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Theorem heron 24365
 Description: Heron's formula gives the area of a triangle given only the side lengths. If points A, B, C form a triangle, then the area of the triangle, represented here as (1 / 2) · 𝑋 · 𝑌 · abs(sin𝑂), is equal to the square root of 𝑆 · (𝑆 − 𝑋) · (𝑆 − 𝑌) · (𝑆 − 𝑍), where 𝑆 = (𝑋 + 𝑌 + 𝑍) / 2 is half the perimeter of the triangle. Based on work by Jon Pennant. This is Metamath 100 proof #57. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
heron.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
heron.x 𝑋 = (abs‘(𝐵𝐶))
heron.y 𝑌 = (abs‘(𝐴𝐶))
heron.z 𝑍 = (abs‘(𝐴𝐵))
heron.o 𝑂 = ((𝐵𝐶)𝐹(𝐴𝐶))
heron.s 𝑆 = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 2)
heron.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
heron.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
heron.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
heron.ac (𝜑𝐴𝐶)
heron.bc (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
heron (𝜑 → (((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂))) = (√‘((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝑂(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥,𝑦)   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem heron
StepHypRef Expression
1 1red 9934 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
21rehalfcld 11156 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
3 heron.x . . . . . . 7 𝑋 = (abs‘(𝐵𝐶))
4 heron.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
5 heron.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
64, 5subcld 10271 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
76abscld 14023 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐵𝐶)) ∈ ℝ)
83, 7syl5eqel 2692 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
9 heron.y . . . . . . 7 𝑌 = (abs‘(𝐴𝐶))
10 heron.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1110, 5subcld 10271 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐶) ∈ ℂ)
1211abscld 14023 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐶)) ∈ ℝ)
139, 12syl5eqel 2692 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
148, 13remulcld 9949 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ ℝ)
152, 14remulcld 9949 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) ∈ ℝ)
16 heron.o . . . . . . 7 𝑂 = ((𝐵𝐶)𝐹(𝐴𝐶))
17 negpitopissre 24090 . . . . . . . . 9 (-π(,]π) ⊆ ℝ
18 heron.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}), 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (ℑ‘(log‘(𝑦 / 𝑥))))
19 heron.bc . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵𝐶)
204, 5, 19subne0d 10280 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐶) ≠ 0)
21 heron.ac . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝐶)
2210, 5, 21subne0d 10280 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝐶) ≠ 0)
2318, 6, 20, 11, 22angcld 24335 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵𝐶)𝐹(𝐴𝐶)) ∈ (-π(,]π))
2417, 23sseldi 3566 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵𝐶)𝐹(𝐴𝐶)) ∈ ℝ)
2524recnd 9947 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵𝐶)𝐹(𝐴𝐶)) ∈ ℂ)
2616, 25syl5eqel 2692 . . . . . 6 (𝜑𝑂 ∈ ℂ)
2726sincld 14699 . . . . 5 (𝜑 → (sin‘𝑂) ∈ ℂ)
2827abscld 14023 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(sin‘𝑂)) ∈ ℝ)
2915, 28remulcld 9949 . . 3 (𝜑 → (((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂))) ∈ ℝ)
30 0re 9919 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
31 halfre 11123 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℝ
32 halfgt0 11125 . . . . . . 7 0 < (1 / 2)
3330, 31, 32ltleii 10039 . . . . . 6 0 ≤ (1 / 2)
3433a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (1 / 2))
356absge0d 14031 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘(𝐵𝐶)))
3635, 3syl6breqr 4625 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝑋)
3711absge0d 14031 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘(𝐴𝐶)))
3837, 9syl6breqr 4625 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
398, 13, 36, 38mulge0d 10483 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 · 𝑌))
402, 14, 34, 39mulge0d 10483 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ ((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)))
4127absge0d 14031 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘(sin‘𝑂)))
4215, 28, 40, 41mulge0d 10483 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂))))
4329, 42sqrtsqd 14006 . 2 (𝜑 → (√‘((((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂)))↑2)) = (((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂))))
44 halfcn 11124 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℂ
4544a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
468recnd 9947 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
4713recnd 9947 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
4846, 47mulcld 9939 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ ℂ)
4945, 48mulcld 9939 . . . . 5 (𝜑 → ((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) ∈ ℂ)
5028recnd 9947 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(sin‘𝑂)) ∈ ℂ)
5149, 50sqmuld 12882 . . . 4 (𝜑 → ((((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂)))↑2) = ((((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((abs‘(sin‘𝑂))↑2)))
52 2cnd 10970 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
53 2ne0 10990 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
5453a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ≠ 0)
5548, 52, 54sqdivd 12883 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋 · 𝑌) / 2)↑2) = (((𝑋 · 𝑌)↑2) / (2↑2)))
5648, 52, 54divrec2d 10684 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) / 2) = ((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)))
5756oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋 · 𝑌) / 2)↑2) = (((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌))↑2))
58 sq2 12822 . . . . . . . 8 (2↑2) = 4
5958a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑2) = 4)
6059oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋 · 𝑌)↑2) / (2↑2)) = (((𝑋 · 𝑌)↑2) / 4))
6155, 57, 603eqtr3d 2652 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌))↑2) = (((𝑋 · 𝑌)↑2) / 4))
6216, 24syl5eqel 2692 . . . . . . 7 (𝜑𝑂 ∈ ℝ)
6362resincld 14712 . . . . . 6 (𝜑 → (sin‘𝑂) ∈ ℝ)
64 absresq 13890 . . . . . 6 ((sin‘𝑂) ∈ ℝ → ((abs‘(sin‘𝑂))↑2) = ((sin‘𝑂)↑2))
6563, 64syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(sin‘𝑂))↑2) = ((sin‘𝑂)↑2))
6661, 65oveq12d 6567 . . . 4 (𝜑 → ((((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((abs‘(sin‘𝑂))↑2)) = ((((𝑋 · 𝑌)↑2) / 4) · ((sin‘𝑂)↑2)))
6748sqcld 12868 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌)↑2) ∈ ℂ)
6827sqcld 12868 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((sin‘𝑂)↑2) ∈ ℂ)
6967, 68mulcld 9939 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑋 · 𝑌)↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) ∈ ℂ)
70 4cn 10975 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
7170a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
72 heron.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 2)
738, 13readdcld 9948 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℝ)
74 heron.z . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑍 = (abs‘(𝐴𝐵))
7510, 4subcld 10271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
7675abscld 14023 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
7774, 76syl5eqel 2692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑍 ∈ ℝ)
7873, 77readdcld 9948 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℝ)
7978rehalfcld 11156 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 2) ∈ ℝ)
8072, 79syl5eqel 2692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
8180recnd 9947 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
8281, 46subcld 10271 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝑋) ∈ ℂ)
8381, 82mulcld 9939 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 · (𝑆𝑋)) ∈ ℂ)
8481, 47subcld 10271 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝑌) ∈ ℂ)
8577recnd 9947 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑍 ∈ ℂ)
8681, 85subcld 10271 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆𝑍) ∈ ℂ)
8784, 86mulcld 9939 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)) ∈ ℂ)
8883, 87mulcld 9939 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))) ∈ ℂ)
8971, 88mulcld 9939 . . . . . . 7 (𝜑 → (4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))) ∈ ℂ)
90 4ne0 10994 . . . . . . . 8 4 ≠ 0
9190a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 4 ≠ 0)
9252, 48sqmuld 12882 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) = ((2↑2) · ((𝑋 · 𝑌)↑2)))
9359oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2↑2) · ((𝑋 · 𝑌)↑2)) = (4 · ((𝑋 · 𝑌)↑2)))
9492, 93eqtr2d 2645 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (4 · ((𝑋 · 𝑌)↑2)) = ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2))
9594oveq1d 6564 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((4 · ((𝑋 · 𝑌)↑2)) · ((sin‘𝑂)↑2)) = (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)))
9671, 67, 68mulassd 9942 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((4 · ((𝑋 · 𝑌)↑2)) · ((sin‘𝑂)↑2)) = (4 · (((𝑋 · 𝑌)↑2) · ((sin‘𝑂)↑2))))
9752, 48mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · (𝑋 · 𝑌)) ∈ ℂ)
9897sqcld 12868 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) ∈ ℂ)
9998, 68mulcld 9939 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) ∈ ℂ)
10047, 85mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌 · 𝑍) ∈ ℂ)
10152, 100mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · (𝑌 · 𝑍)) ∈ ℂ)
102101sqcld 12868 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) ∈ ℂ)
10347sqcld 12868 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌↑2) ∈ ℂ)
10485sqcld 12868 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑍↑2) ∈ ℂ)
10546sqcld 12868 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
106104, 105subcld 10271 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)) ∈ ℂ)
107103, 106addcld 9938 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) ∈ ℂ)
108107sqcld 12868 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) ∈ ℂ)
109102, 108subcld 10271 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) ∈ ℂ)
11026coscld 14700 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (cos‘𝑂) ∈ ℂ)
111110sqcld 12868 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((cos‘𝑂)↑2) ∈ ℂ)
11298, 111mulcld 9939 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((cos‘𝑂)↑2)) ∈ ℂ)
113 sincossq 14745 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑂 ∈ ℂ → (((sin‘𝑂)↑2) + ((cos‘𝑂)↑2)) = 1)
11426, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((sin‘𝑂)↑2) + ((cos‘𝑂)↑2)) = 1)
115114oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · (((sin‘𝑂)↑2) + ((cos‘𝑂)↑2))) = (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · 1))
11698, 68, 111adddid 9943 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · (((sin‘𝑂)↑2) + ((cos‘𝑂)↑2))) = ((((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) + (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((cos‘𝑂)↑2))))
1171032timesd 11152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2 · (𝑌↑2)) = ((𝑌↑2) + (𝑌↑2)))
118103, 106, 103ppncand 10311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) + ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = ((𝑌↑2) + (𝑌↑2)))
119117, 118eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · (𝑌↑2)) = (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) + ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))))
1201062timesd 11152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2 · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = (((𝑍↑2) − (𝑋↑2)) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))
121103, 106, 106pnncand 10310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) − ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = (((𝑍↑2) − (𝑋↑2)) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))
122120, 121eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) − ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))))
123119, 122oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2 · (𝑌↑2)) · (2 · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) + ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) · (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) − ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))))
124 2t2e4 11054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 · 2) = 4
125124, 71syl5eqel 2692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2 · 2) ∈ ℂ)
126125, 103, 106mulassd 9942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((2 · 2) · (𝑌↑2)) · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = ((2 · 2) · ((𝑌↑2) · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))))
127125, 103mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((2 · 2) · (𝑌↑2)) ∈ ℂ)
128127, 104, 105subdid 10365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((2 · 2) · (𝑌↑2)) · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = ((((2 · 2) · (𝑌↑2)) · (𝑍↑2)) − (((2 · 2) · (𝑌↑2)) · (𝑋↑2))))
12952sqvald 12867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (2↑2) = (2 · 2))
13047, 85sqmuld 12882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑌 · 𝑍)↑2) = ((𝑌↑2) · (𝑍↑2)))
131129, 130oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((2↑2) · ((𝑌 · 𝑍)↑2)) = ((2 · 2) · ((𝑌↑2) · (𝑍↑2))))
13252, 100sqmuld 12882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) = ((2↑2) · ((𝑌 · 𝑍)↑2)))
133125, 103, 104mulassd 9942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((2 · 2) · (𝑌↑2)) · (𝑍↑2)) = ((2 · 2) · ((𝑌↑2) · (𝑍↑2))))
134131, 132, 1333eqtr4d 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) = (((2 · 2) · (𝑌↑2)) · (𝑍↑2)))
13546, 47sqmuld 12882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌)↑2) = ((𝑋↑2) · (𝑌↑2)))
136105, 103mulcomd 9940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((𝑋↑2) · (𝑌↑2)) = ((𝑌↑2) · (𝑋↑2)))
137135, 136eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌)↑2) = ((𝑌↑2) · (𝑋↑2)))
138129, 137oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((2↑2) · ((𝑋 · 𝑌)↑2)) = ((2 · 2) · ((𝑌↑2) · (𝑋↑2))))
139125, 103, 105mulassd 9942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((2 · 2) · (𝑌↑2)) · (𝑋↑2)) = ((2 · 2) · ((𝑌↑2) · (𝑋↑2))))
140138, 92, 1393eqtr4d 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) = (((2 · 2) · (𝑌↑2)) · (𝑋↑2)))
141134, 140oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2)) = ((((2 · 2) · (𝑌↑2)) · (𝑍↑2)) − (((2 · 2) · (𝑌↑2)) · (𝑋↑2))))
142128, 141eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((2 · 2) · (𝑌↑2)) · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2)))
14352, 52, 103, 106mul4d 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 · 2) · ((𝑌↑2) · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = ((2 · (𝑌↑2)) · (2 · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))))
144126, 142, 1433eqtr3d 2652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2)) = ((2 · (𝑌↑2)) · (2 · ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))))
145103, 106subcld 10271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) ∈ ℂ)
146 subsq 12834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) ∈ ℂ ∧ ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) ∈ ℂ) → ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) − (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) = ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) + ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) · (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) − ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))))
147107, 145, 146syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) − (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) = ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) + ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) · (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) − ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))))
148123, 144, 1473eqtr4d 2654 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2)) = ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) − (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)))
149148oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2))) = (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) − (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2))))
150102, 98nncand 10276 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2))) = ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2))
151145sqcld 12868 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) ∈ ℂ)
152102, 108, 151subsubd 10299 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − ((((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) − (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2))) = ((((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) + (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)))
153149, 150, 1523eqtr3d 2652 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) = ((((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) + (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)))
15498mulid1d 9936 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · 1) = ((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2))
155105, 103addcld 9938 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) ∈ ℂ)
15648, 110mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)) ∈ ℂ)
15752, 156mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))) ∈ ℂ)
158155, 157nncand 10276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))))) = (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))))
159103, 104subcld 10271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑌↑2) − (𝑍↑2)) ∈ ℂ)
160159, 105addcomd 10117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((𝑌↑2) − (𝑍↑2)) + (𝑋↑2)) = ((𝑋↑2) + ((𝑌↑2) − (𝑍↑2))))
161103, 104, 105subsubd 10299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = (((𝑌↑2) − (𝑍↑2)) + (𝑋↑2)))
162105, 103, 104addsubassd 10291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (𝑍↑2)) = ((𝑋↑2) + ((𝑌↑2) − (𝑍↑2))))
163160, 161, 1623eqtr4d 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (𝑍↑2)))
16418, 3, 9, 74, 16lawcos 24346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐴𝐶𝐵𝐶)) → (𝑍↑2) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))))
16510, 4, 5, 21, 19, 164syl32anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑍↑2) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂)))))
166165oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (𝑍↑2)) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))))))
167163, 166eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (((𝑋↑2) + (𝑌↑2)) − (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))))))
16852, 48, 110mulassd 9942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((2 · (𝑋 · 𝑌)) · (cos‘𝑂)) = (2 · ((𝑋 · 𝑌) · (cos‘𝑂))))
169158, 167, 1683eqtr4d 2654 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) = ((2 · (𝑋 · 𝑌)) · (cos‘𝑂)))
170169oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2) = (((2 · (𝑋 · 𝑌)) · (cos‘𝑂))↑2))
17197, 110sqmuld 12882 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌)) · (cos‘𝑂))↑2) = (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((cos‘𝑂)↑2)))
172170, 171eqtr2d 2645 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((cos‘𝑂)↑2)) = (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2))
173172oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) + (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((cos‘𝑂)↑2))) = ((((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) + (((𝑌↑2) − ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)))
174153, 154, 1733eqtr4d 2654 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · 1) = ((((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) + (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((cos‘𝑂)↑2))))
175115, 116, 1743eqtr3d 2652 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) + (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((cos‘𝑂)↑2))) = ((((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) + (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((cos‘𝑂)↑2))))
17699, 109, 112, 175addcan2ad 10121 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) = (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)))
177 subsq 12834 . . . . . . . . . . 11 (((2 · (𝑌 · 𝑍)) ∈ ℂ ∧ ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))) ∈ ℂ) → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) = (((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) · ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))))
178101, 107, 177syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍))↑2) − (((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))↑2)) = (((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) · ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))))
179103, 104addcld 9938 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) ∈ ℂ)
180101, 179, 105addsubassd 10291 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))) − (𝑋↑2)) = ((2 · (𝑌 · 𝑍)) + (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (𝑋↑2))))
181103, 104, 105addsubassd 10291 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (𝑋↑2)) = ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))
182181oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) + (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (𝑋↑2))) = ((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))))
183180, 182eqtr2d 2645 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = (((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))) − (𝑋↑2)))
184 binom2 12841 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑍 ∈ ℂ) → ((𝑌 + 𝑍)↑2) = (((𝑌↑2) + (2 · (𝑌 · 𝑍))) + (𝑍↑2)))
18547, 85, 184syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑌 + 𝑍)↑2) = (((𝑌↑2) + (2 · (𝑌 · 𝑍))) + (𝑍↑2)))
186103, 101, 104add32d 10142 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑌↑2) + (2 · (𝑌 · 𝑍))) + (𝑍↑2)) = (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) + (2 · (𝑌 · 𝑍))))
187179, 101addcomd 10117 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) + (2 · (𝑌 · 𝑍))) = ((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))))
188185, 186, 1873eqtrd 2648 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑌 + 𝑍)↑2) = ((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))))
189188oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑌 + 𝑍)↑2) − (𝑋↑2)) = (((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))) − (𝑋↑2)))
19047, 85addcld 9938 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ ℂ)
191 subsq 12834 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑌 + 𝑍) ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ) → (((𝑌 + 𝑍)↑2) − (𝑋↑2)) = (((𝑌 + 𝑍) + 𝑋) · ((𝑌 + 𝑍) − 𝑋)))
192190, 46, 191syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑌 + 𝑍)↑2) − (𝑋↑2)) = (((𝑌 + 𝑍) + 𝑋) · ((𝑌 + 𝑍) − 𝑋)))
19372oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · 𝑆) = (2 · (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 2))
19478recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) ∈ ℂ)
195194, 52, 54divcan2d 10682 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) / 2)) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
196193, 195syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 · 𝑆) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
19746, 47, 85addassd 9941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
19846, 190addcomd 10117 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) = ((𝑌 + 𝑍) + 𝑋))
199196, 197, 1983eqtrd 2648 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · 𝑆) = ((𝑌 + 𝑍) + 𝑋))
20052, 81, 46subdid 10365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 · (𝑆𝑋)) = ((2 · 𝑆) − (2 · 𝑋)))
201196, 197eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · 𝑆) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
202462timesd 11152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · 𝑋) = (𝑋 + 𝑋))
203201, 202oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2 · 𝑆) − (2 · 𝑋)) = ((𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) − (𝑋 + 𝑋)))
20446, 190, 46pnpcand 10308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) − (𝑋 + 𝑋)) = ((𝑌 + 𝑍) − 𝑋))
205200, 203, 2043eqtrd 2648 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · (𝑆𝑋)) = ((𝑌 + 𝑍) − 𝑋))
206199, 205oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · 𝑆) · (2 · (𝑆𝑋))) = (((𝑌 + 𝑍) + 𝑋) · ((𝑌 + 𝑍) − 𝑋)))
207192, 206eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑌 + 𝑍)↑2) − (𝑋↑2)) = ((2 · 𝑆) · (2 · (𝑆𝑋))))
20852, 81, 52, 82mul4d 10127 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · 𝑆) · (2 · (𝑆𝑋))) = ((2 · 2) · (𝑆 · (𝑆𝑋))))
209124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 · 2) = 4)
210209oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · 2) · (𝑆 · (𝑆𝑋))) = (4 · (𝑆 · (𝑆𝑋))))
211207, 208, 2103eqtrd 2648 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑌 + 𝑍)↑2) − (𝑋↑2)) = (4 · (𝑆 · (𝑆𝑋))))
212183, 189, 2113eqtr2d 2650 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = (4 · (𝑆 · (𝑆𝑋))))
213101, 179subcld 10271 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))) ∈ ℂ)
214213, 105addcomd 10117 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))) + (𝑋↑2)) = ((𝑋↑2) + ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + (𝑍↑2)))))
215181oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (𝑋↑2))) = ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))))
216101, 179, 105subsubd 10299 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (𝑋↑2))) = (((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))) + (𝑋↑2)))
217215, 216eqtr3d 2646 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = (((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + (𝑍↑2))) + (𝑋↑2)))
218105, 179, 101subsub2d 10300 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑋↑2) − (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (2 · (𝑌 · 𝑍)))) = ((𝑋↑2) + ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + (𝑍↑2)))))
219214, 217, 2183eqtr4d 2654 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = ((𝑋↑2) − (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (2 · (𝑌 · 𝑍)))))
220103, 104, 101addsubassd 10291 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (2 · (𝑌 · 𝑍))) = ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (2 · (𝑌 · 𝑍)))))
221104, 101subcld 10271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑍↑2) − (2 · (𝑌 · 𝑍))) ∈ ℂ)
222103, 221addcomd 10117 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (2 · (𝑌 · 𝑍)))) = (((𝑍↑2) − (2 · (𝑌 · 𝑍))) + (𝑌↑2)))
22347, 85mulcomd 9940 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑌 · 𝑍) = (𝑍 · 𝑌))
224223oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · (𝑌 · 𝑍)) = (2 · (𝑍 · 𝑌)))
225224oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑍↑2) − (2 · (𝑌 · 𝑍))) = ((𝑍↑2) − (2 · (𝑍 · 𝑌))))
226225oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝑍↑2) − (2 · (𝑌 · 𝑍))) + (𝑌↑2)) = (((𝑍↑2) − (2 · (𝑍 · 𝑌))) + (𝑌↑2)))
227220, 222, 2263eqtrd 2648 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (2 · (𝑌 · 𝑍))) = (((𝑍↑2) − (2 · (𝑍 · 𝑌))) + (𝑌↑2)))
228 binom2sub 12843 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑍 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → ((𝑍𝑌)↑2) = (((𝑍↑2) − (2 · (𝑍 · 𝑌))) + (𝑌↑2)))
22985, 47, 228syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑍𝑌)↑2) = (((𝑍↑2) − (2 · (𝑍 · 𝑌))) + (𝑌↑2)))
230227, 229eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (2 · (𝑌 · 𝑍))) = ((𝑍𝑌)↑2))
231230oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑋↑2) − (((𝑌↑2) + (𝑍↑2)) − (2 · (𝑌 · 𝑍)))) = ((𝑋↑2) − ((𝑍𝑌)↑2)))
23285, 47subcld 10271 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑍𝑌) ∈ ℂ)
233 subsq 12834 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑍𝑌) ∈ ℂ) → ((𝑋↑2) − ((𝑍𝑌)↑2)) = ((𝑋 + (𝑍𝑌)) · (𝑋 − (𝑍𝑌))))
23446, 232, 233syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑋↑2) − ((𝑍𝑌)↑2)) = ((𝑋 + (𝑍𝑌)) · (𝑋 − (𝑍𝑌))))
23552, 81, 47subdid 10365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 · (𝑆𝑌)) = ((2 · 𝑆) − (2 · 𝑌)))
23646, 47, 85add32d 10142 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = ((𝑋 + 𝑍) + 𝑌))
237196, 236eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · 𝑆) = ((𝑋 + 𝑍) + 𝑌))
238472timesd 11152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · 𝑌) = (𝑌 + 𝑌))
239237, 238oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2 · 𝑆) − (2 · 𝑌)) = (((𝑋 + 𝑍) + 𝑌) − (𝑌 + 𝑌)))
24046, 85addcld 9938 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑋 + 𝑍) ∈ ℂ)
241240, 47, 47pnpcan2d 10309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑍) + 𝑌) − (𝑌 + 𝑌)) = ((𝑋 + 𝑍) − 𝑌))
24246, 85, 47addsubassd 10291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑍) − 𝑌) = (𝑋 + (𝑍𝑌)))
243241, 242eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑍) + 𝑌) − (𝑌 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑍𝑌)))
244235, 239, 2433eqtrd 2648 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · (𝑆𝑌)) = (𝑋 + (𝑍𝑌)))
24552, 81, 85subdid 10365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 · (𝑆𝑍)) = ((2 · 𝑆) − (2 · 𝑍)))
246852timesd 11152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · 𝑍) = (𝑍 + 𝑍))
247196, 246oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2 · 𝑆) − (2 · 𝑍)) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) − (𝑍 + 𝑍)))
24846, 47addcld 9938 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ ℂ)
249248, 85, 85pnpcan2d 10309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) − (𝑍 + 𝑍)) = ((𝑋 + 𝑌) − 𝑍))
25046, 85, 47subsub3d 10301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑋 − (𝑍𝑌)) = ((𝑋 + 𝑌) − 𝑍))
251249, 250eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) − (𝑍 + 𝑍)) = (𝑋 − (𝑍𝑌)))
252245, 247, 2513eqtrd 2648 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (2 · (𝑆𝑍)) = (𝑋 − (𝑍𝑌)))
253244, 252oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((2 · (𝑆𝑌)) · (2 · (𝑆𝑍))) = ((𝑋 + (𝑍𝑌)) · (𝑋 − (𝑍𝑌))))
254234, 253eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑋↑2) − ((𝑍𝑌)↑2)) = ((2 · (𝑆𝑌)) · (2 · (𝑆𝑍))))
25552, 84, 52, 86mul4d 10127 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · (𝑆𝑌)) · (2 · (𝑆𝑍))) = ((2 · 2) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))
256209oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((2 · 2) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))) = (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))
257254, 255, 2563eqtrd 2648 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑋↑2) − ((𝑍𝑌)↑2)) = (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))
258219, 231, 2573eqtrd 2648 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) = (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))
259212, 258oveq12d 6567 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((2 · (𝑌 · 𝑍)) + ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2)))) · ((2 · (𝑌 · 𝑍)) − ((𝑌↑2) + ((𝑍↑2) − (𝑋↑2))))) = ((4 · (𝑆 · (𝑆𝑋))) · (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))))
260176, 178, 2593eqtrd 2648 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) = ((4 · (𝑆 · (𝑆𝑋))) · (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))))
26171, 87mulcld 9939 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))) ∈ ℂ)
26271, 83, 261mulassd 9942 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((4 · (𝑆 · (𝑆𝑋))) · (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))) = (4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))))
26383, 71, 87mul12d 10124 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))) = (4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))))
264263oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · (4 · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))) = (4 · (4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))))
265260, 262, 2643eqtrd 2648 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · (𝑋 · 𝑌))↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) = (4 · (4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))))
26695, 96, 2653eqtr3d 2652 . . . . . . 7 (𝜑 → (4 · (((𝑋 · 𝑌)↑2) · ((sin‘𝑂)↑2))) = (4 · (4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))))
26769, 89, 71, 91, 266mulcanad 10541 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑋 · 𝑌)↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) = (4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))))
268267oveq1d 6564 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑋 · 𝑌)↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) / 4) = ((4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))) / 4))
26967, 68, 71, 91div23d 10717 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑋 · 𝑌)↑2) · ((sin‘𝑂)↑2)) / 4) = ((((𝑋 · 𝑌)↑2) / 4) · ((sin‘𝑂)↑2)))
27080, 8resubcld 10337 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝑋) ∈ ℝ)
27180, 270remulcld 9949 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆 · (𝑆𝑋)) ∈ ℝ)
27280, 13resubcld 10337 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝑌) ∈ ℝ)
27380, 77resubcld 10337 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝑍) ∈ ℝ)
274272, 273remulcld 9949 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)) ∈ ℝ)
275271, 274remulcld 9949 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))) ∈ ℝ)
276275recnd 9947 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))) ∈ ℂ)
277276, 71, 91divcan3d 10685 . . . . 5 (𝜑 → ((4 · ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))) / 4) = ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))
278268, 269, 2773eqtr3d 2652 . . . 4 (𝜑 → ((((𝑋 · 𝑌)↑2) / 4) · ((sin‘𝑂)↑2)) = ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))
27951, 66, 2783eqtrd 2648 . . 3 (𝜑 → ((((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂)))↑2) = ((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍))))
280279fveq2d 6107 . 2 (𝜑 → (√‘((((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂)))↑2)) = (√‘((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))))
28143, 280eqtr3d 2646 1 (𝜑 → (((1 / 2) · (𝑋 · 𝑌)) · (abs‘(sin‘𝑂))) = (√‘((𝑆 · (𝑆𝑋)) · ((𝑆𝑌) · (𝑆𝑍)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∖ cdif 3537  {csn 4125   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  2c2 10947  4c4 10949  (,]cioc 12047  ↑cexp 12722  ℑcim 13686  √csqrt 13821  abscabs 13822  sincsin 14633  cosccos 14634  πcpi 14636  logclog 24105 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107 This theorem is referenced by: (None)
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