Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem11 38904
 Description: This lemma is used to prove that there is a function 𝑔 as in the proof of [BrosowskiDeutsh] p. 92 (at the top of page 92): this lemma proves that g(t) < ( j + 1 / 3 ) * ε. Here 𝐸 is used to represent ε in the paper. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem11.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
stoweidlem11.2 (𝜑𝑡𝑇)
stoweidlem11.3 (𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁))
stoweidlem11.4 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋𝑖):𝑇⟶ℝ)
stoweidlem11.5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) ≤ 1)
stoweidlem11.6 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
stoweidlem11.7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
stoweidlem11.8 (𝜑𝐸 < (1 / 3))
Assertion
Ref Expression
stoweidlem11 (𝜑 → ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗   𝑡,𝑖,𝐸   𝑖,𝑁,𝑡   𝜑,𝑖   𝑡,𝑇   𝑡,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑗)   𝑇(𝑖,𝑗)   𝐸(𝑗)   𝑁(𝑗)   𝑋(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem stoweidlem11
StepHypRef Expression
1 stoweidlem11.2 . . 3 (𝜑𝑡𝑇)
2 sumex 14266 . . 3 Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ∈ V
3 eqid 2610 . . . 4 (𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡))) = (𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))
43fvmpt2 6200 . . 3 ((𝑡𝑇 ∧ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ∈ V) → ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))
51, 2, 4sylancl 693 . 2 (𝜑 → ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) = Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))
6 fzfid 12634 . . . 4 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
7 stoweidlem11.7 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
87rpred 11748 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
98adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℝ)
10 stoweidlem11.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝑋𝑖):𝑇⟶ℝ)
111adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝑡𝑇)
1210, 11ffvelrnd 6268 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) ∈ ℝ)
139, 12remulcld 9949 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ∈ ℝ)
146, 13fsumrecl 14312 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ∈ ℝ)
15 stoweidlem11.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑗 ∈ (1...𝑁))
16 elfzuz 12209 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (1...𝑁) → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘1))
18 eluz2 11569 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (ℤ‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗))
1917, 18sylib 207 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑗))
2019simp2d 1067 . . . . . 6 (𝜑𝑗 ∈ ℤ)
2120zred 11358 . . . . 5 (𝜑𝑗 ∈ ℝ)
228, 21remulcld 9949 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 · 𝑗) ∈ ℝ)
23 stoweidlem11.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2423nnred 10912 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
2524, 21resubcld 10337 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁𝑗) ∈ ℝ)
26 1red 9934 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2725, 26readdcld 9948 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁𝑗) + 1) ∈ ℝ)
288, 23nndivred 10946 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 / 𝑁) ∈ ℝ)
298, 28remulcld 9949 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)) ∈ ℝ)
3027, 29remulcld 9949 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁))) ∈ ℝ)
3122, 30readdcld 9948 . . 3 (𝜑 → ((𝐸 · 𝑗) + (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)))) ∈ ℝ)
32 3re 10971 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
34 3ne0 10992 . . . . . . 7 3 ≠ 0
3534a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 3 ≠ 0)
3633, 35rereccld 10731 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 3) ∈ ℝ)
3721, 36readdcld 9948 . . . 4 (𝜑 → (𝑗 + (1 / 3)) ∈ ℝ)
3837, 8remulcld 9949 . . 3 (𝜑 → ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸) ∈ ℝ)
39 fzfid 12634 . . . . . 6 (𝜑 → (0...(𝑗 − 1)) ∈ Fin)
408adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → 𝐸 ∈ ℝ)
41 elfzelz 12213 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (1...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
42 peano2zm 11297 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ ℤ → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
4315, 41, 423syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑗 − 1) ∈ ℤ)
4423nnzd 11357 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4521, 26resubcld 10337 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑗 − 1) ∈ ℝ)
4621lem1d 10836 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑗 − 1) ≤ 𝑗)
47 elfzuz3 12210 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (1...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑗))
48 eluzle 11576 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑗𝑁)
4915, 47, 483syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑗𝑁)
5045, 21, 24, 46, 49letrd 10073 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑗 − 1) ≤ 𝑁)
51 eluz2 11569 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑗 − 1)) ↔ ((𝑗 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑗 − 1) ≤ 𝑁))
5243, 44, 50, 51syl3anbrc 1239 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑗 − 1)))
53 fzss2 12252 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑗 − 1)) → (0...(𝑗 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0...(𝑗 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
5554sselda 3568 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
5655, 12syldan 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) ∈ ℝ)
5740, 56remulcld 9949 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ∈ ℝ)
5839, 57fsumrecl 14312 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ∈ ℝ)
5958, 30readdcld 9948 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) + (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)))) ∈ ℝ)
6021ltm1d 10835 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑗 − 1) < 𝑗)
61 fzdisj 12239 . . . . . . 7 ((𝑗 − 1) < 𝑗 → ((0...(𝑗 − 1)) ∩ (𝑗...𝑁)) = ∅)
6260, 61syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((0...(𝑗 − 1)) ∩ (𝑗...𝑁)) = ∅)
63 fzssp1 12255 . . . . . . . . . 10 (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...((𝑁 − 1) + 1))
6423nncnd 10913 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
65 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
6664, 65npcand 10275 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
6766oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0...((𝑁 − 1) + 1)) = (0...𝑁))
6863, 67syl5sseq 3616 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0...(𝑁 − 1)) ⊆ (0...𝑁))
69 1zzd 11285 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
70 fzsubel 12248 . . . . . . . . . . . 12 (((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))))
7169, 44, 20, 69, 70syl22anc 1319 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑗 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑗 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1))))
7215, 71mpbid 221 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑗 − 1) ∈ ((1 − 1)...(𝑁 − 1)))
73 1m1e0 10966 . . . . . . . . . . 11 (1 − 1) = 0
7473oveq1i 6559 . . . . . . . . . 10 ((1 − 1)...(𝑁 − 1)) = (0...(𝑁 − 1))
7572, 74syl6eleq 2698 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑗 − 1) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
7668, 75sseldd 3569 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑗 − 1) ∈ (0...𝑁))
77 fzsplit 12238 . . . . . . . 8 ((𝑗 − 1) ∈ (0...𝑁) → (0...𝑁) = ((0...(𝑗 − 1)) ∪ (((𝑗 − 1) + 1)...𝑁)))
7876, 77syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (0...𝑁) = ((0...(𝑗 − 1)) ∪ (((𝑗 − 1) + 1)...𝑁)))
7920zcnd 11359 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑗 ∈ ℂ)
8079, 65npcand 10275 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
8180oveq1d 6564 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑗 − 1) + 1)...𝑁) = (𝑗...𝑁))
8281uneq2d 3729 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0...(𝑗 − 1)) ∪ (((𝑗 − 1) + 1)...𝑁)) = ((0...(𝑗 − 1)) ∪ (𝑗...𝑁)))
8378, 82eqtrd 2644 . . . . . 6 (𝜑 → (0...𝑁) = ((0...(𝑗 − 1)) ∪ (𝑗...𝑁)))
847rpcnd 11750 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
8584adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℂ)
8612recnd 9947 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) ∈ ℂ)
8785, 86mulcld 9939 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ∈ ℂ)
8862, 83, 6, 87fsumsplit 14318 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) = (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) + Σ𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡))))
89 fzfid 12634 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑗...𝑁) ∈ Fin)
908adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝐸 ∈ ℝ)
91 0zd 11266 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
92 0red 9920 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
93 0le1 10430 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ≤ 1
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ≤ 1)
9519simp3d 1068 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ≤ 𝑗)
9692, 26, 21, 94, 95letrd 10073 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ 𝑗)
97 eluz2 11569 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑗))
9891, 20, 96, 97syl3anbrc 1239 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘0))
99 fzss1 12251 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ‘0) → (𝑗...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
10098, 99syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑗...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
101100sselda 3568 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑖 ∈ (0...𝑁))
102101, 10syldan 486 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝑋𝑖):𝑇⟶ℝ)
1031adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑡𝑇)
104102, 103ffvelrnd 6268 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) ∈ ℝ)
10590, 104remulcld 9949 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ∈ ℝ)
10689, 105fsumrecl 14312 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ∈ ℝ)
107 eluzfz2 12220 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑁 ∈ (𝑗...𝑁))
108 ne0i 3880 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (𝑗...𝑁) → (𝑗...𝑁) ≠ ∅)
10915, 47, 107, 1084syl 19 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑗...𝑁) ≠ ∅)
11023adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
11190, 110nndivred 10946 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐸 / 𝑁) ∈ ℝ)
11290, 111remulcld 9949 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)) ∈ ℝ)
113 stoweidlem11.6 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁))
1147rpgt0d 11751 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 𝐸)
115114adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → 0 < 𝐸)
116 ltmul2 10753 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝑖)‘𝑡) ∈ ℝ ∧ (𝐸 / 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → (((𝑋𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ↔ (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) < (𝐸 · (𝐸 / 𝑁))))
117104, 111, 90, 115, 116syl112anc 1322 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (((𝑋𝑖)‘𝑡) < (𝐸 / 𝑁) ↔ (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) < (𝐸 · (𝐸 / 𝑁))))
118113, 117mpbid 221 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)) → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) < (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)))
11989, 109, 105, 112, 118fsumlt 14373 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) < Σ𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)(𝐸 · (𝐸 / 𝑁)))
12023nnne0d 10942 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ≠ 0)
12184, 64, 120divcld 10680 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 / 𝑁) ∈ ℂ)
12284, 121mulcld 9939 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)) ∈ ℂ)
123 fsumconst 14364 . . . . . . . . 9 (((𝑗...𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)) ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)(𝐸 · (𝐸 / 𝑁)) = ((#‘(𝑗...𝑁)) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁))))
12489, 122, 123syl2anc 691 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)(𝐸 · (𝐸 / 𝑁)) = ((#‘(𝑗...𝑁)) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁))))
125 hashfz 13074 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝑗) → (#‘(𝑗...𝑁)) = ((𝑁𝑗) + 1))
12615, 47, 1253syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘(𝑗...𝑁)) = ((𝑁𝑗) + 1))
127126oveq1d 6564 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((#‘(𝑗...𝑁)) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁))) = (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁))))
128124, 127eqtrd 2644 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)(𝐸 · (𝐸 / 𝑁)) = (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁))))
129119, 128breqtrd 4609 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) < (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁))))
130106, 30, 58, 129ltadd2dd 10075 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) + Σ𝑖 ∈ (𝑗...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡))) < (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) + (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)))))
13188, 130eqbrtrd 4605 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) < (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) + (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)))))
132 stoweidlem11.5 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) ≤ 1)
13355, 132syldan 486 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → ((𝑋𝑖)‘𝑡) ≤ 1)
134 1red 9934 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
135114adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → 0 < 𝐸)
136 lemul2 10755 . . . . . . . . . 10 ((((𝑋𝑖)‘𝑡) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸)) → (((𝑋𝑖)‘𝑡) ≤ 1 ↔ (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ≤ (𝐸 · 1)))
13756, 134, 40, 135, 136syl112anc 1322 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → (((𝑋𝑖)‘𝑡) ≤ 1 ↔ (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ≤ (𝐸 · 1)))
138133, 137mpbid 221 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ≤ (𝐸 · 1))
13984mulid1d 9936 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 · 1) = 𝐸)
140139adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → (𝐸 · 1) = 𝐸)
141138, 140breqtrd 4609 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))) → (𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ≤ 𝐸)
14239, 57, 40, 141fsumle 14372 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ≤ Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))𝐸)
143 fsumconst 14364 . . . . . . . 8 (((0...(𝑗 − 1)) ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))𝐸 = ((#‘(0...(𝑗 − 1))) · 𝐸))
14439, 84, 143syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))𝐸 = ((#‘(0...(𝑗 − 1))) · 𝐸))
145 0z 11265 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
146 1e0p1 11428 . . . . . . . . . . . . 13 1 = (0 + 1)
147146fveq2i 6106 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ‘1) = (ℤ‘(0 + 1))
14817, 147syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
149 eluzp1m1 11587 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘(0 + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ (ℤ‘0))
150145, 148, 149sylancr 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑗 − 1) ∈ (ℤ‘0))
151 hashfz 13074 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 − 1) ∈ (ℤ‘0) → (#‘(0...(𝑗 − 1))) = (((𝑗 − 1) − 0) + 1))
152150, 151syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘(0...(𝑗 − 1))) = (((𝑗 − 1) − 0) + 1))
15379, 65subcld 10271 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑗 − 1) ∈ ℂ)
154153subid1d 10260 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑗 − 1) − 0) = (𝑗 − 1))
155154oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑗 − 1) − 0) + 1) = ((𝑗 − 1) + 1))
156152, 155, 803eqtrd 2648 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘(0...(𝑗 − 1))) = 𝑗)
157156oveq1d 6564 . . . . . . 7 (𝜑 → ((#‘(0...(𝑗 − 1))) · 𝐸) = (𝑗 · 𝐸))
15879, 84mulcomd 9940 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑗 · 𝐸) = (𝐸 · 𝑗))
159144, 157, 1583eqtrd 2648 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))𝐸 = (𝐸 · 𝑗))
160142, 159breqtrd 4609 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) ≤ (𝐸 · 𝑗))
16158, 22, 30, 160leadd1dd 10520 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑖 ∈ (0...(𝑗 − 1))(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) + (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)))) ≤ ((𝐸 · 𝑗) + (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)))))
16214, 59, 31, 131, 161ltletrd 10076 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) < ((𝐸 · 𝑗) + (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)))))
1638, 8remulcld 9949 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸 · 𝐸) ∈ ℝ)
16422, 163readdcld 9948 . . . 4 (𝜑 → ((𝐸 · 𝑗) + (𝐸 · 𝐸)) ∈ ℝ)
16564, 79subcld 10271 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁𝑗) ∈ ℂ)
166165, 65addcld 9938 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁𝑗) + 1) ∈ ℂ)
16784, 166, 121mul12d 10124 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 · (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 / 𝑁))) = (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁))))
168167oveq2d 6565 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸 · 𝑗) + (𝐸 · (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 / 𝑁)))) = ((𝐸 · 𝑗) + (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)))))
16927, 28remulcld 9949 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 / 𝑁)) ∈ ℝ)
1708, 169remulcld 9949 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 · (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 / 𝑁))) ∈ ℝ)
171166, 84, 64, 120div12d 10716 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 / 𝑁)) = (𝐸 · (((𝑁𝑗) + 1) / 𝑁)))
17226, 21resubcld 10337 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 − 𝑗) ∈ ℝ)
173 elfzle1 12215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝑗)
17415, 173syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ≤ 𝑗)
17526, 21suble0d 10497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((1 − 𝑗) ≤ 0 ↔ 1 ≤ 𝑗))
176174, 175mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 − 𝑗) ≤ 0)
177172, 92, 24, 176leadd2dd 10521 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 + (1 − 𝑗)) ≤ (𝑁 + 0))
17864, 65, 79addsub12d 10294 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁 + (1 − 𝑗)) = (1 + (𝑁𝑗)))
17965, 165addcomd 10117 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 + (𝑁𝑗)) = ((𝑁𝑗) + 1))
180178, 179eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 + (1 − 𝑗)) = ((𝑁𝑗) + 1))
18164addid1d 10115 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 + 0) = 𝑁)
182177, 180, 1813brtr3d 4614 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁𝑗) + 1) ≤ 𝑁)
18323nngt0d 10941 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < 𝑁)
184 lediv1 10767 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁𝑗) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (((𝑁𝑗) + 1) ≤ 𝑁 ↔ (((𝑁𝑗) + 1) / 𝑁) ≤ (𝑁 / 𝑁)))
18527, 24, 24, 183, 184syl112anc 1322 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑁𝑗) + 1) ≤ 𝑁 ↔ (((𝑁𝑗) + 1) / 𝑁) ≤ (𝑁 / 𝑁)))
186182, 185mpbid 221 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑁𝑗) + 1) / 𝑁) ≤ (𝑁 / 𝑁))
18764, 120dividd 10678 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 / 𝑁) = 1)
188186, 187breqtrd 4609 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑁𝑗) + 1) / 𝑁) ≤ 1)
18927, 23nndivred 10946 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑁𝑗) + 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
190189, 26, 7lemul2d 11792 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑁𝑗) + 1) / 𝑁) ≤ 1 ↔ (𝐸 · (((𝑁𝑗) + 1) / 𝑁)) ≤ (𝐸 · 1)))
191188, 190mpbid 221 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 · (((𝑁𝑗) + 1) / 𝑁)) ≤ (𝐸 · 1))
192191, 139breqtrd 4609 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 · (((𝑁𝑗) + 1) / 𝑁)) ≤ 𝐸)
193171, 192eqbrtrd 4605 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 / 𝑁)) ≤ 𝐸)
194169, 8, 7lemul2d 11792 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 / 𝑁)) ≤ 𝐸 ↔ (𝐸 · (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 / 𝑁))) ≤ (𝐸 · 𝐸)))
195193, 194mpbid 221 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸 · (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 / 𝑁))) ≤ (𝐸 · 𝐸))
196170, 163, 22, 195leadd2dd 10521 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸 · 𝑗) + (𝐸 · (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 / 𝑁)))) ≤ ((𝐸 · 𝑗) + (𝐸 · 𝐸)))
197168, 196eqbrtrrd 4607 . . . 4 (𝜑 → ((𝐸 · 𝑗) + (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)))) ≤ ((𝐸 · 𝑗) + (𝐸 · 𝐸)))
19884, 79mulcomd 9940 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸 · 𝑗) = (𝑗 · 𝐸))
199198oveq1d 6564 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸 · 𝑗) + (𝐸 · 𝐸)) = ((𝑗 · 𝐸) + (𝐸 · 𝐸)))
20079, 84, 84adddird 9944 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑗 + 𝐸) · 𝐸) = ((𝑗 · 𝐸) + (𝐸 · 𝐸)))
201199, 200eqtr4d 2647 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸 · 𝑗) + (𝐸 · 𝐸)) = ((𝑗 + 𝐸) · 𝐸))
20221, 8readdcld 9948 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗 + 𝐸) ∈ ℝ)
203 stoweidlem11.8 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 < (1 / 3))
2048, 36, 21, 203ltadd2dd 10075 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗 + 𝐸) < (𝑗 + (1 / 3)))
205202, 37, 7, 204ltmul1dd 11803 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑗 + 𝐸) · 𝐸) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
206201, 205eqbrtrd 4605 . . . 4 (𝜑 → ((𝐸 · 𝑗) + (𝐸 · 𝐸)) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
20731, 164, 38, 197, 206lelttrd 10074 . . 3 (𝜑 → ((𝐸 · 𝑗) + (((𝑁𝑗) + 1) · (𝐸 · (𝐸 / 𝑁)))) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
20814, 31, 38, 162, 207lttrd 10077 . 2 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
2095, 208eqbrtrd 4605 1 (𝜑 → ((𝑡𝑇 ↦ Σ𝑖 ∈ (0...𝑁)(𝐸 · ((𝑋𝑖)‘𝑡)))‘𝑡) < ((𝑗 + (1 / 3)) · 𝐸))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  3c3 10948  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ℝ+crp 11708  ...cfz 12197  #chash 12979  Σcsu 14264 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265 This theorem is referenced by:  stoweidlem34  38927
 Copyright terms: Public domain W3C validator