MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cygznlem2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cygznlem2a 19735
Description: Lemma for cygzn 19738. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygzn.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
cygzn.n 𝑁 = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0)
cygzn.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
cygzn.m · = (.g𝐺)
cygzn.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
cygzn.e 𝐸 = {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
cygzn.g (𝜑𝐺 ∈ CycGrp)
cygzn.x (𝜑𝑋𝐸)
cygzn.f 𝐹 = ran (𝑚 ∈ ℤ ↦ ⟨(𝐿𝑚), (𝑚 · 𝑋)⟩)
Assertion
Ref Expression
cygznlem2a (𝜑𝐹:(Base‘𝑌)⟶𝐵)
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝐵   𝑚,𝐺,𝑛,𝑥   · ,𝑚,𝑛,𝑥   𝑚,𝑌,𝑛,𝑥   𝑚,𝐿,𝑛,𝑥   𝑥,𝑁   𝜑,𝑚   𝑛,𝐹,𝑥   𝑚,𝑋,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐸(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑚)   𝑁(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem cygznlem2a
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygzn.f . . . 4 𝐹 = ran (𝑚 ∈ ℤ ↦ ⟨(𝐿𝑚), (𝑚 · 𝑋)⟩)
2 fvex 6113 . . . . 5 (𝐿𝑚) ∈ V
32a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (𝐿𝑚) ∈ V)
4 cygzn.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ CycGrp)
5 cyggrp 18114 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
76adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
8 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
9 cygzn.e . . . . . . . 8 𝐸 = {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
10 ssrab2 3650 . . . . . . . 8 {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵} ⊆ 𝐵
119, 10eqsstri 3598 . . . . . . 7 𝐸𝐵
12 cygzn.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐸)
1311, 12sseldi 3566 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐵)
1413adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 𝑋𝐵)
15 cygzn.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
16 cygzn.m . . . . . 6 · = (.g𝐺)
1715, 16mulgcl 17382 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑚 · 𝑋) ∈ 𝐵)
187, 8, 14, 17syl3anc 1318 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · 𝑋) ∈ 𝐵)
19 fveq2 6103 . . . 4 (𝑚 = 𝑘 → (𝐿𝑚) = (𝐿𝑘))
20 oveq1 6556 . . . 4 (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋))
21 cygzn.n . . . . . . . 8 𝑁 = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0)
22 cygzn.y . . . . . . . 8 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
23 cygzn.l . . . . . . . 8 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
2415, 21, 22, 16, 23, 9, 4, 12cygznlem1 19734 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝐿𝑚) = (𝐿𝑘) ↔ (𝑚 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋)))
2524biimpd 218 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝐿𝑚) = (𝐿𝑘) → (𝑚 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋)))
2625exp32 629 . . . . 5 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → ((𝐿𝑚) = (𝐿𝑘) → (𝑚 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋)))))
27263imp2 1274 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝑚) = (𝐿𝑘))) → (𝑚 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋))
281, 3, 18, 19, 20, 27fliftfund 6463 . . 3 (𝜑 → Fun 𝐹)
291, 3, 18fliftf 6465 . . 3 (𝜑 → (Fun 𝐹𝐹:ran (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐿𝑚))⟶𝐵))
3028, 29mpbid 221 . 2 (𝜑𝐹:ran (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐿𝑚))⟶𝐵)
31 hashcl 13009 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ Fin → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
3231adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
33 0nn0 11184 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℕ0
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → 0 ∈ ℕ0)
3532, 34ifclda 4070 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0) ∈ ℕ0)
3621, 35syl5eqel 2692 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
37 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
3822, 37, 23znzrhfo 19715 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌))
3936, 38syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌))
40 fof 6028 . . . . . . 7 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
4139, 40syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
4241feqmptd 6159 . . . . 5 (𝜑𝐿 = (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐿𝑚)))
4342rneqd 5274 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐿 = ran (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐿𝑚)))
44 forn 6031 . . . . 5 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌) → ran 𝐿 = (Base‘𝑌))
4539, 44syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐿 = (Base‘𝑌))
4643, 45eqtr3d 2646 . . 3 (𝜑 → ran (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐿𝑚)) = (Base‘𝑌))
4746feq2d 5944 . 2 (𝜑 → (𝐹:ran (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐿𝑚))⟶𝐵𝐹:(Base‘𝑌)⟶𝐵))
4830, 47mpbid 221 1 (𝜑𝐹:(Base‘𝑌)⟶𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173  ifcif 4036  cop 4131  cmpt 4643  ran crn 5039  Fun wfun 5798  wf 5800  ontowfo 5802  cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  0cc0 9815  0cn0 11169  cz 11254  #chash 12979  Basecbs 15695  Grpcgrp 17245  .gcmg 17363  CycGrpccyg 18102  ℤRHomczrh 19667  ℤ/nczn 19670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-imas 15991  df-qus 15992  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-nsg 17415  df-eqg 17416  df-ghm 17481  df-od 17771  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-cyg 18103  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-rnghom 18538  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-lidl 18995  df-rsp 18996  df-2idl 19053  df-cnfld 19568  df-zring 19638  df-zrh 19671  df-zn 19674
This theorem is referenced by:  cygznlem2  19736  cygznlem3  19737
  Copyright terms: Public domain W3C validator