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Theorem fourierdlem20 39020
 Description: Every interval in the partition 𝑆 is included in an interval of the partition 𝑄. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem20.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem20.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem20.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem20.aleb (𝜑𝐴𝐵)
fourierdlem20.q (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
fourierdlem20.q0 (𝜑 → (𝑄‘0) ≤ 𝐴)
fourierdlem20.qm (𝜑𝐵 ≤ (𝑄𝑀))
fourierdlem20.j (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))
fourierdlem20.t 𝑇 = ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)))
fourierdlem20.s (𝜑𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
fourierdlem20.i 𝐼 = sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem20 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐼   𝑖,𝐽   𝑘,𝐽   𝑖,𝑀   𝑘,𝑀   𝑄,𝑖   𝑄,𝑘   𝑆,𝑖   𝑆,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑘)   𝐴(𝑖,𝑘)   𝐵(𝑖,𝑘)   𝑇(𝑖,𝑘)   𝐼(𝑘)   𝑁(𝑖,𝑘)

Proof of Theorem fourierdlem20
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem20.i . . 3 𝐼 = sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}, ℝ, < )
2 ssrab2 3650 . . . 4 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ⊆ (0..^𝑀)
3 fzossfz 12357 . . . . . . . 8 (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
4 fzssz 12214 . . . . . . . 8 (0...𝑀) ⊆ ℤ
53, 4sstri 3577 . . . . . . 7 (0..^𝑀) ⊆ ℤ
62, 5sstri 3577 . . . . . 6 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ⊆ ℤ
76a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ⊆ ℤ)
8 0z 11265 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
9 0le0 10987 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 0
10 eluz2 11569 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ (ℤ‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 0))
118, 8, 9, 10mpbir3an 1237 . . . . . . . . 9 0 ∈ (ℤ‘0)
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ (ℤ‘0))
13 fourierdlem20.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1413nnzd 11357 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1513nngt0d 10941 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝑀)
16 elfzo2 12342 . . . . . . . 8 (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
1712, 14, 15, 16syl3anbrc 1239 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
18 fourierdlem20.q . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
193, 17sseldi 3566 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
2018, 19ffvelrnd 6268 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
21 fourierdlem20.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
22 fourierdlem20.t . . . . . . . . . . 11 𝑇 = ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)))
2321rexrd 9968 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
24 fourierdlem20.b . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2524rexrd 9968 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
26 fourierdlem20.aleb . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴𝐵)
27 lbicc2 12159 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2823, 25, 26, 27syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
29 ubicc2 12160 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3023, 25, 26, 29syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3128, 30jca 553 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
32 prssg 4290 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
3323, 25, 32syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐴[,]𝐵)))
3431, 33mpbid 221 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐴[,]𝐵))
35 inss2 3796 . . . . . . . . . . . . . 14 (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝐴(,)𝐵)
36 ioossicc 12130 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
3735, 36sstri 3577 . . . . . . . . . . . . 13 (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
3934, 38unssd 3751 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵))) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4022, 39syl5eqss 3612 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇 ⊆ (𝐴[,]𝐵))
4121, 24iccssred 38574 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4240, 41sstrd 3578 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ⊆ ℝ)
43 fourierdlem20.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
44 isof1o 6473 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇) → 𝑆:(0...𝑁)–1-1-onto𝑇)
45 f1of 6050 . . . . . . . . . . 11 (𝑆:(0...𝑁)–1-1-onto𝑇𝑆:(0...𝑁)⟶𝑇)
4643, 44, 453syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆:(0...𝑁)⟶𝑇)
47 fourierdlem20.j . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))
48 elfzofz 12354 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ (0...𝑁))
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑁))
5046, 49ffvelrnd 6268 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ 𝑇)
5142, 50sseldd 3569 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ ℝ)
52 fourierdlem20.q0 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘0) ≤ 𝐴)
5340, 50sseldd 3569 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ (𝐴[,]𝐵))
54 iccgelb 12101 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑆𝐽) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝑆𝐽))
5523, 25, 53, 54syl3anc 1318 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ≤ (𝑆𝐽))
5620, 21, 51, 52, 55letrd 10073 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄‘0) ≤ (𝑆𝐽))
57 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝑄𝑘) = (𝑄‘0))
5857breq1d 4593 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽) ↔ (𝑄‘0) ≤ (𝑆𝐽)))
5958elrab 3331 . . . . . . 7 (0 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ↔ (0 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄‘0) ≤ (𝑆𝐽)))
6017, 56, 59sylanbrc 695 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)})
61 ne0i 3880 . . . . . 6 (0 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ≠ ∅)
6260, 61syl 17 . . . . 5 (𝜑 → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ≠ ∅)
6313nnred 10912 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
642sseli 3564 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} → 𝑗 ∈ (0..^𝑀))
65 elfzo0le 12379 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗𝑀)
6664, 65syl 17 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} → 𝑗𝑀)
6766adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}) → 𝑗𝑀)
6867ralrimiva 2949 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}𝑗𝑀)
69 breq2 4587 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑀 → (𝑗𝑥𝑗𝑀))
7069ralbidv 2969 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑀 → (∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}𝑗𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}𝑗𝑀))
7170rspcev 3282 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}𝑗𝑀) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}𝑗𝑥)
7263, 68, 71syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}𝑗𝑥)
73 suprzcl 11333 . . . . 5 (({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ⊆ ℤ ∧ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}𝑗𝑥) → sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}, ℝ, < ) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)})
747, 62, 72, 73syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}, ℝ, < ) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)})
752, 74sseldi 3566 . . 3 (𝜑 → sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}, ℝ, < ) ∈ (0..^𝑀))
761, 75syl5eqel 2692 . 2 (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀))
773, 76sseldi 3566 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (0...𝑀))
7818, 77ffvelrnd 6268 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ℝ)
7978rexrd 9968 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
80 fzofzp1 12431 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
8176, 80syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
8218, 81ffvelrnd 6268 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
8382rexrd 9968 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
841, 74syl5eqel 2692 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)})
85 nfrab1 3099 . . . . . . . 8 𝑘{𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}
86 nfcv 2751 . . . . . . . 8 𝑘
87 nfcv 2751 . . . . . . . 8 𝑘 <
8885, 86, 87nfsup 8240 . . . . . . 7 𝑘sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}, ℝ, < )
891, 88nfcxfr 2749 . . . . . 6 𝑘𝐼
90 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑘(0..^𝑀)
91 nfcv 2751 . . . . . . . 8 𝑘𝑄
9291, 89nffv 6110 . . . . . . 7 𝑘(𝑄𝐼)
93 nfcv 2751 . . . . . . 7 𝑘
94 nfcv 2751 . . . . . . 7 𝑘(𝑆𝐽)
9592, 93, 94nfbr 4629 . . . . . 6 𝑘(𝑄𝐼) ≤ (𝑆𝐽)
96 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐼 → (𝑄𝑘) = (𝑄𝐼))
9796breq1d 4593 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐼 → ((𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽) ↔ (𝑄𝐼) ≤ (𝑆𝐽)))
9889, 90, 95, 97elrabf 3329 . . . . 5 (𝐼 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ↔ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄𝐼) ≤ (𝑆𝐽)))
9984, 98sylib 207 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄𝐼) ≤ (𝑆𝐽)))
10099simprd 478 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐼) ≤ (𝑆𝐽))
101 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))) → ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
10283adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
103 iccssxr 12127 . . . . . . . . . 10 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*
10440, 103syl6ss 3580 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ⊆ ℝ*)
105 fzofzp1 12431 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
10647, 105syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
10746, 106ffvelrnd 6268 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ 𝑇)
108104, 107sseldd 3569 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ*)
109108adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ*)
110 xrltnle 9984 . . . . . . 7 (((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ*) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1)) ↔ ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))))
111102, 109, 110syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1)) ↔ ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))))
112101, 111mpbird 246 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
113 fzssz 12214 . . . . . 6 (0...𝑁) ⊆ ℤ
114 f1ofo 6057 . . . . . . . . . 10 (𝑆:(0...𝑁)–1-1-onto𝑇𝑆:(0...𝑁)–onto𝑇)
11543, 44, 1143syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆:(0...𝑁)–onto𝑇)
116115adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → 𝑆:(0...𝑁)–onto𝑇)
117 ffun 5961 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ → Fun 𝑄)
11818, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Fun 𝑄)
119 fdm 5964 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ → dom 𝑄 = (0...𝑀))
12018, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom 𝑄 = (0...𝑀))
121120eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0...𝑀) = dom 𝑄)
12281, 121eleqtrd 2690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ dom 𝑄)
123 fvelrn 6260 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝑄 ∧ (𝐼 + 1) ∈ dom 𝑄) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ran 𝑄)
124118, 122, 123syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ran 𝑄)
125124adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ran 𝑄)
12623adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
12725adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
12882adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
12941, 53sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ ℝ)
1304sseli 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ (0...𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
131 zre 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℝ)
13277, 130, 1313syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
133132adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝐼 ∈ ℝ)
134133ltp1d 10833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝐼 < (𝐼 + 1))
135134adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝐼 < (𝐼 + 1))
136 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
137129ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑆𝐽) ∈ ℝ)
138 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1))) → ¬ (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
139136, 137, 138nltled 10066 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽))
140132adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → 𝐼 ∈ ℝ)
141 1red 9934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → 1 ∈ ℝ)
142140, 141readdcld 9948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
143 elfzoelz 12339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
144143zred 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
145144ssriv 3572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0..^𝑀) ⊆ ℝ
1462, 145sstri 3577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ⊆ ℝ
147146a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ⊆ ℝ)
14862adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ≠ ∅)
14972adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}𝑗𝑥)
15082adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
151129adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝑆𝐽) ∈ ℝ)
15224adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → 𝐵 ∈ ℝ)
153 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽))
15442, 107sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
155154adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
156 elfzoelz 12339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
157 zre 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
15847, 156, 1573syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
159158ltp1d 10833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝐽 < (𝐽 + 1))
160 isorel 6476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇) ∧ (𝐽 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))) → (𝐽 < (𝐽 + 1) ↔ (𝑆𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1))))
16143, 49, 106, 160syl12anc 1316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (𝐽 < (𝐽 + 1) ↔ (𝑆𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1))))
162159, 161mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝑆𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
163162adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝑆𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
16440, 107sseldd 3569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
165 iccleub 12100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ 𝐵)
16623, 25, 164, 165syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ 𝐵)
167166adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ 𝐵)
168151, 155, 152, 163, 167ltletrd 10076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝑆𝐽) < 𝐵)
169150, 151, 152, 153, 168lelttrd 10074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐵)
170169adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐵)
17124adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ)
17282adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
173 fourierdlem20.qm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑𝐵 ≤ (𝑄𝑀))
174173adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ≤ (𝑄𝑀))
17514adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
17681adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
177 fzval3 12404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑀 ∈ ℤ → (0...𝑀) = (0..^(𝑀 + 1)))
17814, 177syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜑 → (0...𝑀) = (0..^(𝑀 + 1)))
179178adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (0...𝑀) = (0..^(𝑀 + 1)))
180176, 179eleqtrd 2690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 + 1) ∈ (0..^(𝑀 + 1)))
181 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀))
182180, 181jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐼 + 1) ∈ (0..^(𝑀 + 1)) ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)))
183 elfzonelfzo 12436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑀 ∈ ℤ → (((𝐼 + 1) ∈ (0..^(𝑀 + 1)) ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 + 1) ∈ (𝑀..^(𝑀 + 1))))
184175, 182, 183sylc 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 + 1) ∈ (𝑀..^(𝑀 + 1)))
185 fzval3 12404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = (𝑀..^(𝑀 + 1)))
18614, 185syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → (𝑀...𝑀) = (𝑀..^(𝑀 + 1)))
187186eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (𝑀..^(𝑀 + 1)) = (𝑀...𝑀))
188187adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑀..^(𝑀 + 1)) = (𝑀...𝑀))
189184, 188eleqtrd 2690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑀))
190 elfz1eq 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐼 + 1) ∈ (𝑀...𝑀) → (𝐼 + 1) = 𝑀)
191189, 190syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 + 1) = 𝑀)
192191eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → 𝑀 = (𝐼 + 1))
193192fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑀) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
194174, 193breqtrd 4609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → 𝐵 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
195171, 172, 194lensymd 10067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐵)
196195adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) ∧ ¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀)) → ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐵)
197170, 196condan 831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀))
198 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑘 +
199 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑘1
20089, 198, 199nfov 6575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘(𝐼 + 1)
20191, 200nffv 6110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑘(𝑄‘(𝐼 + 1))
202201, 93, 94nfbr 4629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑘(𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)
203 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = (𝐼 + 1) → (𝑄𝑘) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
204203breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = (𝐼 + 1) → ((𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽) ↔ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)))
205200, 90, 202, 204elrabf 3329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐼 + 1) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)))
206197, 153, 205sylanbrc 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝐼 + 1) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)})
207 suprub 10863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ⊆ ℝ ∧ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}𝑗𝑥) ∧ (𝐼 + 1) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}) → (𝐼 + 1) ≤ sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}, ℝ, < ))
208147, 148, 149, 206, 207syl31anc 1321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝐼 + 1) ≤ sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) ≤ (𝑆𝐽)}, ℝ, < ))
209208, 1syl6breqr 4625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → (𝐼 + 1) ≤ 𝐼)
210142, 140, 209lensymd 10067 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → ¬ 𝐼 < (𝐼 + 1))
211210adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑆𝐽)) → ¬ 𝐼 < (𝐼 + 1))
212139, 211syldan 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1))) → ¬ 𝐼 < (𝐼 + 1))
213135, 212condan 831 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ) → (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
21482, 213mpdan 699 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
21521, 129, 82, 55, 214lelttrd 10074 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
216215adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → 𝐴 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
217154adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
21824adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → 𝐵 ∈ ℝ)
219 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
220166adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ 𝐵)
221128, 217, 218, 219, 220ltletrd 10076 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐵)
222126, 127, 128, 216, 221eliood 38567 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (𝐴(,)𝐵))
223125, 222elind 3760 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)))
224 elun2 3743 . . . . . . . . . 10 ((𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵))))
225223, 224syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ({𝐴, 𝐵} ∪ (ran 𝑄 ∩ (𝐴(,)𝐵))))
226225, 22syl6eleqr 2699 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ 𝑇)
227 foelrn 6286 . . . . . . . 8 ((𝑆:(0...𝑁)–onto𝑇 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ 𝑇) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗))
228116, 226, 227syl2anc 691 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗))
229214adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑆𝐽) < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
230 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗))
231229, 230breqtrd 4609 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑆𝐽) < (𝑆𝑗))
232231adantlr 747 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑆𝐽) < (𝑆𝑗))
23343ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
23449anim1i 590 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐽 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)))
235234adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝐽 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)))
236 isorel 6476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇) ∧ (𝐽 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁))) → (𝐽 < 𝑗 ↔ (𝑆𝐽) < (𝑆𝑗)))
237233, 235, 236syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝐽 < 𝑗 ↔ (𝑆𝐽) < (𝑆𝑗)))
238232, 237mpbird 246 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → 𝐽 < 𝑗)
239238adantllr 751 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → 𝐽 < 𝑗)
240 eqcom 2617 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗) ↔ (𝑆𝑗) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
241240biimpi 205 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗) → (𝑆𝑗) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
242241adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑆𝑗) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
243 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
244242, 243eqbrtrd 4605 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
245244adantll 746 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
246245adantlr 747 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
24743ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇))
248 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → 𝑗 ∈ (0...𝑁))
249106ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
250 isorel 6476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝑇) ∧ (𝑗 ∈ (0...𝑁) ∧ (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))) → (𝑗 < (𝐽 + 1) ↔ (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1))))
251247, 248, 249, 250syl12anc 1316 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → (𝑗 < (𝐽 + 1) ↔ (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1))))
252251adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝑗 < (𝐽 + 1) ↔ (𝑆𝑗) < (𝑆‘(𝐽 + 1))))
253246, 252mpbird 246 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → 𝑗 < (𝐽 + 1))
254239, 253jca 553 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗)) → (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)))
255254ex 449 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗) → (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))))
256255reximdva 3000 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝑄‘(𝐼 + 1)) = (𝑆𝑗) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))))
257228, 256mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → ∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)))
258 ssrexv 3630 . . . . . 6 ((0...𝑁) ⊆ ℤ → (∃𝑗 ∈ (0...𝑁)(𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))))
259113, 257, 258mpsyl 66 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < (𝑆‘(𝐽 + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)))
260112, 259syldan 486 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))) → ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)))
261 simplr 788 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))) → 𝑗 ∈ ℤ)
26247, 156syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
263262ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))) → 𝐽 ∈ ℤ)
264 simprl 790 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))) → 𝐽 < 𝑗)
265 simprr 792 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))) → 𝑗 < (𝐽 + 1))
266 btwnnz 11329 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)) → ¬ 𝑗 ∈ ℤ)
267263, 264, 265, 266syl3anc 1318 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1))) → ¬ 𝑗 ∈ ℤ)
268261, 267pm2.65da 598 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℤ) → ¬ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)))
269268nrexdv 2984 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)))
270269adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))) → ¬ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐽 < 𝑗𝑗 < (𝐽 + 1)))
271260, 270condan 831 . . 3 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
272 ioossioo 12136 . . 3 ((((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑄𝐼) ≤ (𝑆𝐽) ∧ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))) → ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
27379, 83, 100, 271, 272syl22anc 1319 . 2 (𝜑 → ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
274 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑖 = 𝐼 → (𝑄𝑖) = (𝑄𝐼))
275 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐼 → (𝑖 + 1) = (𝐼 + 1))
276275fveq2d 6107 . . . . 5 (𝑖 = 𝐼 → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
277274, 276oveq12d 6567 . . . 4 (𝑖 = 𝐼 → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
278277sseq2d 3596 . . 3 (𝑖 = 𝐼 → (((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
279278rspcev 3282 . 2 ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
28076, 273, 279syl2anc 691 1 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {cpr 4127   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ran crn 5039  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  –onto→wfo 5802  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804   Isom wiso 5805  (class class class)co 6549  supcsup 8229  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  (,)cioo 12046  [,]cicc 12049  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-ioo 12050  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335 This theorem is referenced by:  fourierdlem50  39049
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