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Theorem phiprmpw 15319
Description: Value of the Euler ϕ function at a prime power. Theorem 2.5(a) in [ApostolNT] p. 28. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
phiprmpw ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (ϕ‘(𝑃𝐾)) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)))

Proof of Theorem phiprmpw
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmnn 15226 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2 nnnn0 11176 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ0)
3 nnexpcl 12735 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐾) ∈ ℕ)
41, 2, 3syl2an 493 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃𝐾) ∈ ℕ)
5 phival 15310 . . 3 ((𝑃𝐾) ∈ ℕ → (ϕ‘(𝑃𝐾)) = (#‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}))
64, 5syl 17 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (ϕ‘(𝑃𝐾)) = (#‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}))
7 nnm1nn0 11211 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 − 1) ∈ ℕ0)
8 nnexpcl 12735 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
91, 7, 8syl2an 493 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℕ)
109nncnd 10913 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
111nncnd 10913 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
1211adantr 480 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℂ)
13 ax-1cn 9873 . . . . 5 1 ∈ ℂ
14 subdi 10342 . . . . 5 (((𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)) = (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1)))
1513, 14mp3an3 1405 . . . 4 (((𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)) = (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1)))
1610, 12, 15syl2anc 691 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)) = (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1)))
1710mulid1d 9936 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
1817oveq2d 6565 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 1)) = (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − (𝑃↑(𝐾 − 1))))
19 inrab 3858 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∩ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))}
20 elfzelz 12213 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) → 𝑥 ∈ ℤ)
21 prmz 15227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
22 rpexp 15270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃𝐾) gcd 𝑥) = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
2321, 22syl3an1 1351 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃𝐾) gcd 𝑥) = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
24233expa 1257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃𝐾) gcd 𝑥) = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
2524an32s 842 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑃𝐾) gcd 𝑥) = 1 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
26 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℤ)
27 zexpcl 12737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐾) ∈ ℤ)
2821, 2, 27syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃𝐾) ∈ ℤ)
2928adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃𝐾) ∈ ℤ)
30 gcdcom 15073 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃𝐾) ∈ ℤ) → (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = ((𝑃𝐾) gcd 𝑥))
3126, 29, 30syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = ((𝑃𝐾) gcd 𝑥))
3231eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ↔ ((𝑃𝐾) gcd 𝑥) = 1))
33 coprm 15261 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑥 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
3433adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑥 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
3525, 32, 343bitr4d 299 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ↔ ¬ 𝑃𝑥))
36 zcn 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
3736adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℂ)
3837subid1d 10260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 − 0) = 𝑥)
3938breq2d 4595 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑥 − 0) ↔ 𝑃𝑥))
4039notbid 307 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0) ↔ ¬ 𝑃𝑥))
4135, 40bitr4d 270 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ↔ ¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
4220, 41sylan2 490 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ↔ ¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
4342biimpd 218 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 → ¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
44 imnan 437 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 → ¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)) ↔ ¬ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
4543, 44sylib 207 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → ¬ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
4645ralrimiva 2949 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ¬ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
47 rabeq0 3911 . . . . . . . 8 ({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ¬ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
4846, 47sylibr 223 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∧ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))} = ∅)
4919, 48syl5eq 2656 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∩ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = ∅)
50 fzfi 12633 . . . . . . . 8 (1...(𝑃𝐾)) ∈ Fin
51 ssrab2 3650 . . . . . . . 8 {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ⊆ (1...(𝑃𝐾))
52 ssfi 8065 . . . . . . . 8 (((1...(𝑃𝐾)) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ⊆ (1...(𝑃𝐾))) → {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∈ Fin)
5350, 51, 52mp2an 704 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∈ Fin
54 ssrab2 3650 . . . . . . . 8 {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)} ⊆ (1...(𝑃𝐾))
55 ssfi 8065 . . . . . . . 8 (((1...(𝑃𝐾)) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)} ⊆ (1...(𝑃𝐾))) → {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)} ∈ Fin)
5650, 54, 55mp2an 704 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)} ∈ Fin
57 hashun 13032 . . . . . . 7 (({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)} ∈ Fin ∧ ({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∩ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = ∅) → (#‘({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((#‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) + (#‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})))
5853, 56, 57mp3an12 1406 . . . . . 6 (({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∩ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = ∅ → (#‘({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((#‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) + (#‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})))
5949, 58syl 17 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (#‘({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((#‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) + (#‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})))
6042biimprd 237 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → (¬ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0) → (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1))
6160con1d 138 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → (¬ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 → 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
6261orrd 392 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))) → ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
6362ralrimiva 2949 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
64 rabid2 3096 . . . . . . . . 9 ((1...(𝑃𝐾)) = {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))} ↔ ∀𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾))((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)))
6563, 64sylibr 223 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (1...(𝑃𝐾)) = {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))})
66 unrab 3857 . . . . . . . 8 ({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ ((𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1 ∨ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0))}
6765, 66syl6reqr 2663 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = (1...(𝑃𝐾)))
6867fveq2d 6107 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (#‘({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = (#‘(1...(𝑃𝐾))))
694nnnn0d 11228 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃𝐾) ∈ ℕ0)
70 hashfz1 12996 . . . . . . 7 ((𝑃𝐾) ∈ ℕ0 → (#‘(1...(𝑃𝐾))) = (𝑃𝐾))
7169, 70syl 17 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (#‘(1...(𝑃𝐾))) = (𝑃𝐾))
72 expm1t 12750 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃𝐾) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃))
7311, 72sylan 487 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃𝐾) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃))
7468, 71, 733eqtrd 2648 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (#‘({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∪ {𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃))
751adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ)
76 1zzd 11285 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
77 nn0uz 11598 . . . . . . . . . . 11 0 = (ℤ‘0)
78 1m1e0 10966 . . . . . . . . . . . 12 (1 − 1) = 0
7978fveq2i 6106 . . . . . . . . . . 11 (ℤ‘(1 − 1)) = (ℤ‘0)
8077, 79eqtr4i 2635 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘(1 − 1))
8169, 80syl6eleq 2698 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃𝐾) ∈ (ℤ‘(1 − 1)))
82 0zd 11266 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
8375, 76, 81, 82hashdvds 15318 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (#‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = ((⌊‘(((𝑃𝐾) − 0) / 𝑃)) − (⌊‘(((1 − 1) − 0) / 𝑃))))
844nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃𝐾) ∈ ℂ)
8584subid1d 10260 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃𝐾) − 0) = (𝑃𝐾))
8685oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃𝐾) − 0) / 𝑃) = ((𝑃𝐾) / 𝑃))
8775nnne0d 10942 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝑃 ≠ 0)
88 nnz 11276 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℤ)
8988adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℤ)
9012, 87, 89expm1d 12880 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) = ((𝑃𝐾) / 𝑃))
9186, 90eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃𝐾) − 0) / 𝑃) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
9291fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(((𝑃𝐾) − 0) / 𝑃)) = (⌊‘(𝑃↑(𝐾 − 1))))
939nnzd 11357 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℤ)
94 flid 12471 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝑃↑(𝐾 − 1))) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑃↑(𝐾 − 1))) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
9692, 95eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(((𝑃𝐾) − 0) / 𝑃)) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
9778oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 − 1) − 0) = (0 − 0)
98 0m0e0 11007 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 − 0) = 0
9997, 98eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 − 1) − 0) = 0
10099oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . 12 (((1 − 1) − 0) / 𝑃) = (0 / 𝑃)
10112, 87div0d 10679 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (0 / 𝑃) = 0)
102100, 101syl5eq 2656 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((1 − 1) − 0) / 𝑃) = 0)
103102fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(((1 − 1) − 0) / 𝑃)) = (⌊‘0))
104 0z 11265 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
105 flid 12471 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℤ → (⌊‘0) = 0)
106104, 105ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (⌊‘0) = 0
107103, 106syl6eq 2660 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (⌊‘(((1 − 1) − 0) / 𝑃)) = 0)
10896, 107oveq12d 6567 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((⌊‘(((𝑃𝐾) − 0) / 𝑃)) − (⌊‘(((1 − 1) − 0) / 𝑃))) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) − 0))
10910subid1d 10260 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) − 0) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
11083, 108, 1093eqtrd 2648 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (#‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)}) = (𝑃↑(𝐾 − 1)))
111110oveq2d 6565 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((#‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) + (#‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((#‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) + (𝑃↑(𝐾 − 1))))
112 hashcl 13009 . . . . . . . . 9 ({𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1} ∈ Fin → (#‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) ∈ ℕ0)
11353, 112ax-mp 5 . . . . . . . 8 (#‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) ∈ ℕ0
114113nn0cni 11181 . . . . . . 7 (#‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) ∈ ℂ
115 addcom 10101 . . . . . . 7 (((#‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) ∈ ℂ ∧ (𝑃↑(𝐾 − 1)) ∈ ℂ) → ((#‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) + (𝑃↑(𝐾 − 1))) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) + (#‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1})))
116114, 10, 115sylancr 694 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((#‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) + (𝑃↑(𝐾 − 1))) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) + (#‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1})))
117111, 116eqtrd 2644 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((#‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) + (#‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ 𝑃 ∥ (𝑥 − 0)})) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) + (#‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1})))
11859, 74, 1173eqtr3rd 2653 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) + (#‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1})) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃))
11910, 12mulcld 9939 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) ∈ ℂ)
120114a1i 11 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (#‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) ∈ ℂ)
121119, 10, 120subaddd 10289 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − (𝑃↑(𝐾 − 1))) = (#‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) ↔ ((𝑃↑(𝐾 − 1)) + (#‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1})) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃)))
122118, 121mpbird 246 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (((𝑃↑(𝐾 − 1)) · 𝑃) − (𝑃↑(𝐾 − 1))) = (#‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}))
12316, 18, 1223eqtrrd 2649 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (#‘{𝑥 ∈ (1...(𝑃𝐾)) ∣ (𝑥 gcd (𝑃𝐾)) = 1}) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)))
1246, 123eqtrd 2644 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (ϕ‘(𝑃𝐾)) = ((𝑃↑(𝐾 − 1)) · (𝑃 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  {crab 2900  cun 3538  cin 3539  wss 3540  c0 3874   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  cc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  cmin 10145   / cdiv 10563  cn 10897  0cn0 11169  cz 11254  cuz 11563  ...cfz 12197  cfl 12453  cexp 12722  #chash 12979  cdvds 14821   gcd cgcd 15054  cprime 15223  ϕcphi 15307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-phi 15309
This theorem is referenced by:  phiprm  15320
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