Theorem nnexpcl 12735

Description: Closure of exponentiation of nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
nnexpcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnexpcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnsscn 10902	. 2 ⊢ ℕ ⊆ ℂ
2		nnmulcl 10920	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℕ)
3		1nn 10908	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
4	1, 2, 3	expcllem 12733	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  ↑cexp 12722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-exp 12723

This theorem is referenced by:  digit1  12860  nnexpcld  12892  faclbnd4lem3  12944  faclbnd5  12947  climcndslem1  14420  climcndslem2  14421  climcnds  14422  harmonic  14430  geo2sum  14443  geo2lim  14445  ege2le3  14659  eftlub  14678  ef01bndlem  14753  phiprmpw  15319  pcdvdsb  15411  pcmptcl  15433  pcfac  15441  pockthi  15449  prmreclem3  15460  prmreclem5  15462  prmreclem6  15463  modxai  15610  1259lem5  15680  2503lem3  15684  4001lem4  15689  ovollb2lem  23063  ovoliunlem1  23077  ovoliunlem3  23079  dyadf  23165  dyadovol  23167  dyadss  23168  dyaddisjlem  23169  dyadmaxlem  23171  opnmbllem  23175  mbfi1fseqlem1  23288  mbfi1fseqlem3  23290  mbfi1fseqlem4  23291  mbfi1fseqlem5  23292  mbfi1fseqlem6  23293  aalioulem1  23891  aaliou2b  23900  aaliou3lem9  23909  log2cnv  24471  log2tlbnd  24472  log2ublem1  24473  log2ublem2  24474  log2ub  24476  zetacvg  24541  vmappw  24642  sgmnncl  24673  dvdsppwf1o  24712  0sgmppw  24723  1sgm2ppw  24725  vmasum  24741  mersenne  24752  perfect1  24753  perfectlem1  24754  perfectlem2  24755  perfect  24756  pcbcctr  24801  bclbnd  24805  bposlem2  24810  bposlem6  24814  bposlem8  24816  chebbnd1lem1  24958  rplogsumlem2  24974  ostth2lem3  25124  ostth3  25127  oddpwdc  29743  faclim2  30887  opnmbllem0  32615  heiborlem3  32782  heiborlem5  32784  heiborlem6  32785  heiborlem7  32786  heiborlem8  32787  heibor  32790  hoicvrrex  39446  ovnsubaddlem2  39461  ovolval5lem1  39542  fmtnoprmfac2lem1  40016  fmtno4prm  40025  perfectALTVlem1  40164  perfectALTVlem2  40165  perfectALTV  40166  bgoldbachlt  40227  tgblthelfgott  40229  tgoldbachlt  40230  bgoldbachltOLD  40234  tgblthelfgottOLD  40236  tgoldbachltOLD  40237  blenpw2  42170  nnpw2pb  42179  nnolog2flm1  42182