MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pserdvlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pserdvlem2 23986
Description: Lemma for pserdv 23987. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pserf.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
pserf.f 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
pserf.a (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
pserf.r 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
psercn.s 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
psercn.m 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
pserdv.b 𝐵 = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
Assertion
Ref Expression
pserdvlem2 ((𝜑𝑎𝑆) → (ℂ D (𝐹𝐵)) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑎,𝑘,𝑛,𝑟,𝑥,𝑦,𝐴   𝑗,𝑀,𝑘,𝑦   𝐵,𝑗,𝑘,𝑥,𝑦   𝑗,𝐺,𝑘,𝑟,𝑦   𝑆,𝑎,𝑗,𝑘,𝑦   𝐹,𝑎   𝜑,𝑎,𝑗,𝑘,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐵(𝑛,𝑟,𝑎)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑛,𝑟)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛,𝑟)   𝐺(𝑥,𝑛,𝑎)   𝑀(𝑥,𝑛,𝑟,𝑎)

Proof of Theorem pserdvlem2
Dummy variables 𝑚 𝑠 𝑤 𝑧 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11598 . 2 0 = (ℤ‘0)
2 cnelprrecn 9908 . . 3 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
32a1i 11 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
4 0zd 11266 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ∈ ℤ)
5 fzfid 12634 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → (0...𝑘) ∈ Fin)
6 pserf.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))))
7 pserf.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
87ad3antrrr 762 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
9 pserdv.b . . . . . . . . . . 11 𝐵 = (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
10 cnxmet 22386 . . . . . . . . . . . . 13 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
12 0cnd 9912 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ∈ ℂ)
13 pserf.f . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐹 = (𝑦𝑆 ↦ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗))
14 pserf.r . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑅 = sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
15 psercn.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (abs “ (0[,)𝑅))
16 psercn.m . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 = if(𝑅 ∈ ℝ, (((abs‘𝑎) + 𝑅) / 2), ((abs‘𝑎) + 1))
176, 13, 7, 14, 15, 16pserdvlem1 23985 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑎𝑆) → ((((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅))
1817simp1d 1066 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ+)
1918rpxrd 11749 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*)
20 blssm 22033 . . . . . . . . . . . 12 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ ℂ)
2111, 12, 19, 20syl3anc 1318 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ ℂ)
229, 21syl5eqss 3612 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐵 ⊆ ℂ)
2322adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ⊆ ℂ)
2423sselda 3568 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
256, 8, 24psergf 23970 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐺𝑦):ℕ0⟶ℂ)
26 elfznn0 12302 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0...𝑘) → 𝑖 ∈ ℕ0)
27 ffvelrn 6265 . . . . . . 7 (((𝐺𝑦):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑦)‘𝑖) ∈ ℂ)
2825, 26, 27syl2an 493 . . . . . 6 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐺𝑦)‘𝑖) ∈ ℂ)
295, 28fsumcl 14311 . . . . 5 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖) ∈ ℂ)
30 eqid 2610 . . . . 5 (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖))
3129, 30fmptd 6292 . . . 4 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)):𝐵⟶ℂ)
32 cnex 9896 . . . . 5 ℂ ∈ V
33 ovex 6577 . . . . . 6 (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ∈ V
349, 33eqeltri 2684 . . . . 5 𝐵 ∈ V
3532, 34elmap 7772 . . . 4 ((𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝐵) ↔ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)):𝐵⟶ℂ)
3631, 35sylibr 223 . . 3 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝐵))
37 eqid 2610 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))
3836, 37fmptd 6292 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖))):ℕ0⟶(ℂ ↑𝑚 𝐵))
396, 13, 7, 14, 15, 16psercn 23984 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆cn→ℂ))
40 cncff 22504 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆cn→ℂ) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
4139, 40syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝑆⟶ℂ)
4241adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
436, 13, 7, 14, 15, 17psercnlem2 23982 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑎 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ∧ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ (abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ∧ (abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ⊆ 𝑆))
4443simp2d 1067 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ⊆ (abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))))
459, 44syl5eqss 3612 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐵 ⊆ (abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))))
4643simp3d 1068 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs “ (0[,](((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))) ⊆ 𝑆)
4745, 46sstrd 3578 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐵𝑆)
4842, 47fssresd 5984 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝐹𝐵):𝐵⟶ℂ)
49 0zd 11266 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 0 ∈ ℤ)
50 eqidd 2611 . . . . 5 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑧)‘𝑗) = ((𝐺𝑧)‘𝑗))
517ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
5222sselda 3568 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ℂ)
536, 51, 52psergf 23970 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝐺𝑧):ℕ0⟶ℂ)
5453ffvelrnda 6267 . . . . 5 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑧)‘𝑗) ∈ ℂ)
5552abscld 14023 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ)
5655rexrd 9968 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (abs‘𝑧) ∈ ℝ*)
5719adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*)
58 iccssxr 12127 . . . . . . . . 9 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
596, 7, 14radcnvcl 23975 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ (0[,]+∞))
6058, 59sseldi 3566 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
6160ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑅 ∈ ℝ*)
62 0cn 9911 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
63 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
6463cnmetdval 22384 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑧(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑧 − 0)))
6552, 62, 64sylancl 693 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑧 − 0)))
6652subid1d 10260 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧 − 0) = 𝑧)
6766fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (abs‘(𝑧 − 0)) = (abs‘𝑧))
6865, 67eqtrd 2644 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧(abs ∘ − )0) = (abs‘𝑧))
69 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧𝐵)
7069, 9syl6eleq 2698 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)))
7110a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
72 0cnd 9912 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 0 ∈ ℂ)
73 elbl3 22007 . . . . . . . . . 10 ((((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ↔ (𝑧(abs ∘ − )0) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)))
7471, 57, 72, 52, 73syl22anc 1319 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ↔ (𝑧(abs ∘ − )0) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)))
7570, 74mpbid 221 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑧(abs ∘ − )0) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
7668, 75eqbrtrrd 4607 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (abs‘𝑧) < (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2))
7717simp3d 1068 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅)
7877adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑅)
7956, 57, 61, 76, 78xrlttrd 11866 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (abs‘𝑧) < 𝑅)
806, 51, 14, 52, 79radcnvlt2 23977 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → seq0( + , (𝐺𝑧)) ∈ dom ⇝ )
811, 49, 50, 54, 80isumclim2 14331 . . . 4 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → seq0( + , (𝐺𝑧)) ⇝ Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑧)‘𝑗))
8247sselda 3568 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧𝑆)
83 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑧))
8483fveq1d 6105 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺𝑦)‘𝑗) = ((𝐺𝑧)‘𝑗))
8584sumeq2sdv 14282 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑦)‘𝑗) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑧)‘𝑗))
86 sumex 14266 . . . . . 6 Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑧)‘𝑗) ∈ V
8785, 13, 86fvmpt 6191 . . . . 5 (𝑧𝑆 → (𝐹𝑧) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑧)‘𝑗))
8882, 87syl 17 . . . 4 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝐹𝑧) = Σ𝑗 ∈ ℕ0 ((𝐺𝑧)‘𝑗))
8981, 88breqtrrd 4611 . . 3 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → seq0( + , (𝐺𝑧)) ⇝ (𝐹𝑧))
90 oveq2 6557 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑚 → (0...𝑘) = (0...𝑚))
9190sumeq1d 14279 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖))
9291mpteq2dv 4673 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖)))
9334mptex 6390 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖)) ∈ V
9492, 37, 93fvmpt 6191 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖)))
9594adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖)))
9695fveq1d 6105 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧) = ((𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖))‘𝑧))
9783fveq1d 6105 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐺𝑦)‘𝑖) = ((𝐺𝑧)‘𝑖))
9897sumeq2sdv 14282 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑧 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑧)‘𝑖))
99 eqid 2610 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖)) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖))
100 sumex 14266 . . . . . . . 8 Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑧)‘𝑖) ∈ V
10198, 99, 100fvmpt 6191 . . . . . . 7 (𝑧𝐵 → ((𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖))‘𝑧) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑧)‘𝑖))
102101ad2antlr 759 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖))‘𝑧) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑧)‘𝑖))
103 eqidd 2611 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → ((𝐺𝑧)‘𝑖) = ((𝐺𝑧)‘𝑖))
104 simpr 476 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
105104, 1syl6eleq 2698 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ (ℤ‘0))
10653adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑧):ℕ0⟶ℂ)
107 elfznn0 12302 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0...𝑚) → 𝑖 ∈ ℕ0)
108 ffvelrn 6265 . . . . . . . 8 (((𝐺𝑧):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑧)‘𝑖) ∈ ℂ)
109106, 107, 108syl2an 493 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → ((𝐺𝑧)‘𝑖) ∈ ℂ)
110103, 105, 109fsumser 14308 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑧)‘𝑖) = (seq0( + , (𝐺𝑧))‘𝑚))
11196, 102, 1103eqtrd 2648 . . . . 5 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧) = (seq0( + , (𝐺𝑧))‘𝑚))
112111mpteq2dva 4672 . . . 4 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑧))‘𝑚)))
113 0z 11265 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
114 seqfn 12675 . . . . . . 7 (0 ∈ ℤ → seq0( + , (𝐺𝑧)) Fn (ℤ‘0))
115113, 114ax-mp 5 . . . . . 6 seq0( + , (𝐺𝑧)) Fn (ℤ‘0)
1161fneq2i 5900 . . . . . 6 (seq0( + , (𝐺𝑧)) Fn ℕ0 ↔ seq0( + , (𝐺𝑧)) Fn (ℤ‘0))
117115, 116mpbir 220 . . . . 5 seq0( + , (𝐺𝑧)) Fn ℕ0
118 dffn5 6151 . . . . 5 (seq0( + , (𝐺𝑧)) Fn ℕ0 ↔ seq0( + , (𝐺𝑧)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑧))‘𝑚)))
119117, 118mpbi 219 . . . 4 seq0( + , (𝐺𝑧)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (seq0( + , (𝐺𝑧))‘𝑚))
120112, 119syl6eqr 2662 . . 3 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧)) = seq0( + , (𝐺𝑧)))
121 fvres 6117 . . . 4 (𝑧𝐵 → ((𝐹𝐵)‘𝑧) = (𝐹𝑧))
122121adantl 481 . . 3 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → ((𝐹𝐵)‘𝑧) = (𝐹𝑧))
12389, 120, 1223brtr4d 4615 . 2 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)‘𝑧)) ⇝ ((𝐹𝐵)‘𝑧))
12494adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖)))
125124oveq2d 6565 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (ℂ D ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)) = (ℂ D (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖))))
126 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
127126cnfldtop 22397 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
128126cnfldtopon 22396 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
129128toponunii 20547 . . . . . . . . 9 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
130129restid 15917 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
131127, 130ax-mp 5 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
132131eqcomi 2619 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
1332a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
134126cnfldtopn 22395 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
135134blopn 22115 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ*) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
13611, 12, 19, 135syl3anc 1318 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → (0(ball‘(abs ∘ − ))(((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2)) ∈ (TopOpen‘ℂfld))
1379, 136syl5eqel 2692 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐵 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
138137adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
139 fzfid 12634 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (0...𝑚) ∈ Fin)
1407ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
1411403ad2ant1 1075 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
14222adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐵 ⊆ ℂ)
143142sselda 3568 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
1441433adant2 1073 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
1456, 141, 144psergf 23970 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐺𝑦):ℕ0⟶ℂ)
1461073ad2ant2 1076 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑖 ∈ ℕ0)
147145, 146ffvelrnd 6268 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝐺𝑦)‘𝑖) ∈ ℂ)
1482a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
149 ffvelrn 6265 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
150140, 107, 149syl2an 493 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
151150adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
152143adantlr 747 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
153 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℂ → 𝑦 ∈ ℂ)
154107adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
155 expcl 12740 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑖) ∈ ℂ)
156153, 154, 155syl2anr 494 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑦𝑖) ∈ ℂ)
157152, 156syldan 486 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦𝑖) ∈ ℂ)
158151, 157mulcld 9939 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)) ∈ ℂ)
159 ovex 6577 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ V
160159a1i 11 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ V)
161 c0ex 9913 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
162 ovex 6577 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))) ∈ V
163161, 162ifex 4106 . . . . . . . . . 10 if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) ∈ V
164163a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) ∈ V)
165163a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) ∈ V)
166 dvexp2 23523 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ℕ0 → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑖))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))
167154, 166syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦𝑖))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))
16822ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → 𝐵 ⊆ ℂ)
169137ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → 𝐵 ∈ (TopOpen‘ℂfld))
170148, 156, 165, 167, 168, 132, 126, 169dvmptres 23532 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦𝐵 ↦ (𝑦𝑖))) = (𝑦𝐵 ↦ if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))
171148, 157, 164, 170, 150dvmptcmul 23533 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦𝐵 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))) = (𝑦𝐵 ↦ ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
172148, 158, 160, 171dvmptcl 23528 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
1731723impa 1251 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
174107ad2antlr 759 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑖 ∈ ℕ0)
1756pserval2 23969 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑦)‘𝑖) = ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))
176152, 174, 175syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝐺𝑦)‘𝑖) = ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))
177176mpteq2dva 4672 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (𝑦𝐵 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑖)) = (𝑦𝐵 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖))))
178177oveq2d 6565 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦𝐵 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑖))) = (ℂ D (𝑦𝐵 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))))
179178, 171eqtrd 2644 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → (ℂ D (𝑦𝐵 ↦ ((𝐺𝑦)‘𝑖))) = (𝑦𝐵 ↦ ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
180132, 126, 133, 138, 139, 147, 173, 179dvmptfsum 23542 . . . . 5 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (ℂ D (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐺𝑦)‘𝑖))) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
181125, 180eqtrd 2644 . . . 4 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (ℂ D ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
182181mpteq2dva 4672 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (ℂ D ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))))
183 nnssnn0 11172 . . . . . 6 ℕ ⊆ ℕ0
184 resmpt 5369 . . . . . 6 (ℕ ⊆ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))))
185183, 184ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) ↾ ℕ) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
186 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑥 → (𝑎𝑖) = (𝑥𝑖))
187186oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑥 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖)) = (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥𝑖)))
188187mpteq2dv 4673 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑥 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥𝑖))))
189 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑛 → (𝑖 + 1) = (𝑛 + 1))
190189fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑛 → (𝐴‘(𝑖 + 1)) = (𝐴‘(𝑛 + 1)))
191189, 190oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑛 → ((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) = ((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))))
192 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑛 → (𝑥𝑖) = (𝑥𝑛))
193191, 192oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑛 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥𝑖)) = (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑥𝑛)))
194193cbvmptv 4678 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥𝑖))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑥𝑛)))
195 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 + 1) = (𝑛 + 1))
196195fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑛 → (𝐴‘(𝑚 + 1)) = (𝐴‘(𝑛 + 1)))
197195, 196oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) = ((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))))
198 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))
199 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) ∈ V
200197, 198, 199fvmpt 6191 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) = ((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))))
201200oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥𝑛)) = (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑥𝑛)))
202201mpteq2ia 4668 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑛 + 1) · (𝐴‘(𝑛 + 1))) · (𝑥𝑛)))
203194, 202eqtr4i 2635 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑥𝑖))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥𝑛)))
204188, 203syl6eq 2660 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 𝑥 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥𝑛))))
205204cbvmptv 4678 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))))‘𝑛) · (𝑥𝑛))))
206 fveq2 6103 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦) = ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))
207206fveq1d 6105 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧)‘𝑘))
208207sumeq2sdv 14282 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧)‘𝑘))
209208cbvmptv 4678 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘)) = (𝑧𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧)‘𝑘))
210 peano2nn0 11210 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
211210adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
212211nn0cnd 11230 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 + 1) ∈ ℂ)
213140, 211ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑚 + 1)) ∈ ℂ)
214212, 213mulcld 9939 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1))) ∈ ℂ)
215214, 198fmptd 6292 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑚 + 1) · (𝐴‘(𝑚 + 1)))):ℕ0⟶ℂ)
216 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑗 → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟) = ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑗))
217216seqeq3d 12671 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑗 → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) = seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑗)))
218217eleq1d 2672 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑗 → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑗)) ∈ dom ⇝ ))
219218cbvrabv 3172 . . . . . . . . 9 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ } = {𝑗 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑗)) ∈ dom ⇝ }
220219supeq1i 8236 . . . . . . . 8 sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑗 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑗)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
221206seqeq3d 12671 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)) = seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧)))
222221fveq1d 6105 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑗))
223222cbvmptv 4678 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) = (𝑧𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑗))
224 fveq2 6103 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑚 → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑗) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑚))
225224mpteq2dv 4673 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑚 → (𝑧𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑗)) = (𝑧𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑚)))
226223, 225syl5eq 2656 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑚 → (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) = (𝑧𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑚)))
227226cbvmptv 4678 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑧𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑧))‘𝑚)))
22818rpred 11748 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) ∈ ℝ)
2296, 13, 7, 14, 15, 16psercnlem1 23983 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘𝑎) < 𝑀𝑀 < 𝑅))
230229simp1d 1066 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ+)
231230rpxrd 11749 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ*)
232205, 215, 220radcnvcl 23975 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ (0[,]+∞))
23358, 232sseldi 3566 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝑆) → sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
234229simp2d 1067 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) < 𝑀)
235 cnvimass 5404 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ dom abs
236 absf 13925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 abs:ℂ⟶ℝ
237236fdmi 5965 . . . . . . . . . . . . . . . 16 dom abs = ℂ
238235, 237sseqtri 3600 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs “ (0[,)𝑅)) ⊆ ℂ
23915, 238eqsstri 3598 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 ⊆ ℂ
240239a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
241240sselda 3568 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ ℂ)
242241abscld 14023 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
243230rpred 11748 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℝ)
244 avglt2 11148 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘𝑎) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑎) < 𝑀 ↔ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑀))
245242, 243, 244syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → ((abs‘𝑎) < 𝑀 ↔ (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑀))
246234, 245mpbid 221 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < 𝑀)
247230rpge0d 11752 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → 0 ≤ 𝑀)
248243, 247absidd 14009 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑀) = 𝑀)
249230rpcnd 11750 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ∈ ℂ)
250 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = 𝑀 → (𝑤𝑖) = (𝑀𝑖))
251250oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = 𝑀 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤𝑖)) = (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖)))
252251mpteq2dv 4673 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = 𝑀 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖))))
253 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 𝑤 → (𝑎𝑖) = (𝑤𝑖))
254253oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = 𝑤 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖)) = (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤𝑖)))
255254mpteq2dv 4673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = 𝑤 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤𝑖))))
256255cbvmptv 4678 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖)))) = (𝑤 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑤𝑖))))
257 nn0ex 11175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ V
258257mptex 6390 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖))) ∈ V
259252, 256, 258fvmpt 6191 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℂ → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑀) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖))))
260249, 259syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑀) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖))))
261260seqeq3d 12671 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑀)) = seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖)))))
262 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑖 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑖))
263 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 𝑖 → (𝑥𝑛) = (𝑥𝑖))
264262, 263oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 𝑖 → ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)) = ((𝐴𝑖) · (𝑥𝑖)))
265264cbvmptv 4678 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑥𝑖)))
266 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑖) = (𝑦𝑖))
267266oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐴𝑖) · (𝑥𝑖)) = ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖)))
268267mpteq2dv 4673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑥𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖))))
269265, 268syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖))))
270269cbvmptv 4678 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) · (𝑥𝑛)))) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖))))
2716, 270eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑖) · (𝑦𝑖))))
272 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑟 = 𝑠 → (𝐺𝑟) = (𝐺𝑠))
273272seqeq3d 12671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = 𝑠 → seq0( + , (𝐺𝑟)) = seq0( + , (𝐺𝑠)))
274273eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 𝑠 → (seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ ↔ seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ ))
275274cbvrabv 3172 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ } = {𝑠 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ }
276275supeq1i 8236 . . . . . . . . . . . . . 14 sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ) = sup({𝑠 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
27714, 276eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . 13 𝑅 = sup({𝑠 ∈ ℝ ∣ seq0( + , (𝐺𝑠)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < )
278 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖)))
2797adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
280229simp3d 1068 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 < 𝑅)
281248, 280eqbrtrd 4605 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑀) < 𝑅)
282271, 277, 278, 279, 249, 281dvradcnv 23979 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → seq0( + , (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑀𝑖)))) ∈ dom ⇝ )
283261, 282eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝑆) → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑀)) ∈ dom ⇝ )
284205, 215, 220, 249, 283radcnvle 23978 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝑆) → (abs‘𝑀) ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
285248, 284eqbrtrrd 4607 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑀 ≤ sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
28619, 231, 233, 246, 285xrltletrd 11868 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → (((abs‘𝑎) + 𝑀) / 2) < sup({𝑟 ∈ ℝ ∣ seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑟)) ∈ dom ⇝ }, ℝ*, < ))
287205, 209, 215, 220, 227, 228, 286, 45pserulm 23980 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘)))
28822sselda 3568 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
289 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = 𝑦 → (𝑎𝑖) = (𝑦𝑖))
290289oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝑦 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖)) = (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)))
291290mpteq2dv 4673 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑦 → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))))
292 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖)))) = (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))
293257mptex 6390 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))) ∈ V
294291, 292, 293fvmpt 6191 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))))
295288, 294syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))))
296295adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))))
297296fveq1d 6105 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)))‘𝑘))
298 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 + 1) = (𝑘 + 1))
299298fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑘 → (𝐴‘(𝑖 + 1)) = (𝐴‘(𝑘 + 1)))
300298, 299oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑘 → ((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) = ((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))))
301 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑘 → (𝑦𝑖) = (𝑦𝑘))
302300, 301oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑘 → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
303 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)))
304 ovex 6577 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)) ∈ V
305302, 303, 304fvmpt 6191 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)))‘𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
306305adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)))‘𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
307297, 306eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
308307sumeq2dv 14281 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
309308mpteq2dva 4672 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘)) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
310287, 309breqtrd 4609 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
311 nnuz 11599 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
312 1e0p1 11428 . . . . . . . . 9 1 = (0 + 1)
313312fveq2i 6106 . . . . . . . 8 (ℤ‘1) = (ℤ‘(0 + 1))
314311, 313eqtri 2632 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘(0 + 1))
315 1zzd 11285 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → 1 ∈ ℤ)
316 0zd 11266 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → 0 ∈ ℤ)
317 peano2nn0 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
318317nn0cnd 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℂ)
319318adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 + 1) ∈ ℂ)
3207ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
321 ffvelrn 6265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
322320, 317, 321syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
323319, 322mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) ∈ ℂ)
324288, 155sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑖) ∈ ℂ)
325323, 324mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)) ∈ ℂ)
326325, 303fmptd 6292 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))):ℕ0⟶ℂ)
327295feq1d 5943 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦):ℕ0⟶ℂ ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))):ℕ0⟶ℂ))
328326, 327mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦):ℕ0⟶ℂ)
329328ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑚) ∈ ℂ)
3301, 316, 329serf 12691 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)):ℕ0⟶ℂ)
331330ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗) ∈ ℂ)
332331an32s 842 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗) ∈ ℂ)
333 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) = (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗))
334332, 333fmptd 6292 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)):𝐵⟶ℂ)
33532, 34elmap 7772 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝐵) ↔ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)):𝐵⟶ℂ)
336334, 335sylibr 223 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝐵))
337 eqid 2610 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗))) = (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))
338336, 337fmptd 6292 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗))):ℕ0⟶(ℂ ↑𝑚 𝐵))
339 elfznn 12241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → 𝑖 ∈ ℕ)
340339nnne0d 10942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → 𝑖 ≠ 0)
341340neneqd 2787 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → ¬ 𝑖 = 0)
342341iffalsed 4047 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) = (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))
343342oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = ((𝐴𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))
344343sumeq2i 14277 . . . . . . . . . . . 12 Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))
345 1zzd 11285 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 1 ∈ ℤ)
346 nnz 11276 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
347346ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑚 ∈ ℤ)
348279ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
349339nnnn0d 11228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → 𝑖 ∈ ℕ0)
350348, 349, 149syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
351339adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → 𝑖 ∈ ℕ)
352351nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → 𝑖 ∈ ℂ)
353288adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℂ)
354 nnm1nn0 11211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ ℕ → (𝑖 − 1) ∈ ℕ0)
355339, 354syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (1...𝑚) → (𝑖 − 1) ∈ ℕ0)
356 expcl 12740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ (𝑖 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑦↑(𝑖 − 1)) ∈ ℂ)
357353, 355, 356syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → (𝑦↑(𝑖 − 1)) ∈ ℂ)
358352, 357mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))) ∈ ℂ)
359350, 358mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → ((𝐴𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) ∈ ℂ)
360 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑖) = (𝐴‘(𝑘 + 1)))
361 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑘 + 1) → 𝑖 = (𝑘 + 1))
362 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖 − 1) = ((𝑘 + 1) − 1))
363362oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑦↑(𝑖 − 1)) = (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))
364361, 363oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))) = ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1))))
365360, 364oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))))
366345, 345, 347, 359, 365fsumshftm 14355 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) = Σ𝑘 ∈ ((1 − 1)...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))))
367344, 366syl5eq 2656 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = Σ𝑘 ∈ ((1 − 1)...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))))
368312oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...𝑚) = ((0 + 1)...𝑚)
369 fzp1ss 12262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...𝑚) ⊆ (0...𝑚))
370113, 369ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 + 1)...𝑚) ⊆ (0...𝑚)
371368, 370eqsstri 3598 . . . . . . . . . . . . 13 (1...𝑚) ⊆ (0...𝑚)
372371a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (1...𝑚) ⊆ (0...𝑚))
373343adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = ((𝐴𝑖) · (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))
374373, 359eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑚)) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
375 eldif 3550 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ ((0 + 1)...𝑚)) ↔ (𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚)))
376 elfzuz2 12217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 ∈ (0...𝑚) → 𝑚 ∈ (ℤ‘0))
377 elfzp12 12288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑚 ∈ (ℤ‘0) → (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚))))
378376, 377syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 ∈ (0...𝑚) → (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↔ (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚))))
379378ibi 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (0...𝑚) → (𝑖 = 0 ∨ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚)))
380379ord 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (0...𝑚) → (¬ 𝑖 = 0 → 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚)))
381380con1d 138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 ∈ (0...𝑚) → (¬ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚) → 𝑖 = 0))
382381imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑖 ∈ (0...𝑚) ∧ ¬ 𝑖 ∈ ((0 + 1)...𝑚)) → 𝑖 = 0)
383375, 382sylbi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ ((0 + 1)...𝑚)) → 𝑖 = 0)
384368difeq2i 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚)) = ((0...𝑚) ∖ ((0 + 1)...𝑚))
385383, 384eleq2s 2706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚)) → 𝑖 = 0)
386385adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → 𝑖 = 0)
387386iftrued 4044 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))) = 0)
388387oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = ((𝐴𝑖) · 0))
389 eldifi 3694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚)) → 𝑖 ∈ (0...𝑚))
390389, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
391348, 390, 149syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
392391mul01d 10114 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → ((𝐴𝑖) · 0) = 0)
393388, 392eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ((0...𝑚) ∖ (1...𝑚))) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = 0)
394 fzfid 12634 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (0...𝑚) ∈ Fin)
395372, 374, 393, 394fsumss 14303 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))
396 1m1e0 10966 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 − 1) = 0
397396oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 − 1)...(𝑚 − 1)) = (0...(𝑚 − 1))
398397sumeq1i 14276 . . . . . . . . . . . 12 Σ𝑘 ∈ ((1 − 1)...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1))))
399 elfznn0 12302 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
400399adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
401400, 305syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)))‘𝑘) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
402353adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → 𝑦 ∈ ℂ)
403402, 294syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖))))
404403fveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑦𝑖)))‘𝑘))
405348adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
406 peano2nn0 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
407400, 406syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
408405, 407ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝐴‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
409407nn0cnd 11230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
410 expcl 12740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑦𝑘) ∈ ℂ)
411353, 399, 410syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑦𝑘) ∈ ℂ)
412408, 409, 411mul12d 10124 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦𝑘))) = ((𝑘 + 1) · ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑦𝑘))))
413400nn0cnd 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
414 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℂ
415 pncan 10166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
416413, 414, 415sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑘 + 1) − 1) = 𝑘)
417416oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)) = (𝑦𝑘))
418417oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1))) = ((𝑘 + 1) · (𝑦𝑘)))
419418oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦𝑘))))
420409, 408, 411mulassd 9942 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)) = ((𝑘 + 1) · ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · (𝑦𝑘))))
421412, 419, 4203eqtr4d 2654 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))
422401, 404, 4213eqtr4d 2654 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦)‘𝑘) = ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))))
423 nnm1nn0 11211 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 − 1) ∈ ℕ0)
424423adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 − 1) ∈ ℕ0)
425424adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑚 − 1) ∈ ℕ0)
426425, 1syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑚 − 1) ∈ (ℤ‘0))
427417, 411eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)) ∈ ℂ)
428409, 427mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1))) ∈ ℂ)
429408, 428mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))) → ((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) ∈ ℂ)
430422, 426, 429fsumser 14308 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1)))
431398, 430syl5eq 2656 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑘 ∈ ((1 − 1)...(𝑚 − 1))((𝐴‘(𝑘 + 1)) · ((𝑘 + 1) · (𝑦↑((𝑘 + 1) − 1)))) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1)))
432367, 395, 4313eqtr3d 2652 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1)))
433432mpteq2dva 4672 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))) = (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))))
434 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = (𝑚 − 1) → (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗) = (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1)))
435434mpteq2dv 4673 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = (𝑚 − 1) → (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)) = (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))))
43634mptex 6390 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))) ∈ V
437435, 337, 436fvmpt 6191 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))‘(𝑚 − 1)) = (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))))
438424, 437syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))‘(𝑚 − 1)) = (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘(𝑚 − 1))))
439433, 438eqtr4d 2647 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))) = ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))‘(𝑚 − 1)))
440439mpteq2dva 4672 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))‘(𝑚 − 1))))
4411, 314, 4, 315, 338, 440ulmshft 23948 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → ((𝑗 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ (seq0( + , ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑖 + 1) · (𝐴‘(𝑖 + 1))) · (𝑎𝑖))))‘𝑦))‘𝑗)))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))) ↔ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))))
442310, 441mpbid 221 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
443185, 442syl5eqbr 4618 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) ↾ ℕ)(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
444 1nn0 11185 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
445444a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → 1 ∈ ℕ0)
446 fzfid 12634 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → (0...𝑚) ∈ Fin)
447172an32s 842 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑚)) → ((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
448446, 447fsumcl 14311 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦𝐵) → Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))) ∈ ℂ)
449 eqid 2610 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))
450448, 449fmptd 6292 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))):𝐵⟶ℂ)
45132, 34elmap 7772 . . . . . . 7 ((𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝐵) ↔ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))):𝐵⟶ℂ)
452450, 451sylibr 223 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))) ∈ (ℂ ↑𝑚 𝐵))
453 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))
454452, 453fmptd 6292 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))):ℕ0⟶(ℂ ↑𝑚 𝐵))
4551, 311, 445, 454ulmres 23946 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))) ↔ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1))))))) ↾ ℕ)(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘)))))
456443, 455mpbird 246 . . 3 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑚)((𝐴𝑖) · if(𝑖 = 0, 0, (𝑖 · (𝑦↑(𝑖 − 1)))))))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
457182, 456eqbrtrd 4605 . 2 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (ℂ D ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑘)((𝐺𝑦)‘𝑖)))‘𝑚)))(⇝𝑢𝐵)(𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
4581, 3, 4, 38, 48, 123, 457ulmdv 23961 1 ((𝜑𝑎𝑆) → (ℂ D (𝐹𝐵)) = (𝑦𝐵 ↦ Σ𝑘 ∈ ℕ0 (((𝑘 + 1) · (𝐴‘(𝑘 + 1))) · (𝑦𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173  cdif 3537  wss 3540  ifcif 4036  {cpr 4127   class class class wbr 4583  cmpt 4643  ccnv 5037  dom cdm 5038  cres 5040  cima 5041  ccom 5042   Fn wfn 5799  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  𝑚 cmap 7744  supcsup 8229  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  +∞cpnf 9950  *cxr 9952   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145   / cdiv 10563  cn 10897  2c2 10947  0cn0 11169  cz 11254  cuz 11563  +crp 11708  [,)cico 12048  [,]cicc 12049  ...cfz 12197  seqcseq 12663  cexp 12722  abscabs 13822  cli 14063  Σcsu 14264  t crest 15904  TopOpenctopn 15905  ∞Metcxmt 19552  ballcbl 19554  fldccnfld 19567  Topctop 20517  cnccncf 22487   D cdv 23433  𝑢culm 23934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-ulm 23935
This theorem is referenced by:  pserdv  23987
  Copyright terms: Public domain W3C validator