Theorem ltleii 10039

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
ltlei.1	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltleii	⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Proof of Theorem ltleii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlei.1	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
2		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4	2, 3	ltlei 10038	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ℝcr 9814   < clt 9953   ≤ cle 9954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959

This theorem is referenced by:  0le1  10430  ledivp1i  10828  ltdivp1i  10829  1le2  11118  1le3  11121  halfge0  11126  decleh  11417  declecOLD  11420  uzuzle23  11605  fz0to4untppr  12311  fzo0to42pr  12422  faclbnd4lem1  12942  4bc2eq6  12978  sqrt9  13862  sqrt2gt1lt2  13863  absrdbnd  13929  sqrtpclii  13970  geo2lim  14445  0.999...  14451  0.999...OLD  14452  ef01bndlem  14753  sin01bnd  14754  cos01bnd  14755  cos2bnd  14757  rpnnen2lem3  14784  rpnnen2lem4  14785  rpnnen2lem9  14790  rpnnen2lem12  14793  flodddiv4  14975  bitsp1o  14993  strlemor1  15796  strleun  15799  elii1  22542  htpycc  22587  pcoval1  22621  pco0  22622  pcoval2  22624  pcocn  22625  pcohtpylem  22627  pcopt  22630  pcopt2  22631  pcoass  22632  pcorevlem  22634  vitalilem4  23186  vitali  23188  mbfi1fseqlem6  23293  dveflem  23546  sinhalfpilem  24019  sincosq1lem  24053  sincos4thpi  24069  sincos6thpi  24071  tanregt0  24089  efif1olem4  24095  relogrn  24112  argregt0  24160  argrege0  24161  logneg2  24165  heron  24365  asin1  24421  reasinsin  24423  log2cnv  24471  log2tlbnd  24472  log2ub  24476  harmonicbnd3  24534  ppiublem1  24727  ppiub  24729  bposlem3  24811  bposlem4  24812  bposlem5  24813  bposlem7  24815  bposlem8  24816  bposlem9  24817  lgsdir2lem1  24850  chebbnd1lem3  24960  dchrvmasumlema  24989  logdivsum  25022  mulog2sumlem2  25024  pntpbnd1a  25074  pntpbnd2  25076  pntlemk  25095  istrkg3ld  25160  axlowdimlem16  25637  axlowdimlem17  25638  axlowdim  25641  usgraex0elv  25924  usgraex1elv  25925  usgraex2elv  25926  usgraex3elv  25927  constr3pthlem3  26185  4cycl4v4e  26194  4cycl4dv4e  26196  konigsberg  26514  extwwlkfablem2  26605  ex-fl  26696  ex-sqrt  26703  ex-gcd  26706  normlem6  27356  sqsscirc1  29282  logi  30873  dnizeq0  31635  cnndvlem1  31698  bj-pinftyccb  32285  bj-pinftynminfty  32291  tan2h  32571  fdc  32711  jm2.20nn  36582  areaquad  36821  sineq0ALT  38195  halffl  38451  itgsin0pilem1  38841  itgsinexplem1  38845  wallispilem2  38959  wallispilem4  38961  stirlinglem15  38981  stirlingr  38983  fourierdlem62  39061  fourierdlem77  39076  fourierdlem102  39101  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  fourierdlem111  39110  fourierdlem112  39111  fourierdlem114  39113  sqwvfoura  39121  sqwvfourb  39122  fourierswlem  39123  fouriersw  39124  etransclem23  39150  etransclem46  39173  smfmullem4  39679  fmtnoprmfac2lem1  40016  fmtno4prmfac  40022  31prm  40050  mod42tp1mod8  40057  nnsum3primes4  40204  nnsum3primesgbe  40208  nnsum4primeseven  40216  nnsum4primesevenALTV  40217  wtgoldbnnsum4prm  40218  bgoldbnnsum3prm  40220  tgblthelfgott  40229  tgblthelfgottOLD  40236  upgr4cycl4dv4e  41352  konigsbergiedgw  41416  konigsbergiedgwOLD  41417  konigsberglem1  41422  konigsberglem2  41423  konigsberglem3  41424