Theorem expnegico01 42102

Description: An integer greater than 1 to the power of a negative integer is in the closed-below, open-above interval between 0 and 1. (Contributed by AV, 24-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
expnegico01	⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵↑𝑁) ∈ (0[,)1))

Proof of Theorem expnegico01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 11574	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ)
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℝ)
3		eluz2nn 11602	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
4	3	nnne0d 10942	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ≠ 0)
5	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐵 ≠ 0)
6		simpr 476	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
7	2, 5, 6	3jca 1235	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
8	7	3adant3 1074	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
9		reexpclz 12742	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℝ)
11		0red 9920	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 ∈ ℝ)
12	1	3ad2ant1 1075	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
13	4	3ad2ant1 1075	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 𝐵 ≠ 0)
14		simp2 1055	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
15	12, 13, 14	reexpclzd 12896	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℝ)
16	3	nngt0d 10941	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < 𝐵)
17	16	3ad2ant1 1075	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 < 𝐵)
18		expgt0 12755	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐵↑𝑁))
19	12, 14, 17, 18	syl3anc 1318	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 < (𝐵↑𝑁))
20	11, 15, 19	ltled 10064	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 ≤ (𝐵↑𝑁))
21		0zd 11266	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 0 ∈ ℤ)
22		eluz2gt1 11636	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐵)
23	22	3ad2ant1 1075	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 1 < 𝐵)
24		simp3 1056	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 𝑁 < 0)
25		ltexp2a 12774	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐵 ∧ 𝑁 < 0)) → (𝐵↑𝑁) < (𝐵↑0))
26	12, 14, 21, 23, 24, 25	syl32anc 1326	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵↑𝑁) < (𝐵↑0))
27		eluzelcn 11575	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
28	27	exp0d 12864	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵↑0) = 1)
29	28	eqcomd 2616	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 = (𝐵↑0))
30	29	3ad2ant1 1075	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → 1 = (𝐵↑0))
31	26, 30	breqtrrd 4611	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵↑𝑁) < 1)
32		0re 9919	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
33		1re 9918	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
34	33	rexri 9976	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ*
35	32, 34	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*)
36		elico2 12108	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝐵↑𝑁) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝐵↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑𝑁) ∧ (𝐵↑𝑁) < 1)))
37	35, 36	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → ((𝐵↑𝑁) ∈ (0[,)1) ↔ ((𝐵↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐵↑𝑁) ∧ (𝐵↑𝑁) < 1)))
38	10, 20, 31, 37	mpbir3and 1238	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵↑𝑁) ∈ (0[,)1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  2c2 10947  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  [,)cico 12048  ↑cexp 12722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-seq 12664  df-exp 12723

This theorem is referenced by:  digexp  42199