MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4nn 11064
Description: 4 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
4nn 4 ∈ ℕ

Proof of Theorem 4nn
StepHypRef Expression
1 df-4 10958 . 2 4 = (3 + 1)
2 3nn 11063 . . 3 3 ∈ ℕ
3 peano2nn 10909 . . 3 (3 ∈ ℕ → (3 + 1) ∈ ℕ)
42, 3ax-mp 5 . 2 (3 + 1) ∈ ℕ
51, 4eqeltri 2684 1 4 ∈ ℕ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1977  (class class class)co 6549  1c1 9816   + caddc 9818  cn 10897  3c3 10948  4c4 10949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-1cn 9873
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958
This theorem is referenced by:  5nn  11065  4nn0  11188  4z  11288  fldiv4p1lem1div2  12498  fldiv4lem1div2  12500  iexpcyc  12831  fsumcube  14630  ef01bndlem  14753  flodddiv4  14975  6lcm4e12  15167  2expltfac  15637  8nprm  15656  37prm  15666  43prm  15667  83prm  15668  139prm  15669  631prm  15672  prmo4  15673  1259prm  15681  2503lem2  15683  starvndx  15827  starvid  15828  ressstarv  15830  srngfn  15831  homndx  15897  homid  15898  resshom  15901  prdsvalstr  15936  oppchomfval  16197  oppcbas  16201  rescco  16315  catstr  16440  lt6abl  18119  pcoass  22632  minveclem3  23008  iblitg  23341  dveflem  23546  tan4thpi  24070  atan1  24455  log2tlbnd  24472  log2ub  24476  bclbnd  24805  bpos1  24808  bposlem6  24814  bposlem7  24815  bposlem8  24816  bposlem9  24817  gausslemma2dlem4  24894  m1lgs  24913  2lgslem1a  24916  2lgslem3a  24921  2lgslem3b  24922  2lgslem3c  24923  2lgslem3d  24924  chebbnd1lem1  24958  chebbnd1lem2  24959  chebbnd1lem3  24960  pntibndlem1  25078  pntibndlem2  25080  pntibndlem3  25081  pntlema  25085  pntlemb  25086  pntlemg  25087  pntlemf  25094  4cycl4dv  26195  fib5  29794  rmydioph  36599  rmxdioph  36601  expdiophlem2  36607  inductionexd  37473  amgm4d  37525  257prm  40011  fmtno4sqrt  40021  fmtno4prmfac  40022  fmtno4prmfac193  40023  fmtno5nprm  40033  139prmALT  40049  mod42tp1mod8  40057  wtgoldbnnsum4prm  40218  bgoldbachlt  40227  tgblthelfgott  40229  bgoldbachltOLD  40234  tgblthelfgottOLD  40236  upgr4cycl4dv4e  41352
  Copyright terms: Public domain W3C validator