz 11254  cexp 12722  #chash 12979  cdvds 14821  cprime 15223   pCnt cpc 15379  Basecbs 15695  s cress 15696  +gcplusg 15768  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  -gcsg 17247  SubGrpcsubg 17411  NrmSGrpcnsg 17412   ~QG cqg 17413   pSyl cslw 17770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-pc 15380  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-nsg 17415  df-eqg 17416  df-ghm 17481  df-ga 17546  df-od 17771  df-pgp 17773  df-slw 17774
This theorem is referenced by:  sylow3  17871
  Copyright terms: Public domain W3C validator