Theorem mul12d 10124

Description: Commutative/associative law that swaps the first two factors in a triple product. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addcomd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
addcand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul12d	⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)) = (𝐵 · (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem mul12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addcomd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		addcand.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		mul12 10081	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)) = (𝐵 · (𝐴 · 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1318	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)) = (𝐵 · (𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   · cmul 9820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-mulcom 9879  ax-mulass 9881

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-iota 5768  df-fv 5812  df-ov 6552

This theorem is referenced by:  divrec  10580  remullem  13716  sqreulem  13947  cvgrat  14454  binomrisefac  14612  tanval3  14703  sinadd  14733  dvdsmulgcd  15112  lcmgcdlem  15157  cncongr1  15219  prmdiv  15328  vdwlem6  15528  itgmulc2  23406  dvexp3  23545  aaliou3lem8  23904  dvradcnv  23979  pserdvlem2  23986  abelthlem6  23994  abelthlem7  23996  tangtx  24061  tanarg  24169  dvcxp1  24281  dvcncxp1  24284  heron  24365  dcubic1  24372  mcubic  24374  dquart  24380  quart1  24383  quartlem1  24384  asinsin  24419  lgamgulmlem2  24556  basellem3  24609  bcp1ctr  24804  gausslemma2dlem6  24897  lgseisenlem2  24901  lgseisenlem4  24903  lgsquadlem1  24905  2sqlem4  24946  chebbnd1lem3  24960  rpvmasum2  25001  mulog2sumlem3  25025  selberglem1  25034  selberg4lem1  25049  selberg3r  25058  selberg34r  25060  pntrlog2bndlem4  25069  pntrlog2bndlem6  25072  pntlemr  25091  pntlemk  25095  ostth2lem3  25124  colinearalglem4  25589  branmfn  28348  faclimlem1  30882  itgmulc2nc  32648  areacirclem1  32670  pellexlem6  36416  pell1234qrmulcl  36437  rmxyadd  36504  jm2.18  36573  jm2.19lem1  36574  jm2.22  36580  jm2.20nn  36582  proot1ex  36798  ofmul12  37546  binomcxplemnotnn0  37577  sineq0ALT  38195  mul13d  38432  stoweidlem11  38904  wallispi2lem1  38964  stirlinglem1  38967  stirlinglem3  38969  stirlinglem7  38973  stirlinglem15  38981  dirkertrigeqlem3  38993  dirkercncflem2  38997  fourierdlem66  39065  fourierdlem83  39082  etransclem23  39150  mod42tp1mod8  40057  2zlidl  41724