Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cygznlem2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cygznlem2a 19735
 Description: Lemma for cygzn 19738. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygzn.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
cygzn.n 𝑁 = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0)
cygzn.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
cygzn.m · = (.g𝐺)
cygzn.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
cygzn.e 𝐸 = {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
cygzn.g (𝜑𝐺 ∈ CycGrp)
cygzn.x (𝜑𝑋𝐸)
cygzn.f 𝐹 = ran (𝑚 ∈ ℤ ↦ ⟨(𝐿𝑚), (𝑚 · 𝑋)⟩)
Assertion
Ref Expression
cygznlem2a (𝜑𝐹:(Base‘𝑌)⟶𝐵)
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝐵   𝑚,𝐺,𝑛,𝑥   · ,𝑚,𝑛,𝑥   𝑚,𝑌,𝑛,𝑥   𝑚,𝐿,𝑛,𝑥   𝑥,𝑁   𝜑,𝑚   𝑛,𝐹,𝑥   𝑚,𝑋,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐸(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑚)   𝑁(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem cygznlem2a
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygzn.f . . . 4 𝐹 = ran (𝑚 ∈ ℤ ↦ ⟨(𝐿𝑚), (𝑚 · 𝑋)⟩)
2 fvex 6113 . . . . 5 (𝐿𝑚) ∈ V
32a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (𝐿𝑚) ∈ V)
4 cygzn.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ CycGrp)
5 cyggrp 18114 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
76adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ Grp)
8 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 𝑚 ∈ ℤ)
9 cygzn.e . . . . . . . 8 𝐸 = {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
10 ssrab2 3650 . . . . . . . 8 {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵} ⊆ 𝐵
119, 10eqsstri 3598 . . . . . . 7 𝐸𝐵
12 cygzn.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐸)
1311, 12sseldi 3566 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐵)
1413adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → 𝑋𝐵)
15 cygzn.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
16 cygzn.m . . . . . 6 · = (.g𝐺)
1715, 16mulgcl 17382 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑚 · 𝑋) ∈ 𝐵)
187, 8, 14, 17syl3anc 1318 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℤ) → (𝑚 · 𝑋) ∈ 𝐵)
19 fveq2 6103 . . . 4 (𝑚 = 𝑘 → (𝐿𝑚) = (𝐿𝑘))
20 oveq1 6556 . . . 4 (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋))
21 cygzn.n . . . . . . . 8 𝑁 = if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0)
22 cygzn.y . . . . . . . 8 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
23 cygzn.l . . . . . . . 8 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
2415, 21, 22, 16, 23, 9, 4, 12cygznlem1 19734 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝐿𝑚) = (𝐿𝑘) ↔ (𝑚 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋)))
2524biimpd 218 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝐿𝑚) = (𝐿𝑘) → (𝑚 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋)))
2625exp32 629 . . . . 5 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℤ → (𝑘 ∈ ℤ → ((𝐿𝑚) = (𝐿𝑘) → (𝑚 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋)))))
27263imp2 1274 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝑚) = (𝐿𝑘))) → (𝑚 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋))
281, 3, 18, 19, 20, 27fliftfund 6463 . . 3 (𝜑 → Fun 𝐹)
291, 3, 18fliftf 6465 . . 3 (𝜑 → (Fun 𝐹𝐹:ran (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐿𝑚))⟶𝐵))
3028, 29mpbid 221 . 2 (𝜑𝐹:ran (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐿𝑚))⟶𝐵)
31 hashcl 13009 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ Fin → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
3231adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 ∈ Fin) → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
33 0nn0 11184 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℕ0
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → 0 ∈ ℕ0)
3532, 34ifclda 4070 . . . . . . . . 9 (𝜑 → if(𝐵 ∈ Fin, (#‘𝐵), 0) ∈ ℕ0)
3621, 35syl5eqel 2692 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
37 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
3822, 37, 23znzrhfo 19715 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌))
3936, 38syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌))
40 fof 6028 . . . . . . 7 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
4139, 40syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
4241feqmptd 6159 . . . . 5 (𝜑𝐿 = (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐿𝑚)))
4342rneqd 5274 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐿 = ran (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐿𝑚)))
44 forn 6031 . . . . 5 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑌) → ran 𝐿 = (Base‘𝑌))
4539, 44syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐿 = (Base‘𝑌))
4643, 45eqtr3d 2646 . . 3 (𝜑 → ran (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐿𝑚)) = (Base‘𝑌))
4746feq2d 5944 . 2 (𝜑 → (𝐹:ran (𝑚 ∈ ℤ ↦ (𝐿𝑚))⟶𝐵𝐹:(Base‘𝑌)⟶𝐵))
4830, 47mpbid 221 1 (𝜑𝐹:(Base‘𝑌)⟶𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173  ifcif 4036  ⟨cop 4131   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  –onto→wfo 5802  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  0cc0 9815  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  #chash 12979  Basecbs 15695  Grpcgrp 17245  .gcmg 17363  CycGrpccyg 18102  ℤRHomczrh 19667  ℤ/nℤczn 19670 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-imas 15991  df-qus 15992  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-nsg 17415  df-eqg 17416  df-ghm 17481  df-od 17771  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-cyg 18103  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-rnghom 18538  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-lidl 18995  df-rsp 18996  df-2idl 19053  df-cnfld 19568  df-zring 19638  df-zrh 19671  df-zn 19674 This theorem is referenced by:  cygznlem2  19736  cygznlem3  19737
 Copyright terms: Public domain W3C validator