MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ablfacrplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ablfacrplem 18287
Description: Lemma for ablfacrp2 18289. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablfacrp.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablfacrp.o 𝑂 = (od‘𝐺)
ablfacrp.k 𝐾 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀}
ablfacrp.l 𝐿 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑁}
ablfacrp.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
ablfacrp.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
ablfacrp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ablfacrp.1 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
ablfacrp.2 (𝜑 → (#‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
Assertion
Ref Expression
ablfacrplem (𝜑 → ((#‘𝐾) gcd 𝑁) = 1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem ablfacrplem
Dummy variables 𝑔 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nprmdvds1 15256 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ℙ → ¬ 𝑝 ∥ 1)
21adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ 1)
3 ablfacrp.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
43adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑀 gcd 𝑁) = 1)
54breq2d 4595 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁) ↔ 𝑝 ∥ 1))
62, 5mtbird 314 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁))
7 ablfacrp.k . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀}
8 ablfacrp.g . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
9 ablfacrp.m . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
109nnzd 11357 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
11 ablfacrp.o . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑂 = (od‘𝐺)
12 ablfacrp.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 = (Base‘𝐺)
1311, 12oddvdssubg 18081 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
148, 10, 13syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ∈ (SubGrp‘𝐺))
157, 14syl5eqel 2692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
1615ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺s 𝐾) = (𝐺s 𝐾)
1817subggrp 17420 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺s 𝐾) ∈ Grp)
1916, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → (𝐺s 𝐾) ∈ Grp)
2017subgbas 17421 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 = (Base‘(𝐺s 𝐾)))
2116, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → 𝐾 = (Base‘(𝐺s 𝐾)))
22 ablfacrp.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (#‘𝐵) = (𝑀 · 𝑁))
239nnnn0d 11228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
24 ablfacrp.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2524nnnn0d 11228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2623, 25nn0mulcld 11233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀 · 𝑁) ∈ ℕ0)
2722, 26eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
28 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Base‘𝐺) ∈ V
2912, 28eqeltri 2684 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐵 ∈ V
30 hashclb 13011 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ Fin ↔ (#‘𝐵) ∈ ℕ0))
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ Fin ↔ (#‘𝐵) ∈ ℕ0)
3227, 31sylibr 223 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
33 ssrab2 3650 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑥𝐵 ∣ (𝑂𝑥) ∥ 𝑀} ⊆ 𝐵
347, 33eqsstri 3598 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾𝐵
35 ssfi 8065 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐾𝐵) → 𝐾 ∈ Fin)
3632, 34, 35sylancl 693 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐾 ∈ Fin)
3736ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → 𝐾 ∈ Fin)
3821, 37eqeltrrd 2689 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → (Base‘(𝐺s 𝐾)) ∈ Fin)
39 simplr 788 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → 𝑝 ∈ ℙ)
40 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → 𝑝 ∥ (#‘𝐾))
4121fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → (#‘𝐾) = (#‘(Base‘(𝐺s 𝐾))))
4240, 41breqtrd 4609 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → 𝑝 ∥ (#‘(Base‘(𝐺s 𝐾))))
43 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘(𝐺s 𝐾)) = (Base‘(𝐺s 𝐾))
44 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (od‘(𝐺s 𝐾)) = (od‘(𝐺s 𝐾))
4543, 44odcau 17842 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺s 𝐾) ∈ Grp ∧ (Base‘(𝐺s 𝐾)) ∈ Fin ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘(Base‘(𝐺s 𝐾)))) → ∃𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝)
4619, 38, 39, 42, 45syl31anc 1321 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → ∃𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝)
4721rexeqdv 3122 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → (∃𝑔𝐾 ((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝 ↔ ∃𝑔 ∈ (Base‘(𝐺s 𝐾))((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝))
4846, 47mpbird 246 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → ∃𝑔𝐾 ((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝)
4917, 11, 44subgod 17808 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑔𝐾) → (𝑂𝑔) = ((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔))
5016, 49sylan 487 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) ∧ 𝑔𝐾) → (𝑂𝑔) = ((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔))
51 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑔 → (𝑂𝑥) = (𝑂𝑔))
5251breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑔 → ((𝑂𝑥) ∥ 𝑀 ↔ (𝑂𝑔) ∥ 𝑀))
5352, 7elrab2 3333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔𝐾 ↔ (𝑔𝐵 ∧ (𝑂𝑔) ∥ 𝑀))
5453simprbi 479 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔𝐾 → (𝑂𝑔) ∥ 𝑀)
5554adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) ∧ 𝑔𝐾) → (𝑂𝑔) ∥ 𝑀)
5650, 55eqbrtrrd 4607 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) ∧ 𝑔𝐾) → ((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) ∥ 𝑀)
57 breq1 4586 . . . . . . . . . . 11 (((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝 → (((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) ∥ 𝑀𝑝𝑀))
5856, 57syl5ibcom 234 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) ∧ 𝑔𝐾) → (((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝𝑝𝑀))
5958rexlimdva 3013 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → (∃𝑔𝐾 ((od‘(𝐺s 𝐾))‘𝑔) = 𝑝𝑝𝑀))
6048, 59mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑝 ∥ (#‘𝐾)) → 𝑝𝑀)
6160ex 449 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (#‘𝐾) → 𝑝𝑀))
6261anim1d 586 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ (#‘𝐾) ∧ 𝑝𝑁) → (𝑝𝑀𝑝𝑁)))
63 prmz 15227 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
6463adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
65 hashcl 13009 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Fin → (#‘𝐾) ∈ ℕ0)
6636, 65syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘𝐾) ∈ ℕ0)
6766nn0zd 11356 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘𝐾) ∈ ℤ)
6867adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (#‘𝐾) ∈ ℤ)
6924nnzd 11357 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
7069adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
71 dvdsgcdb 15100 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ (#‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ (#‘𝐾) ∧ 𝑝𝑁) ↔ 𝑝 ∥ ((#‘𝐾) gcd 𝑁)))
7264, 68, 70, 71syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ (#‘𝐾) ∧ 𝑝𝑁) ↔ 𝑝 ∥ ((#‘𝐾) gcd 𝑁)))
7310adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑀 ∈ ℤ)
74 dvdsgcdb 15100 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑝𝑀𝑝𝑁) ↔ 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
7564, 73, 70, 74syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝑀𝑝𝑁) ↔ 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
7662, 72, 753imtr3d 281 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ ((#‘𝐾) gcd 𝑁) → 𝑝 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
776, 76mtod 188 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ¬ 𝑝 ∥ ((#‘𝐾) gcd 𝑁))
7877nrexdv 2984 . . 3 (𝜑 → ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((#‘𝐾) gcd 𝑁))
79 exprmfct 15254 . . 3 (((#‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ ((#‘𝐾) gcd 𝑁))
8078, 79nsyl 134 . 2 (𝜑 → ¬ ((#‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ‘2))
8124nnne0d 10942 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ≠ 0)
82 simpr 476 . . . . . . 7 (((#‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
8382necon3ai 2807 . . . . . 6 (𝑁 ≠ 0 → ¬ ((#‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0))
8481, 83syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ((#‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0))
85 gcdn0cl 15062 . . . . 5 ((((#‘𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ ((#‘𝐾) = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((#‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ ℕ)
8667, 69, 84, 85syl21anc 1317 . . . 4 (𝜑 → ((#‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ ℕ)
87 elnn1uz2 11641 . . . 4 (((#‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((#‘𝐾) gcd 𝑁) = 1 ∨ ((#‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ‘2)))
8886, 87sylib 207 . . 3 (𝜑 → (((#‘𝐾) gcd 𝑁) = 1 ∨ ((#‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ‘2)))
8988ord 391 . 2 (𝜑 → (¬ ((#‘𝐾) gcd 𝑁) = 1 → ((#‘𝐾) gcd 𝑁) ∈ (ℤ‘2)))
9080, 89mt3d 139 1 (𝜑 → ((#‘𝐾) gcd 𝑁) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173  wss 3540   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820  cn 10897  2c2 10947  0cn0 11169  cz 11254  cuz 11563  #chash 12979  cdvds 14821   gcd cgcd 15054  cprime 15223  Basecbs 15695  s cress 15696  Grpcgrp 17245  SubGrpcsubg 17411  odcod 17767  Abelcabl 18017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-pc 15380  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-eqg 17416  df-ga 17546  df-od 17771  df-cmn 18018  df-abl 18019
This theorem is referenced by:  ablfacrp2  18289
  Copyright terms: Public domain W3C validator