Theorem eluznn 11634

Description: Membership in a positive upper set of integers implies membership in ℕ. (Contributed by JJ, 1-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
eluznn	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11599	. 2 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2	1	uztrn2 11581	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  1c1 9816  ℕcn 10897  ℤ_≥cuz 11563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-z 11255  df-uz 11564

This theorem is referenced by:  elfzo1  12385  expmulnbnd  12858  bcval5  12967  isercolllem1  14243  isercoll  14246  o1fsum  14386  climcndslem1  14420  climcndslem2  14421  climcnds  14422  mertenslem2  14456  rpnnen2lem6  14787  rpnnen2lem7  14788  rpnnen2lem9  14790  rpnnen2lem11  14792  pcmpt2  15435  pcmptdvds  15436  prmreclem4  15461  prmreclem5  15462  prmreclem6  15463  vdwnnlem2  15538  2expltfac  15637  setsstruct  15727  1stcelcls  21074  lmnn  22869  cmetcaulem  22894  causs  22904  caubl  22914  caublcls  22915  ovolunlem1a  23071  volsuplem  23130  uniioombllem3  23159  mbfi1fseqlem6  23293  aaliou3lem2  23902  birthdaylem2  24479  lgamgulmlem4  24558  lgamcvg2  24581  chtub  24737  bclbnd  24805  bposlem3  24811  bposlem4  24812  bposlem5  24813  bposlem6  24814  lgsdilem2  24858  chebbnd1lem1  24958  chebbnd1lem2  24959  chebbnd1lem3  24960  dchrisumlema  24977  dchrisumlem2  24979  dchrisumlem3  24980  dchrisum0lem1b  25004  dchrisum0lem1  25005  pntrsumbnd2  25056  pntpbnd1  25075  pntpbnd2  25076  pntlemh  25088  pntlemq  25090  pntlemr  25091  pntlemj  25092  pntlemf  25094  minvecolem3  27116  minvecolem4  27120  h2hcau  27220  h2hlm  27221  chscllem2  27881  sinccvglem  30820  lmclim2  32724  geomcau  32725  heibor1lem  32778  rrncmslem  32801  divcnvg  38694  stoweidlem7  38900  stirlinglem12  38978  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103