Theorem subid1d 10260

Description: Identity law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
subid1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Proof of Theorem subid1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		subid1 10180	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 0) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 0) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815   − cmin 10145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147

This theorem is referenced by:  suble0  10421  lesub0  10424  ltm1  10742  nn0sub  11220  max0sub  11901  modid  12557  modeqmodmin  12602  muldivbinom2  12909  bcn0  12959  bcnn  12961  hashfzo0  13077  hashfz0  13079  ccatlid  13222  swrd0val  13273  swrd0f  13279  swrdid  13280  swrdswrd0  13314  spllen  13356  splfv1  13357  splfv2a  13358  cshwsublen  13393  cshwlen  13396  repswcshw  13409  remul2  13718  clim0c  14086  rlimrecl  14159  o1rlimmul  14197  rlimno1  14232  incexclem  14407  supcvg  14427  geolim  14440  fallfacval3  14582  binomfallfaclem2  14610  bpolydiflem  14624  bpoly3  14628  addmodlteqALT  14885  dvdsmod  14888  ndvdssub  14971  nn0seqcvgd  15121  phiprmpw  15319  pczpre  15390  pcaddlem  15430  pcmpt2  15435  prmreclem4  15461  4sqlem9  15488  4sqlem11  15497  ramcl  15571  oddvdsnn0  17786  odf1o2  17811  srgbinomlem4  18366  psrlidm  19224  coe1sclmul  19473  coe1sclmul2  19475  cply1mul  19485  zndvds0  19718  recld2  22425  i1fadd  23268  mbfi1fseqlem6  23293  itgposval  23368  dveflem  23546  dv11cn  23568  lhop1lem  23580  coemulc  23815  plydivlem3  23854  plyrem  23864  vieta1lem2  23870  aareccl  23885  aalioulem3  23893  aaliou2b  23900  dvntaylp  23929  taylthlem1  23931  psercn  23984  pserdvlem2  23986  abelthlem2  23990  abelthlem3  23991  abelthlem5  23993  abelthlem7  23996  sinmpi  24043  cosppi  24046  sinhalfpim  24049  sincosq2sgn  24055  logcnlem3  24190  logcnlem4  24191  advlog  24200  efopn  24204  logtayl  24206  pythag  24347  chordthmlem5  24363  atanlogsublem  24442  rlimcnp  24492  efrlim  24496  rlimcxp  24500  cxploglim2  24505  emcllem5  24526  zetacvg  24541  lgamgulmlem2  24556  lgamcvg2  24581  0sgmppw  24723  ppiub  24729  chtublem  24736  logfacrlim  24749  logexprlim  24750  chtppilimlem2  24963  rplogsumlem2  24974  dchrisumlem3  24980  dchrvmasumiflem1  24990  dchrisum0lem2  25007  selberg2lem  25039  logdivbnd  25045  pntrsumo1  25054  pntrlog2bndlem4  25069  pntpbnd1  25075  axlowdimlem17  25638  clwlkisclwwlklem2a1  26307  clwlkisclwwlklem2a  26313  clwlkisclwwlklem0  26316  clwlkisclwwlk  26317  ipidsq  26949  nmcfnexi  28294  sgnsub  29933  knoppndvlem10  31682  poimirlem19  32598  poimirlem20  32599  ftc1anc  32663  cntotbnd  32765  irrapxlem3  36406  irrapxlem4  36407  pell14qrgt0  36441  pell1qrgaplem  36455  acongeq  36568  jm2.18  36573  hashnzfz  37541  hashnzfz2  37542  hashnzfzclim  37543  bccn1  37565  binomcxplemnotnn0  37577  dstregt0  38434  ellimcabssub0  38684  0ellimcdiv  38716  clim0cf  38721  fprodsubrecnncnvlem  38794  ioodvbdlimc2lem  38824  dvnxpaek  38832  dvnmul  38833  itgsbtaddcnst  38874  stoweidlem7  38900  stoweidlem11  38904  stoweidlem26  38919  dirkertrigeqlem2  38992  fourierdlem57  39056  fourierdlem60  39059  fourierdlem61  39060  fourierdlem68  39067  fourierdlem104  39103  fourierdlem107  39106  fourierdlem109  39108  etransclem4  39131  etransclem23  39150  etransclem27  39154  etransclem31  39158  etransclem35  39162  sigarexp  39697  sigaradd  39704  pwdif  40039  pfxmpt  40250  pfxfv  40262  pfxpfx  40278  crctcshlem4  41023  clwlkclwwlklem2a1  41201  clwlkclwwlklem2a  41207  clwlkclwwlklem3  41210  clwlkclwwlk  41211  m1modmmod  42110  dignn0flhalflem1  42207