Theorem nngt0d 10941

Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nngt0d	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nngt0 10926	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  0cc0 9815   < clt 9953  ℕcn 10897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898

This theorem is referenced by:  expmulnbnd  12858  faclbnd5  12947  facubnd  12949  harmonic  14430  efcllem  14647  ege2le3  14659  eftlub  14678  eflegeo  14690  eirrlem  14771  bitsfzo  14995  sqgcd  15116  prmind2  15236  nprm  15239  isprm5  15257  divdenle  15295  qnumgt0  15296  hashdvds  15318  odzdvds  15338  pythagtriplem11  15368  pythagtriplem13  15370  pythagtriplem19  15376  pcadd  15431  pcfaclem  15440  qexpz  15443  pockthlem  15447  pockthg  15448  prmreclem1  15458  prmreclem5  15462  4sqlem12  15498  4sqlem14  15500  4sqlem16  15502  vdwlem3  15525  vdwlem9  15531  psgnunilem3  17739  pgpfaclem2  18304  fvmptnn04ifd  20477  lebnumii  22573  dyadf  23165  dyadovol  23167  dyaddisjlem  23169  dyadmaxlem  23171  opnmbllem  23175  mbfi1fseqlem1  23288  mbfi1fseqlem4  23291  mbfi1fseqlem5  23292  mbfi1fseqlem6  23293  itg2gt0  23333  itg2cnlem2  23335  dgrcolem2  23834  leibpi  24469  log2tlbnd  24472  birthdaylem3  24480  amgm  24517  emcllem2  24523  harmonicbnd4  24537  lgamgulmlem1  24555  basellem1  24607  basellem4  24610  basellem6  24612  dvdsflf1o  24713  fsumfldivdiaglem  24715  fsumvma2  24739  chpchtsum  24744  perfectlem2  24755  bposlem1  24809  bposlem2  24810  bposlem6  24814  lgsqrlem4  24874  lgseisenlem1  24900  lgsquadlem1  24905  lgsquadlem2  24906  2sqlem8  24951  chebbnd1lem3  24960  rplogsumlem1  24973  rplogsumlem2  24974  rpvmasumlem  24976  dchrisumlema  24977  dchrisumlem1  24978  dchrisumlem3  24980  dchrisum0flblem2  24998  dchrisum0re  25002  logdivbnd  25045  pntpbnd1a  25074  pntpbnd1  25075  ostth2lem2  25123  ostth2lem3  25124  numclwwlkovf2ex  26613  minvecolem4  27120  eulerpartlemgc  29751  subfaclim  30424  cvmliftlem2  30522  cvmliftlem6  30526  cvmliftlem7  30527  cvmliftlem8  30528  cvmliftlem9  30529  cvmliftlem10  30530  cvmliftlem13  30532  knoppndvlem18  31690  knoppndvlem19  31691  knoppndvlem21  31693  poimirlem12  32591  poimirlem14  32593  poimirlem22  32601  opnmbllem0  32615  mblfinlem2  32617  irrapxlem4  36407  irrapxlem5  36408  pellexlem2  36412  pellexlem6  36416  rmxypos  36532  jm2.17b  36546  jm2.17c  36547  jm2.27a  36590  jm2.27c  36592  jm3.1lem1  36602  jm3.1lem2  36603  jm3.1lem3  36604  relexpxpmin  37028  hashnzfz2  37542  sumnnodd  38697  stoweidlem1  38894  stoweidlem11  38904  stoweidlem26  38919  stoweidlem38  38931  stoweidlem42  38935  stoweidlem44  38937  stoweidlem51  38944  stoweidlem59  38952  stirlinglem3  38969  stirlinglem15  38981  dirkertrigeqlem3  38993  dirkercncflem2  38997  fourierdlem11  39011  fourierdlem14  39014  fourierdlem20  39020  fourierdlem25  39025  fourierdlem37  39037  fourierdlem41  39041  fourierdlem48  39047  fourierdlem64  39063  fourierdlem73  39072  fourierdlem79  39078  fourierdlem93  39092  etransclem35  39162  etransclem48  39175  qndenserrnbllem  39190  hoiqssbllem1  39512  hoiqssbllem2  39513  lighneallem4a  40063  proththdlem  40068  crctcsh  41027  av-numclwwlkovf2ex  41517  ztprmneprm  41918  expnegico01  42102  dignnld  42195