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Theorem numclwwlk3 26636
 Description: Statement 12 in [Huneke] p. 2: "Thus f(n) = (k - 1)f(n - 2) + k^(n-2)." - the number of the closed walks v(0) ... v(n-2) v(n-1) v(n) is the sum of the number of the closed walks v(0) ... v(n-2) v(n-1) v(n) with v(n-2) = v(n) (see numclwwlk1 26625) and with v(n-2) =/= v(n) ( see numclwwlk2 26634): f(n) = kf(n-2) + k^(n-2) - f(n-2) = (k - 1)f(n - 2) + k^(n-2). (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
numclwwlk.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))
numclwwlk.f 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
numclwwlk.g 𝐺 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
numclwwlk.q 𝑄 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣)})
numclwwlk.h 𝐻 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
Assertion
Ref Expression
numclwwlk3 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (#‘(𝑋𝐹𝑁)) = (((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2)))) + (𝐾↑(𝑁 − 2))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐸   𝑛,𝑁   𝑛,𝑉   𝑤,𝐶   𝑤,𝑁   𝐶,𝑛,𝑣,𝑤   𝑣,𝑁   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑣,𝑉   𝑤,𝐸   𝑤,𝑉   𝑤,𝐹   𝑤,𝑄   𝑤,𝐾   𝑤,𝐺   𝑣,𝐸   𝑣,𝐻,𝑤
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑣,𝑛)   𝐹(𝑣,𝑛)   𝐺(𝑣,𝑛)   𝐻(𝑛)   𝐾(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwwlk3
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rusisusgra 26458 . . . 4 (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 USGrph 𝐸)
21ad2antrr 758 . . 3 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝑉 USGrph 𝐸)
3 simp1 1054 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑉 ∈ Fin)
43adantl 481 . . 3 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝑉 ∈ Fin)
5 simp2 1055 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑋𝑉)
65adantl 481 . . 3 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝑋𝑉)
7 uzuzle23 11605 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
873ad2ant3 1077 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
98adantl 481 . . 3 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
10 numclwwlk.c . . . 4 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))
11 numclwwlk.f . . . 4 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
12 numclwwlk.g . . . 4 𝐺 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
13 numclwwlk.q . . . 4 𝑄 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣)})
14 numclwwlk.h . . . 4 𝐻 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
1510, 11, 12, 13, 14numclwwlk3lem 26635 . . 3 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (#‘(𝑋𝐹𝑁)) = ((#‘(𝑋𝐻𝑁)) + (#‘(𝑋𝐺𝑁))))
162, 4, 6, 9, 15syl31anc 1321 . 2 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (#‘(𝑋𝐹𝑁)) = ((#‘(𝑋𝐻𝑁)) + (#‘(𝑋𝐺𝑁))))
1710, 11, 12, 13, 14numclwwlk2 26634 . . 3 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (#‘(𝑋𝐻𝑁)) = ((𝐾↑(𝑁 − 2)) − (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2)))))
18 simpl 472 . . . . 5 ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)
1918, 3anim12ci 589 . . . 4 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑉 ∈ Fin ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾))
20 3simpc 1053 . . . . 5 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))
2120adantl 481 . . . 4 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))
2210, 11, 12numclwwlk1 26625 . . . 4 (((𝑉 ∈ Fin ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (#‘(𝑋𝐺𝑁)) = (𝐾 · (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2)))))
2319, 21, 22syl2anc 691 . . 3 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (#‘(𝑋𝐺𝑁)) = (𝐾 · (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2)))))
2417, 23oveq12d 6567 . 2 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((#‘(𝑋𝐻𝑁)) + (#‘(𝑋𝐺𝑁))) = (((𝐾↑(𝑁 − 2)) − (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2)))) + (𝐾 · (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2))))))
25 rusgraprop 26456 . . . . 5 (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝑉 USGrph 𝐸𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑢𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑢) = 𝐾))
26 nn0cn 11179 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℂ)
27263ad2ant2 1076 . . . . 5 ((𝑉 USGrph 𝐸𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑢𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑢) = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
2825, 27syl 17 . . . 4 (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝐾 ∈ ℂ)
2928ad2antrr 758 . . 3 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝐾 ∈ ℂ)
30 usgrav 25867 . . . . . . . . 9 (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
3130simprd 478 . . . . . . . 8 (𝑉 USGrph 𝐸𝐸 ∈ V)
321, 31syl 17 . . . . . . 7 (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝐸 ∈ V)
3332adantr 480 . . . . . 6 ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → 𝐸 ∈ V)
3433, 3anim12ci 589 . . . . 5 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ V))
35 uz3m2nn 11607 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
3635nnnn0d 11228 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
37363ad2ant3 1077 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
385, 37jca 553 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑋𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0))
3938adantl 481 . . . . 5 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑋𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0))
4010, 11numclwwlkffin 26609 . . . . 5 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑋𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)) → (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∈ Fin)
4134, 39, 40syl2anc 691 . . . 4 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∈ Fin)
42 hashcl 13009 . . . . 5 ((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∈ Fin → (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2))) ∈ ℕ0)
4342nn0cnd 11230 . . . 4 ((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∈ Fin → (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2))) ∈ ℂ)
4441, 43syl 17 . . 3 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2))) ∈ ℂ)
45 numclwlk3lem3 26600 . . 3 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2))) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝐾↑(𝑁 − 2)) − (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2)))) + (𝐾 · (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2))))) = (((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2)))) + (𝐾↑(𝑁 − 2))))
4629, 44, 9, 45syl3anc 1318 . 2 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (((𝐾↑(𝑁 − 2)) − (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2)))) + (𝐾 · (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2))))) = (((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2)))) + (𝐾↑(𝑁 − 2))))
4716, 24, 463eqtrd 2648 1 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (#‘(𝑋𝐹𝑁)) = (((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2)))) + (𝐾↑(𝑁 − 2))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  Fincfn 7841  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  2c2 10947  3c3 10948  ℕ0cn0 11169  ℤ≥cuz 11563  ↑cexp 12722  #chash 12979   lastS clsw 13147   USGrph cusg 25859   WWalksN cwwlkn 26206   ClWWalksN cclwwlkn 26277   VDeg cvdg 26420   RegUSGrph crusgra 26450   FriendGrph cfrgra 26515 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-s2 13444  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-usgra 25862  df-nbgra 25949  df-wlk 26036  df-wwlk 26207  df-wwlkn 26208  df-clwwlk 26279  df-clwwlkn 26280  df-vdgr 26421  df-rgra 26451  df-rusgra 26452  df-frgra 26516 This theorem is referenced by:  numclwwlk5  26639
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