MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpcnne0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpcnne0d 11757
Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rpcnne0d (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
21rpcnd 11750 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
31rpne0d 11753 . 2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
42, 3jca 553 1 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 1977  wne 2780  cc 9813  0cc0 9815  +crp 11708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-rp 11709
This theorem is referenced by:  expcnv  14435  mertenslem1  14455  divgcdcoprm0  15217  ovolscalem1  23088  aalioulem2  23892  aalioulem3  23893  dvsqrt  24283  cxpcn3lem  24288  relogbval  24310  relogbcl  24311  nnlogbexp  24319  divsqrtsumlem  24506  logexprlim  24750  2lgslem3b  24922  2lgslem3c  24923  2lgslem3d  24924  chebbnd1lem3  24960  chebbnd1  24961  chtppilimlem1  24962  chtppilimlem2  24963  chebbnd2  24966  chpchtlim  24968  chpo1ub  24969  rplogsumlem1  24973  rplogsumlem2  24974  rpvmasumlem  24976  dchrvmasumlem1  24984  dchrvmasum2lem  24985  dchrvmasumlem2  24987  dchrisum0fno1  25000  dchrisum0lem1b  25004  dchrisum0lem1  25005  dchrisum0lem2a  25006  dchrisum0lem2  25007  dchrisum0lem3  25008  rplogsum  25016  mulogsum  25021  mulog2sumlem1  25023  selberglem1  25034  pntrmax  25053  pntpbnd1a  25074  pntibndlem2  25080  pntlemc  25084  pntlemb  25086  pntlemn  25089  pntlemr  25091  pntlemj  25092  pntlemf  25094  pntlemk  25095  pntlemo  25096  pnt2  25102  bcm1n  28941  jm2.21  36579  stoweidlem25  38918  stoweidlem42  38935  wallispilem4  38961  stirlinglem10  38976  fourierdlem39  39039  lighneallem3  40062  dignn0flhalflem1  42207  dignn0flhalflem2  42208
  Copyright terms: Public domain W3C validator