4sqlem14 - Metamath Proof Explorer

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Theorem 4sqlem14 15500

Description: Lemma for 4sq 15506. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
4sq.1	⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
4sq.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4sq.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
4sq.4	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
4sq.5	⊢ (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
4sq.6	⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
4sq.7	⊢ 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
4sq.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ_≥‘2))
4sq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
4sq.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
4sq.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
4sq.e	⊢ 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.f	⊢ 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.g	⊢ 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.h	⊢ 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
4sq.r	⊢ 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
4sq.p	⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))

**Assertion**
Ref	Expression
4sqlem14	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ₀)

Distinct variable groups: 𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧 𝐵,𝑛 𝑛,𝐸 𝑛,𝐺 𝑛,𝐻 𝐴,𝑛 𝐶,𝑛 𝐷,𝑛 𝑛,𝐹 𝑖,𝑛,𝑀 𝑛,𝑁 𝑃,𝑖,𝑛 𝜑,𝑛 𝑆,𝑖,𝑛 𝑅,𝑖 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤) 𝑅(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑛) 𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤) 𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖,𝑛) 𝐸(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖) 𝑀(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤) 𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑖)

**Proof of Theorem 4sqlem14**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		4sq.r	. 2 ⊢ 𝑅 = ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)
2		4sq.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑇 = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆}
3		ssrab2 3650	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑃) ∈ 𝑆} ⊆ ℕ
4	2, 3	eqsstri 3598	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 ⊆ ℕ
5		4sq.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = inf(𝑇, ℝ, < )
6		nnuz 11599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
7	4, 6	sseqtri 3600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 ⊆ (ℤ_≥‘1)
8		4sq.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
9		4sq.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
10		4sq.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = ((2 · 𝑁) + 1))
11		4sq.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
12		4sq.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0...(2 · 𝑁)) ⊆ 𝑆)
13	8, 9, 10, 11, 12, 2, 5	4sqlem13 15499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ≠ ∅ ∧ 𝑀 < 𝑃))
14	13	simpld 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ ∅)
15		infssuzcl 11648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑇 ⊆ (ℤ_≥‘1) ∧ 𝑇 ≠ ∅) → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
16	7, 14, 15	sylancr 694	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → inf(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
17	5, 16	syl5eqel 2692	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑇)
18	4, 17	sseldi 3566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
19	18	nnzd 11357	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
20		prmz 15227	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
21	11, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
22		dvdsmul1 14841	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑃))
23	19, 21, 22	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑃))
24		4sq.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
25		4sq.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
26	24, 18, 25	4sqlem8 15487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)))
27		4sq.b	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
28		4sq.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (((𝐵 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
29	27, 18, 28	4sqlem8 15487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)))
30		zsqcl 12796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
31	24, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
32	24, 18, 25	4sqlem5 15484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 𝐸) / 𝑀) ∈ ℤ))
33	32	simpld 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℤ)
34		zsqcl2 12803	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → (𝐸↑2) ∈ ℕ₀)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℕ₀)
36	35	nn0zd 11356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℤ)
37	31, 36	zsubcld 11363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) ∈ ℤ)
38		zsqcl 12796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
39	27, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
40	27, 18, 28	4sqlem5 15484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ℤ ∧ ((𝐵 − 𝐹) / 𝑀) ∈ ℤ))
41	40	simpld 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℤ)
42		zsqcl2 12803	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹↑2) ∈ ℕ₀)
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℕ₀)
44	43	nn0zd 11356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℤ)
45	39, 44	zsubcld 11363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)) ∈ ℤ)
46		dvds2add 14853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) ∈ ℤ ∧ ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) ∧ 𝑀 ∥ ((𝐵↑2) − (𝐹↑2))) → 𝑀 ∥ (((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)))))
47	19, 37, 45, 46	syl3anc 1318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∥ ((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) ∧ 𝑀 ∥ ((𝐵↑2) − (𝐹↑2))) → 𝑀 ∥ (((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐹↑2)))))
48	26, 29, 47	mp2and 711	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐹↑2))))
49	24	zcnd 11359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
50	49	sqcld 12868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
51	27	zcnd 11359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
52	51	sqcld 12868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
53	33	zcnd 11359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
54	53	sqcld 12868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℂ)
55	41	zcnd 11359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
56	55	sqcld 12868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹↑2) ∈ ℂ)
57	50, 52, 54, 56	addsub4d 10318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) = (((𝐴↑2) − (𝐸↑2)) + ((𝐵↑2) − (𝐹↑2))))
58	48, 57	breqtrrd 4611	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))))
59		4sq.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
60		4sq.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐺 = (((𝐶 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
61	59, 18, 60	4sqlem8 15487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)))
62		4sq.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
63		4sq.h	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 = (((𝐷 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
64	62, 18, 63	4sqlem8 15487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)))
65		zsqcl 12796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
66	59, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
67	59, 18, 60	4sqlem5 15484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ℤ ∧ ((𝐶 − 𝐺) / 𝑀) ∈ ℤ))
68	67	simpld 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℤ)
69		zsqcl2 12803	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺↑2) ∈ ℕ₀)
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℕ₀)
71	70	nn0zd 11356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℤ)
72	66, 71	zsubcld 11363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) ∈ ℤ)
73		zsqcl 12796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ∈ ℤ → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
74	62, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℤ)
75	62, 18, 63	4sqlem5 15484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ ℤ ∧ ((𝐷 − 𝐻) / 𝑀) ∈ ℤ))
76	75	simpld 474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℤ)
77		zsqcl2 12803	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐻 ∈ ℤ → (𝐻↑2) ∈ ℕ₀)
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℕ₀)
79	78	nn0zd 11356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℤ)
80	74, 79	zsubcld 11363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)) ∈ ℤ)
81		dvds2add 14853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) ∈ ℤ ∧ ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) ∧ 𝑀 ∥ ((𝐷↑2) − (𝐻↑2))) → 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) + ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)))))
82	19, 72, 80, 81	syl3anc 1318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∥ ((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) ∧ 𝑀 ∥ ((𝐷↑2) − (𝐻↑2))) → 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) + ((𝐷↑2) − (𝐻↑2)))))
83	61, 64, 82	mp2and 711	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) + ((𝐷↑2) − (𝐻↑2))))
84	59	zcnd 11359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
85	84	sqcld 12868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
86	62	zcnd 11359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
87	86	sqcld 12868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
88	68	zcnd 11359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℂ)
89	88	sqcld 12868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺↑2) ∈ ℂ)
90	76	zcnd 11359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ℂ)
91	90	sqcld 12868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐻↑2) ∈ ℂ)
92	85, 87, 89, 91	addsub4d 10318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) = (((𝐶↑2) − (𝐺↑2)) + ((𝐷↑2) − (𝐻↑2))))
93	83, 92	breqtrrd 4611	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
94	31, 39	zaddcld 11362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℤ)
95	35, 43	nn0addcld 11232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℕ₀)
96	95	nn0zd 11356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℤ)
97	94, 96	zsubcld 11363	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∈ ℤ)
98	66, 74	zaddcld 11362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℤ)
99	70, 78	nn0addcld 11232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℕ₀)
100	99	nn0zd 11356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℤ)
101	98, 100	zsubcld 11363	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ)
102		dvds2add 14853	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∈ ℤ ∧ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∧ 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) → 𝑀 ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))))
103	19, 97, 101, 102	syl3anc 1318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∥ (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) ∧ 𝑀 ∥ (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) → 𝑀 ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))))
104	58, 93, 103	mp2and 711	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
105		4sq.p	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) = (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))))
106	105	oveq1d 6564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
107	50, 52	addcld 9938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
108	85, 87	addcld 9938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
109	54, 56	addcld 9938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) ∈ ℂ)
110	89, 91	addcld 9938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)) ∈ ℂ)
111	107, 108, 109, 110	addsub4d 10318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
112	106, 111	eqtrd 2644	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) = ((((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) − ((𝐸↑2) + (𝐹↑2))) + (((𝐶↑2) + (𝐷↑2)) − ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
113	104, 112	breqtrrd 4611	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))
114	19, 21	zmulcld 11364	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) ∈ ℤ)
115	96, 100	zaddcld 11362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ)
116	114, 115	zsubcld 11363	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) ∈ ℤ)
117		dvds2sub 14854	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑀 · 𝑃) ∈ ℤ ∧ ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑃) ∧ 𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))) → 𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))))
118	19, 114, 116, 117	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ∥ (𝑀 · 𝑃) ∧ 𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))) → 𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))))))
119	23, 113, 118	mp2and 711	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ ((𝑀 · 𝑃) − ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))))
120	18	nncnd 10913	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
121		prmnn 15226	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
122	11, 121	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
123	122	nncnd 10913	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
124	120, 123	mulcld 9939	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑃) ∈ ℂ)
125	109, 110	addcld 9938	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℂ)
126	124, 125	nncand 10276	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑃) − ((𝑀 · 𝑃) − (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))) = (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
127	119, 126	breqtrd 4609	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
128	18	nnne0d 10942	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
129	95, 99	nn0addcld 11232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℕ₀)
130	129	nn0zd 11356	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ)
131		dvdsval2 14824	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0 ∧ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ↔ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ))
132	19, 128, 130, 131	syl3anc 1318	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∥ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ↔ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ))
133	127, 132	mpbid 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ)
134	129	nn0red 11229	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ)
135	129	nn0ge0d 11231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))))
136	18	nnred 10912	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
137	18	nngt0d 10941	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
138		divge0 10771	. . . 4 ⊢ ((((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2)))) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ≤ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀))
139	134, 135, 136, 137, 138	syl22anc 1319	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀))
140		elnn0z 11267	. . 3 ⊢ (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℕ₀ ↔ (((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀)))
141	133, 139, 140	sylanbrc 695	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐸↑2) + (𝐹↑2)) + ((𝐺↑2) + (𝐻↑2))) / 𝑀) ∈ ℕ₀)
142	1, 141	syl5eqel 2692	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ₀)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 195 ∧ wa 383 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 {cab 2596 ≠ wne 2780 ∃wrex 2897 {crab 2900 ⊆ wss 3540 ∅c0 3874 class class class wbr 4583 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 infcinf 8230 ℝcr 9814 0cc0 9815 1c1 9816 + caddc 9818 · cmul 9820 < clt 9953 ≤ cle 9954 − cmin 10145 / cdiv 10563 ℕcn 10897 2c2 10947 ℕ₀cn0 11169 ℤcz 11254 ℤ_≥cuz 11563 ...cfz 12197 mod cmo 12530 ↑cexp 12722 ∥ cdvds 14821 ℙcprime 15223

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-rep 4699 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892 ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rmo 2904 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-int 4411 df-iun 4457 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-om 6958 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-1o 7447 df-2o 7448 df-oadd 7451 df-er 7629 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-fin 7845 df-sup 8231 df-inf 8232 df-card 8648 df-cda 8873 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-div 10564 df-nn 10898 df-2 10956 df-3 10957 df-4 10958 df-n0 11170 df-xnn0 11241 df-z 11255 df-uz 11564 df-rp 11709 df-fz 12198 df-fl 12455 df-mod 12531 df-seq 12664 df-exp 12723 df-hash 12980 df-cj 13687 df-re 13688 df-im 13689 df-sqrt 13823 df-abs 13824 df-dvds 14822 df-gcd 15055 df-prm 15224 df-gz 15472

This theorem is referenced by: 4sqlem17 15503

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