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Theorem chebbnd1lem3 24960
 Description: Lemma for chebbnd1 24961: get a lower bound on π(𝑁) / (𝑁 / log(𝑁)) that is independent of 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
chebbnd1lem2.1 𝑀 = (⌊‘(𝑁 / 2))
Assertion
Ref Expression
chebbnd1lem3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))

Proof of Theorem chebbnd1lem3
StepHypRef Expression
1 2rp 11713 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
2 relogcl 24126 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 (log‘2) ∈ ℝ
4 1re 9918 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
5 2re 10967 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
6 ere 14658 . . . . . . 7 e ∈ ℝ
75, 6remulcli 9933 . . . . . 6 (2 · e) ∈ ℝ
8 2pos 10989 . . . . . . . 8 0 < 2
9 epos 14774 . . . . . . . 8 0 < e
105, 6, 8, 9mulgt0ii 10049 . . . . . . 7 0 < (2 · e)
117, 10gt0ne0ii 10443 . . . . . 6 (2 · e) ≠ 0
124, 7, 11redivcli 10671 . . . . 5 (1 / (2 · e)) ∈ ℝ
133, 12resubcli 10222 . . . 4 ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ
14 2ne0 10990 . . . 4 2 ≠ 0
1513, 5, 14redivcli 10671 . . 3 (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) ∈ ℝ
1615a1i 11 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) ∈ ℝ)
175a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
18 8re 10982 . . . . . . . 8 8 ∈ ℝ
1918a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 8 ∈ ℝ)
20 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
21 2lt8 11097 . . . . . . . . 9 2 < 8
225, 18, 21ltleii 10039 . . . . . . . 8 2 ≤ 8
2322a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 8)
24 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 8 ≤ 𝑁)
2517, 19, 20, 23, 24letrd 10073 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≤ 𝑁)
26 ppinncl 24700 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ∈ ℕ)
2725, 26syldan 486 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ∈ ℕ)
2827nnred 10912 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ∈ ℝ)
29 chebbnd1lem2.1 . . . . . . . . . 10 𝑀 = (⌊‘(𝑁 / 2))
30 rehalfcl 11135 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
3130adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
3231flcld 12461 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
3329, 32syl5eqel 2692 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
3433zred 11358 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
35 remulcl 9900 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
365, 34, 35sylancr 694 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
374a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
38 1lt2 11071 . . . . . . . . 9 1 < 2
3938a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 < 2)
40 2t1e2 11053 . . . . . . . . 9 (2 · 1) = 2
41 4nn 11064 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℕ
42 4z 11288 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℤ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ∈ ℤ)
44 4t2e8 11058 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (4 · 2) = 8
4544, 24syl5eqbr 4618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (4 · 2) ≤ 𝑁)
46 4re 10974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 ∈ ℝ
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ∈ ℝ)
488a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 2)
49 lemuldiv 10782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((4 · 2) ≤ 𝑁 ↔ 4 ≤ (𝑁 / 2)))
5047, 20, 17, 48, 49syl112anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((4 · 2) ≤ 𝑁 ↔ 4 ≤ (𝑁 / 2)))
5145, 50mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ (𝑁 / 2))
52 flge 12468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℤ) → (4 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
5331, 42, 52sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (4 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
5451, 53mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
5554, 29syl6breqr 4625 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ 𝑀)
56 eluz2 11569 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (ℤ‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑀))
5743, 33, 55, 56syl3anbrc 1239 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ (ℤ‘4))
58 eluznn 11634 . . . . . . . . . . . 12 ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘4)) → 𝑀 ∈ ℕ)
5941, 57, 58sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
6059nnge1d 10940 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑀)
61 lemul2 10755 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (1 ≤ 𝑀 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑀)))
6237, 34, 17, 48, 61syl112anc 1322 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (1 ≤ 𝑀 ↔ (2 · 1) ≤ (2 · 𝑀)))
6360, 62mpbid 221 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑀))
6440, 63syl5eqbrr 4619 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≤ (2 · 𝑀))
6537, 17, 36, 39, 64ltletrd 10076 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 < (2 · 𝑀))
6636, 65rplogcld 24179 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℝ+)
6766rpred 11748 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
68 2nn 11062 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
69 nnmulcl 10920 . . . . . 6 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
7068, 59, 69sylancr 694 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
7167, 70nndivred 10946 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
7228, 71remulcld 9949 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ)
73 rehalfcl 11135 . . 3 (((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ → (((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) ∈ ℝ)
7472, 73syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) ∈ ℝ)
75 0red 9920 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
76 8pos 10998 . . . . . . . 8 0 < 8
7776a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 8)
7875, 19, 20, 77, 24ltletrd 10076 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁)
7920, 78elrpd 11745 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
8079relogcld 24173 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
8180, 79rerpdivcld 11779 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
8228, 81remulcld 9949 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
8313a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ)
84 ppinncl 24700 . . . . . . 7 (((2 · 𝑀) ∈ ℝ ∧ 2 ≤ (2 · 𝑀)) → (π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
8536, 64, 84syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
8685nnred 10912 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
8786, 71remulcld 9949 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ)
88 remulcl 9900 . . . . . . . 8 ((((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑀) ∈ ℝ) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
8913, 36, 88sylancr 694 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
90 4pos 10993 . . . . . . . . . . 11 0 < 4
9146, 90elrpii 11711 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ+
92 rpexpcl 12741 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℤ) → (4↑𝑀) ∈ ℝ+)
9391, 33, 92sylancr 694 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (4↑𝑀) ∈ ℝ+)
9459nnrpd 11746 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ+)
9593, 94rpdivcld 11765 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((4↑𝑀) / 𝑀) ∈ ℝ+)
9695relogcld 24173 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)) ∈ ℝ)
9786, 67remulcld 9949 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) ∈ ℝ)
9894relogcld 24173 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘𝑀) ∈ ℝ)
99 epr 14775 . . . . . . . . . 10 e ∈ ℝ+
100 rerpdivcl 11737 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ+) → (𝑀 / e) ∈ ℝ)
10134, 99, 100sylancl 693 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑀 / e) ∈ ℝ)
10293relogcld 24173 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(4↑𝑀)) ∈ ℝ)
1036a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ∈ ℝ)
104 egt2lt3 14773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 < e ∧ e < 3)
105104simpri 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 e < 3
106 3lt4 11074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 < 4
107 3re 10971 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 ∈ ℝ
1086, 107, 46lttri 10042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((e < 3 ∧ 3 < 4) → e < 4)
109105, 106, 108mp2an 704 . . . . . . . . . . . . . . . 16 e < 4
110109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e < 4)
111103, 47, 34, 110, 55ltletrd 10076 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e < 𝑀)
112103, 34, 111ltled 10064 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ≤ 𝑀)
1136leidi 10441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 e ≤ e
114 logdivlt 24171 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((e ∈ ℝ ∧ e ≤ e) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑀)) → (e < 𝑀 ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < ((log‘e) / e)))
1156, 113, 114mpanl12 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑀) → (e < 𝑀 ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < ((log‘e) / e)))
11634, 112, 115syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (e < 𝑀 ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < ((log‘e) / e)))
117111, 116mpbid 221 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑀) / 𝑀) < ((log‘e) / e))
118 loge 24137 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘e) = 1
119118oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . 13 ((log‘e) / e) = (1 / e)
120117, 119syl6breq 4624 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑀) / 𝑀) < (1 / e))
1216, 9pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . 14 (e ∈ ℝ ∧ 0 < e)
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (e ∈ ℝ ∧ 0 < e))
12359nngt0d 10941 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑀)
12434, 123jca 553 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))
125 lt2mul2div 10780 . . . . . . . . . . . . 13 ((((log‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (e ∈ ℝ ∧ 0 < e)) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))) → (((log‘𝑀) · e) < (1 · 𝑀) ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < (1 / e)))
12698, 122, 37, 124, 125syl22anc 1319 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘𝑀) · e) < (1 · 𝑀) ↔ ((log‘𝑀) / 𝑀) < (1 / e)))
127120, 126mpbird 246 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑀) · e) < (1 · 𝑀))
12834recnd 9947 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℂ)
129128mulid2d 9937 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (1 · 𝑀) = 𝑀)
130127, 129breqtrd 4609 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑀) · e) < 𝑀)
131 ltmuldiv 10775 . . . . . . . . . . 11 (((log‘𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (e ∈ ℝ ∧ 0 < e)) → (((log‘𝑀) · e) < 𝑀 ↔ (log‘𝑀) < (𝑀 / e)))
13298, 34, 122, 131syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘𝑀) · e) < 𝑀 ↔ (log‘𝑀) < (𝑀 / e)))
133130, 132mpbid 221 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘𝑀) < (𝑀 / e))
13498, 101, 102, 133ltsub2dd 10519 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(4↑𝑀)) − (𝑀 / e)) < ((log‘(4↑𝑀)) − (log‘𝑀)))
1353recni 9931 . . . . . . . . . . 11 (log‘2) ∈ ℂ
136135a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘2) ∈ ℂ)
13712recni 9931 . . . . . . . . . . 11 (1 / (2 · e)) ∈ ℂ
138137a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (1 / (2 · e)) ∈ ℂ)
13970nnrpd 11746 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ+)
140139rpcnd 11750 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
141136, 138, 140subdird 10366 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) = (((log‘2) · (2 · 𝑀)) − ((1 / (2 · e)) · (2 · 𝑀))))
142136, 140mulcomd 9940 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) · (2 · 𝑀)) = ((2 · 𝑀) · (log‘2)))
143 2z 11286 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℤ
144 zmulcl 11303 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (2 · 𝑀) ∈ ℤ)
145143, 33, 144sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℤ)
146 relogexp 24146 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2 · 𝑀) ∈ ℤ) → (log‘(2↑(2 · 𝑀))) = ((2 · 𝑀) · (log‘2)))
1471, 145, 146sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2↑(2 · 𝑀))) = ((2 · 𝑀) · (log‘2)))
148 2cnd 10970 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℂ)
14959nnnn0d 11228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
150 2nn0 11186 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℕ0
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℕ0)
152148, 149, 151expmuld 12873 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2↑(2 · 𝑀)) = ((2↑2)↑𝑀))
153 sq2 12822 . . . . . . . . . . . . . 14 (2↑2) = 4
154153oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . 13 ((2↑2)↑𝑀) = (4↑𝑀)
155152, 154syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2↑(2 · 𝑀)) = (4↑𝑀))
156155fveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2↑(2 · 𝑀))) = (log‘(4↑𝑀)))
157142, 147, 1563eqtr2d 2650 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) · (2 · 𝑀)) = (log‘(4↑𝑀)))
1587recni 9931 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · e) ∈ ℂ
159158a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · e) ∈ ℂ)
16011a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · e) ≠ 0)
161140, 159, 160divrec2d 10684 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑀) / (2 · e)) = ((1 / (2 · e)) · (2 · 𝑀)))
1626recni 9931 . . . . . . . . . . . . 13 e ∈ ℂ
163162a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ∈ ℂ)
1646, 9gt0ne0ii 10443 . . . . . . . . . . . . 13 e ≠ 0
165164a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ≠ 0)
16614a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≠ 0)
167128, 163, 148, 165, 166divcan5d 10706 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑀) / (2 · e)) = (𝑀 / e))
168161, 167eqtr3d 2646 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((1 / (2 · e)) · (2 · 𝑀)) = (𝑀 / e))
169157, 168oveq12d 6567 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) · (2 · 𝑀)) − ((1 / (2 · e)) · (2 · 𝑀))) = ((log‘(4↑𝑀)) − (𝑀 / e)))
170141, 169eqtrd 2644 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) = ((log‘(4↑𝑀)) − (𝑀 / e)))
17193, 94relogdivd 24176 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)) = ((log‘(4↑𝑀)) − (log‘𝑀)))
172134, 170, 1713brtr4d 4615 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) < (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)))
173 eqid 2610 . . . . . . . . 9 if((2 · 𝑀) ≤ ((2 · 𝑀)C𝑀), (2 · 𝑀), ((2 · 𝑀)C𝑀)) = if((2 · 𝑀) ≤ ((2 · 𝑀)C𝑀), (2 · 𝑀), ((2 · 𝑀)C𝑀))
174173chebbnd1lem1 24958 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (ℤ‘4) → (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)) < ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))))
17557, 174syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘((4↑𝑀) / 𝑀)) < ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))))
17689, 96, 97, 172, 175lttrd 10077 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) < ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))))
17783, 97, 139ltmuldivd 11795 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((((log‘2) − (1 / (2 · e))) · (2 · 𝑀)) < ((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) ↔ ((log‘2) − (1 / (2 · e))) < (((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) / (2 · 𝑀))))
178176, 177mpbid 221 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) − (1 / (2 · e))) < (((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) / (2 · 𝑀)))
17986recnd 9947 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
18066rpcnd 11750 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
181139rpcnne0d 11757 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑀) ≠ 0))
182 divass 10582 . . . . . 6 (((π‘(2 · 𝑀)) ∈ ℂ ∧ (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑀) ≠ 0)) → (((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) / (2 · 𝑀)) = ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
183179, 180, 181, 182syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((π‘(2 · 𝑀)) · (log‘(2 · 𝑀))) / (2 · 𝑀)) = ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
184178, 183breqtrd 4609 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) − (1 / (2 · e))) < ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
185 flle 12462 . . . . . . . . 9 ((𝑁 / 2) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑁 / 2)) ≤ (𝑁 / 2))
18631, 185syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 2)) ≤ (𝑁 / 2))
18729, 186syl5eqbr 4618 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁 / 2))
188 lemuldiv2 10783 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑀) ≤ 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 / 2)))
18934, 20, 17, 48, 188syl112anc 1322 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑀) ≤ 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 / 2)))
190187, 189mpbird 246 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ≤ 𝑁)
191 ppiwordi 24688 . . . . . 6 (((2 · 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ≤ (π𝑁))
19236, 20, 190, 191syl3anc 1318 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π‘(2 · 𝑀)) ≤ (π𝑁))
19366, 139rpdivcld 11765 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ+)
19486, 28, 193lemul1d 11791 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘(2 · 𝑀)) ≤ (π𝑁) ↔ ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ≤ ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)))))
195192, 194mpbid 221 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π‘(2 · 𝑀)) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ≤ ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
19683, 87, 72, 184, 195ltletrd 10076 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘2) − (1 / (2 · e))) < ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))))
197 ltdiv1 10766 . . . 4 ((((log‘2) − (1 / (2 · e))) ∈ ℝ ∧ ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) < ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ↔ (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < (((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2)))
19883, 72, 17, 48, 197syl112anc 1322 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) < ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ↔ (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < (((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2)))
199196, 198mpbid 221 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < (((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2))
20029chebbnd1lem2 24959 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
201 remulcl 9900 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ) → (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
2025, 81, 201sylancr 694 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
20327nngt0d 10941 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < (π𝑁))
204 ltmul2 10753 . . . . . 6 ((((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ ∧ (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((π𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (π𝑁))) → (((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ↔ ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < ((π𝑁) · (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))))
20571, 202, 28, 203, 204syl112anc 1322 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ↔ ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < ((π𝑁) · (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))))
206200, 205mpbid 221 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < ((π𝑁) · (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁))))
20728recnd 9947 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ∈ ℂ)
20881recnd 9947 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℂ)
209207, 148, 208mul12d 10124 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π𝑁) · (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁))) = (2 · ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁))))
210206, 209breqtrd 4609 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < (2 · ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁))))
211 ltdivmul 10777 . . . 4 ((((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) ∈ ℝ ∧ ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) < ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ↔ ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < (2 · ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))))
21272, 82, 17, 48, 211syl112anc 1322 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) < ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ↔ ((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) < (2 · ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))))
213210, 212mpbird 246 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((π𝑁) · ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀))) / 2) < ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
21416, 74, 82, 199, 213lttrd 10077 1 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘2) − (1 / (2 · e))) / 2) < ((π𝑁) · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ifcif 4036   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  8c8 10953  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ℝ+crp 11708  ⌊cfl 12453  ↑cexp 12722  Ccbc 12951  eceu 14632  logclog 24105  πcppi 24620 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-e 14638  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-pc 15380  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-ppi 24626 This theorem is referenced by:  chebbnd1  24961
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