Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | neg1cn 11001 |
. . . 4
⊢ -1 ∈
ℂ |
2 | 1 | a1i 11 |
. . 3
⊢ (𝜑 → -1 ∈
ℂ) |
3 | | neg1ne0 11003 |
. . . 4
⊢ -1 ≠
0 |
4 | 3 | a1i 11 |
. . 3
⊢ (𝜑 → -1 ≠
0) |
5 | | fzfid 12634 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∈ Fin) |
6 | | lgseisen.2 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (ℙ ∖
{2})) |
7 | | eldifi 3694 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2})
→ 𝑄 ∈
ℙ) |
8 | | prmnn 15226 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈
ℕ) |
9 | 6, 7, 8 | 3syl 18 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ) |
10 | 9 | nnred 10912 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ) |
11 | | lgseisen.1 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖
{2})) |
12 | | eldifi 3694 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})
→ 𝑃 ∈
ℙ) |
13 | | prmnn 15226 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈
ℕ) |
14 | 11, 12, 13 | 3syl 18 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ) |
15 | 10, 14 | nndivred 10946 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑄 / 𝑃) ∈ ℝ) |
16 | 15 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 / 𝑃) ∈ ℝ) |
17 | | 2z 11286 |
. . . . . . . 8
⊢ 2 ∈
ℤ |
18 | | elfzelz 12213 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) → 𝑢 ∈ ℤ) |
19 | 18 | adantl 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑢 ∈ ℤ) |
20 | | zmulcl 11303 |
. . . . . . . 8
⊢ ((2
∈ ℤ ∧ 𝑢
∈ ℤ) → (2 · 𝑢) ∈ ℤ) |
21 | 17, 19, 20 | sylancr 694 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑢) ∈ ℤ) |
22 | 21 | zred 11358 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑢) ∈ ℝ) |
23 | 16, 22 | remulcld 9949 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ) |
24 | 23 | flcld 12461 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℤ) |
25 | 5, 24 | fsumzcl 14313 |
. . 3
⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℤ) |
26 | 2, 4, 25 | expclzd 12875 |
. 2
⊢ (𝜑 → (-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℂ) |
27 | | fzfid 12634 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin) |
28 | | fzfid 12634 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin) |
29 | | xpfi 8116 |
. . . . . . 7
⊢
(((1...𝑀) ∈ Fin
∧ (1...𝑁) ∈ Fin)
→ ((1...𝑀) ×
(1...𝑁)) ∈
Fin) |
30 | 27, 28, 29 | syl2anc 691 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((1...𝑀) × (1...𝑁)) ∈ Fin) |
31 | | lgsquad.6 |
. . . . . . 7
⊢ 𝑆 = {〈𝑥, 𝑦〉 ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))} |
32 | | opabssxp 5116 |
. . . . . . 7
⊢
{〈𝑥, 𝑦〉 ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))} ⊆ ((1...𝑀) × (1...𝑁)) |
33 | 31, 32 | eqsstri 3598 |
. . . . . 6
⊢ 𝑆 ⊆ ((1...𝑀) × (1...𝑁)) |
34 | | ssfi 8065 |
. . . . . 6
⊢
((((1...𝑀) ×
(1...𝑁)) ∈ Fin ∧
𝑆 ⊆ ((1...𝑀) × (1...𝑁))) → 𝑆 ∈ Fin) |
35 | 30, 33, 34 | sylancl 693 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin) |
36 | | ssrab2 3650 |
. . . . 5
⊢ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧)} ⊆ 𝑆 |
37 | | ssfi 8065 |
. . . . 5
⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧)} ⊆ 𝑆) → {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧)} ∈
Fin) |
38 | 35, 36, 37 | sylancl 693 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧)} ∈
Fin) |
39 | | hashcl 13009 |
. . . 4
⊢ ({𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧)} ∈ Fin
→ (#‘{𝑧 ∈
𝑆 ∣ ¬ 2 ∥
(1st ‘𝑧)})
∈ ℕ0) |
40 | 38, 39 | syl 17 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (#‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧)}) ∈
ℕ0) |
41 | | expcl 12740 |
. . 3
⊢ ((-1
∈ ℂ ∧ (#‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧)}) ∈
ℕ0) → (-1↑(#‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧)})) ∈
ℂ) |
42 | 1, 40, 41 | sylancr 694 |
. 2
⊢ (𝜑 → (-1↑(#‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧)})) ∈
ℂ) |
43 | 40 | nn0zd 11356 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (#‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧)}) ∈
ℤ) |
44 | 2, 4, 43 | expne0d 12876 |
. 2
⊢ (𝜑 → (-1↑(#‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧)})) ≠
0) |
45 | 42, 44 | recidd 10675 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((-1↑(#‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧)})) · (1 /
(-1↑(#‘{𝑧 ∈
𝑆 ∣ ¬ 2 ∥
(1st ‘𝑧)})))) = 1) |
46 | | 1div1e1 10596 |
. . . . . . . . 9
⊢ (1 / 1) =
1 |
47 | 46 | negeqi 10153 |
. . . . . . . 8
⊢ -(1 / 1)
= -1 |
48 | | ax-1cn 9873 |
. . . . . . . . 9
⊢ 1 ∈
ℂ |
49 | | ax-1ne0 9884 |
. . . . . . . . 9
⊢ 1 ≠
0 |
50 | | divneg2 10628 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 /
-1)) |
51 | 48, 48, 49, 50 | mp3an 1416 |
. . . . . . . 8
⊢ -(1 / 1)
= (1 / -1) |
52 | 47, 51 | eqtr3i 2634 |
. . . . . . 7
⊢ -1 = (1 /
-1) |
53 | 52 | oveq1i 6559 |
. . . . . 6
⊢
(-1↑(#‘{𝑧
∈ 𝑆 ∣ ¬ 2
∥ (1st ‘𝑧)})) = ((1 / -1)↑(#‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧)})) |
54 | 2, 4, 43 | exprecd 12878 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((1 /
-1)↑(#‘{𝑧 ∈
𝑆 ∣ ¬ 2 ∥
(1st ‘𝑧)})) = (1 / (-1↑(#‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧)})))) |
55 | 53, 54 | syl5eq 2656 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (-1↑(#‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧)})) = (1 /
(-1↑(#‘{𝑧 ∈
𝑆 ∣ ¬ 2 ∥
(1st ‘𝑧)})))) |
56 | 55 | oveq2d 6565 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((-1↑(#‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧)})) ·
(-1↑(#‘{𝑧 ∈
𝑆 ∣ ¬ 2 ∥
(1st ‘𝑧)}))) = ((-1↑(#‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧)})) · (1 /
(-1↑(#‘{𝑧 ∈
𝑆 ∣ ¬ 2 ∥
(1st ‘𝑧)}))))) |
57 | 35 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑆 ∈ Fin) |
58 | | ssrab2 3650 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ⊆ 𝑆 |
59 | | ssfi 8065 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑆 ∈ Fin ∧ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ⊆ 𝑆) → {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ∈ Fin) |
60 | 57, 58, 59 | sylancl 693 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ∈ Fin) |
61 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑧 = 𝑣 → (1st ‘𝑧) = (1st ‘𝑣)) |
62 | 61 | eqeq1d 2612 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑧 = 𝑣 → ((1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ↔ (1st ‘𝑣) = (𝑃 − (2 · 𝑢)))) |
63 | 62 | elrab 3331 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ↔ (𝑣 ∈ 𝑆 ∧ (1st ‘𝑣) = (𝑃 − (2 · 𝑢)))) |
64 | 63 | simprbi 479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} → (1st ‘𝑣) = (𝑃 − (2 · 𝑢))) |
65 | 64 | ad2antll 761 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → (1st ‘𝑣) = (𝑃 − (2 · 𝑢))) |
66 | 65 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → (𝑃 − (1st ‘𝑣)) = (𝑃 − (𝑃 − (2 · 𝑢)))) |
67 | 14 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ) |
68 | 67 | nncnd 10913 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℂ) |
69 | 68 | adantrr 749 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → 𝑃 ∈ ℂ) |
70 | 21 | zcnd 11359 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑢) ∈ ℂ) |
71 | 70 | adantrr 749 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → (2 · 𝑢) ∈ ℂ) |
72 | 69, 71 | nncand 10276 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → (𝑃 − (𝑃 − (2 · 𝑢))) = (2 · 𝑢)) |
73 | 66, 72 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → (𝑃 − (1st ‘𝑣)) = (2 · 𝑢)) |
74 | 73 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → ((𝑃 − (1st ‘𝑣)) / 2) = ((2 · 𝑢) / 2)) |
75 | 19 | zcnd 11359 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑢 ∈ ℂ) |
76 | 75 | adantrr 749 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → 𝑢 ∈ ℂ) |
77 | | 2cnd 10970 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → 2 ∈
ℂ) |
78 | | 2ne0 10990 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 2 ≠
0 |
79 | 78 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → 2 ≠ 0) |
80 | 76, 77, 79 | divcan3d 10685 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → ((2 · 𝑢) / 2) = 𝑢) |
81 | 74, 80 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) → ((𝑃 − (1st ‘𝑣)) / 2) = 𝑢) |
82 | 81 | ralrimivva 2954 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)∀𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ((𝑃 − (1st ‘𝑣)) / 2) = 𝑢) |
83 | | invdisj 4571 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(∀𝑢 ∈
(((⌊‘(𝑀 / 2)) +
1)...𝑀)∀𝑣 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ((𝑃 − (1st ‘𝑣)) / 2) = 𝑢 → Disj 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀){𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}) |
84 | 82, 83 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → Disj 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀){𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}) |
85 | 5, 60, 84 | hashiun 14395 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (#‘∪ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀){𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}) = Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(#‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) |
86 | | iunrab 4503 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ∪ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀){𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} = {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ∃𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} |
87 | | eldifsni 4261 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})
→ 𝑃 ≠
2) |
88 | 11, 87 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 2) |
89 | 88 | necomd 2837 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → 2 ≠ 𝑃) |
90 | 89 | neneqd 2787 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → ¬ 2 = 𝑃) |
91 | 90 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ¬ 2 = 𝑃) |
92 | | uzid 11578 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (2 ∈
ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2)) |
93 | 17, 92 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ 2 ∈
(ℤ≥‘2) |
94 | 11, 12 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ) |
95 | 94 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℙ) |
96 | | dvdsprm 15253 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((2
∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 ∥ 𝑃 ↔ 2 = 𝑃)) |
97 | 93, 95, 96 | sylancr 694 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 ∥ 𝑃 ↔ 2 = 𝑃)) |
98 | 91, 97 | mtbird 314 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ¬ 2 ∥ 𝑃) |
99 | 14 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℕ) |
100 | 99 | nncnd 10913 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℂ) |
101 | 21 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑢) ∈ ℤ) |
102 | 101 | zcnd 11359 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑢) ∈ ℂ) |
103 | 100, 102 | npcand 10275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) + (2 · 𝑢)) = 𝑃) |
104 | 103 | breq2d 4595 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 ∥ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) + (2 · 𝑢)) ↔ 2 ∥ 𝑃)) |
105 | 98, 104 | mtbird 314 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ¬ 2 ∥ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) + (2 · 𝑢))) |
106 | 18 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑢 ∈ ℤ) |
107 | | dvdsmul1 14841 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((2
∈ ℤ ∧ 𝑢
∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 𝑢)) |
108 | 17, 106, 107 | sylancr 694 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 2 ∥ (2 · 𝑢)) |
109 | 17 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 2 ∈ ℤ) |
110 | 99 | nnzd 11357 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℤ) |
111 | 110, 101 | zsubcld 11363 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℤ) |
112 | | dvds2add 14853 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((2
∈ ℤ ∧ (𝑃
− (2 · 𝑢))
∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) ∈ ℤ) → ((2 ∥ (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∧ 2 ∥ (2 ·
𝑢)) → 2 ∥
((𝑃 − (2 ·
𝑢)) + (2 · 𝑢)))) |
113 | 109, 111,
101, 112 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 ∥ (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∧ 2 ∥ (2 · 𝑢)) → 2 ∥ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) + (2 · 𝑢)))) |
114 | 108, 113 | mpan2d 706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 ∥ (𝑃 − (2 · 𝑢)) → 2 ∥ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) + (2 · 𝑢)))) |
115 | 105, 114 | mtod 188 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ¬ 2 ∥ (𝑃 − (2 · 𝑢))) |
116 | | breq2 4587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)) → (2 ∥ (1st
‘𝑧) ↔ 2 ∥
(𝑃 − (2 ·
𝑢)))) |
117 | 116 | notbid 307 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)) → (¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧) ↔ ¬ 2
∥ (𝑃 − (2
· 𝑢)))) |
118 | 115, 117 | syl5ibrcom 236 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)) → ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧))) |
119 | 118 | rexlimdva 3013 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (∃𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)) → ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧))) |
120 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑆) |
121 | 33, 120 | sseldi 3566 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ ((1...𝑀) × (1...𝑁))) |
122 | | xp1st 7089 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑧 ∈ ((1...𝑀) × (1...𝑁)) → (1st ‘𝑧) ∈ (1...𝑀)) |
123 | 121, 122 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (1st ‘𝑧) ∈ (1...𝑀)) |
124 | | elfzelz 12213 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((1st ‘𝑧) ∈ (1...𝑀) → (1st ‘𝑧) ∈
ℤ) |
125 | | odd2np1 14903 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((1st ‘𝑧) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥
(1st ‘𝑧)
↔ ∃𝑛 ∈
ℤ ((2 · 𝑛) +
1) = (1st ‘𝑧))) |
126 | 123, 124,
125 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧) ↔
∃𝑛 ∈ ℤ ((2
· 𝑛) + 1) =
(1st ‘𝑧))) |
127 | | lgsquad.4 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ 𝑀 = ((𝑃 − 1) / 2) |
128 | | oddprm 15353 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})
→ ((𝑃 − 1) / 2)
∈ ℕ) |
129 | 11, 128 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈
ℕ) |
130 | 127, 129 | syl5eqel 2692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ) |
131 | 130 | nnred 10912 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ) |
132 | 131 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → 𝑀 ∈
ℝ) |
133 | 132 | rehalfcld 11156 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → (𝑀 / 2) ∈
ℝ) |
134 | | reflcl 12459 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑀 / 2) ∈ ℝ →
(⌊‘(𝑀 / 2))
∈ ℝ) |
135 | 133, 134 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) →
(⌊‘(𝑀 / 2))
∈ ℝ) |
136 | 130 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → 𝑀 ∈
ℕ) |
137 | 136 | nnzd 11357 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → 𝑀 ∈
ℤ) |
138 | | simprl 790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → 𝑛 ∈
ℤ) |
139 | 137, 138 | zsubcld 11363 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → (𝑀 − 𝑛) ∈ ℤ) |
140 | 139 | zred 11358 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → (𝑀 − 𝑛) ∈ ℝ) |
141 | | flle 12462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑀 / 2) ∈ ℝ →
(⌊‘(𝑀 / 2))
≤ (𝑀 /
2)) |
142 | 133, 141 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) →
(⌊‘(𝑀 / 2))
≤ (𝑀 /
2)) |
143 | | zre 11258 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈
ℝ) |
144 | 143 | ad2antrl 760 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → 𝑛 ∈
ℝ) |
145 | | simprr 792 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → ((2
· 𝑛) + 1) =
(1st ‘𝑧)) |
146 | 123 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) →
(1st ‘𝑧)
∈ (1...𝑀)) |
147 | 145, 146 | eqeltrd 2688 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → ((2
· 𝑛) + 1) ∈
(1...𝑀)) |
148 | | elfzle2 12216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((2
· 𝑛) + 1) ∈
(1...𝑀) → ((2 ·
𝑛) + 1) ≤ 𝑀) |
149 | 147, 148 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → ((2
· 𝑛) + 1) ≤ 𝑀) |
150 | | zmulcl 11303 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((2
∈ ℤ ∧ 𝑛
∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ) |
151 | 17, 138, 150 | sylancr 694 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → (2
· 𝑛) ∈
ℤ) |
152 | | zltp1le 11304 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((2
· 𝑛) ∈ ℤ
∧ 𝑀 ∈ ℤ)
→ ((2 · 𝑛) <
𝑀 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) ≤ 𝑀)) |
153 | 151, 137,
152 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → ((2
· 𝑛) < 𝑀 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) ≤ 𝑀)) |
154 | 149, 153 | mpbird 246 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → (2
· 𝑛) < 𝑀) |
155 | | 2re 10967 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ 2 ∈
ℝ |
156 | 155 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → 2 ∈
ℝ) |
157 | | 2pos 10989 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ 0 <
2 |
158 | 157 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → 0 <
2) |
159 | | ltmuldiv2 10776 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (2 ∈
ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑛) < 𝑀 ↔ 𝑛 < (𝑀 / 2))) |
160 | 144, 132,
156, 158, 159 | syl112anc 1322 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → ((2
· 𝑛) < 𝑀 ↔ 𝑛 < (𝑀 / 2))) |
161 | 154, 160 | mpbid 221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → 𝑛 < (𝑀 / 2)) |
162 | 133 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → (𝑀 / 2) ∈
ℂ) |
163 | 162, 162 | pncan2d 10273 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → (((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2)) − (𝑀 / 2)) = (𝑀 / 2)) |
164 | 130 | nncnd 10913 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ) |
165 | 164 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → 𝑀 ∈
ℂ) |
166 | 165 | 2halvesd 11155 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2)) = 𝑀) |
167 | 166 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → (((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2)) − (𝑀 / 2)) = (𝑀 − (𝑀 / 2))) |
168 | 163, 167 | eqtr3d 2646 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → (𝑀 / 2) = (𝑀 − (𝑀 / 2))) |
169 | 161, 168 | breqtrd 4609 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → 𝑛 < (𝑀 − (𝑀 / 2))) |
170 | 144, 132,
133, 169 | ltsub13d 10512 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → (𝑀 / 2) < (𝑀 − 𝑛)) |
171 | 135, 133,
140, 142, 170 | lelttrd 10074 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) →
(⌊‘(𝑀 / 2))
< (𝑀 − 𝑛)) |
172 | 133 | flcld 12461 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) →
(⌊‘(𝑀 / 2))
∈ ℤ) |
173 | | zltp1le 11304 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((⌊‘(𝑀
/ 2)) ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 𝑛) ∈ ℤ) →
((⌊‘(𝑀 / 2))
< (𝑀 − 𝑛) ↔ ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ≤ (𝑀 − 𝑛))) |
174 | 172, 139,
173 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) →
((⌊‘(𝑀 / 2))
< (𝑀 − 𝑛) ↔ ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ≤ (𝑀 − 𝑛))) |
175 | 171, 174 | mpbid 221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) →
((⌊‘(𝑀 / 2)) +
1) ≤ (𝑀 − 𝑛)) |
176 | | 2t0e0 11060 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (2
· 0) = 0 |
177 | | 2cn 10968 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ 2 ∈
ℂ |
178 | | zcn 11259 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈
ℂ) |
179 | 178 | ad2antrl 760 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → 𝑛 ∈
ℂ) |
180 | | mulcl 9899 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((2
∈ ℂ ∧ 𝑛
∈ ℂ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ) |
181 | 177, 179,
180 | sylancr 694 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → (2
· 𝑛) ∈
ℂ) |
182 | | pncan 10166 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((2
· 𝑛) ∈ ℂ
∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛)) |
183 | 181, 48, 182 | sylancl 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → (((2
· 𝑛) + 1) − 1)
= (2 · 𝑛)) |
184 | | elfznn 12241 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((2
· 𝑛) + 1) ∈
(1...𝑀) → ((2 ·
𝑛) + 1) ∈
ℕ) |
185 | | nnm1nn0 11211 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((2
· 𝑛) + 1) ∈
ℕ → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) ∈
ℕ0) |
186 | 147, 184,
185 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → (((2
· 𝑛) + 1) − 1)
∈ ℕ0) |
187 | 183, 186 | eqeltrrd 2689 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → (2
· 𝑛) ∈
ℕ0) |
188 | 187 | nn0ge0d 11231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → 0 ≤
(2 · 𝑛)) |
189 | 176, 188 | syl5eqbr 4618 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → (2
· 0) ≤ (2 · 𝑛)) |
190 | | 0red 9920 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → 0 ∈
ℝ) |
191 | | lemul2 10755 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ 𝑛
∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (0 ≤ 𝑛 ↔ (2 · 0) ≤ (2
· 𝑛))) |
192 | 190, 144,
156, 158, 191 | syl112anc 1322 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → (0 ≤
𝑛 ↔ (2 · 0)
≤ (2 · 𝑛))) |
193 | 189, 192 | mpbird 246 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → 0 ≤
𝑛) |
194 | 132, 144 | subge02d 10498 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → (0 ≤
𝑛 ↔ (𝑀 − 𝑛) ≤ 𝑀)) |
195 | 193, 194 | mpbid 221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → (𝑀 − 𝑛) ≤ 𝑀) |
196 | 172 | peano2zd 11361 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) →
((⌊‘(𝑀 / 2)) +
1) ∈ ℤ) |
197 | | elfz 12203 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑀 − 𝑛) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ∈ ℤ ∧
𝑀 ∈ ℤ) →
((𝑀 − 𝑛) ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ↔ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ≤ (𝑀 − 𝑛) ∧ (𝑀 − 𝑛) ≤ 𝑀))) |
198 | 139, 196,
137, 197 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → ((𝑀 − 𝑛) ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ↔ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ≤ (𝑀 − 𝑛) ∧ (𝑀 − 𝑛) ≤ 𝑀))) |
199 | 175, 195,
198 | mpbir2and 959 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → (𝑀 − 𝑛) ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) |
200 | 94 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → 𝑃 ∈
ℙ) |
201 | 200, 13 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → 𝑃 ∈
ℕ) |
202 | 201 | nncnd 10913 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → 𝑃 ∈
ℂ) |
203 | | peano2cn 10087 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((2
· 𝑛) ∈ ℂ
→ ((2 · 𝑛) + 1)
∈ ℂ) |
204 | 181, 203 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → ((2
· 𝑛) + 1) ∈
ℂ) |
205 | 202, 204 | nncand 10276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → (𝑃 − (𝑃 − ((2 · 𝑛) + 1))) = ((2 · 𝑛) + 1)) |
206 | | 1cnd 9935 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → 1 ∈
ℂ) |
207 | 202, 181,
206 | sub32d 10303 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → ((𝑃 − (2 · 𝑛)) − 1) = ((𝑃 − 1) − (2 ·
𝑛))) |
208 | 202, 181,
206 | subsub4d 10302 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → ((𝑃 − (2 · 𝑛)) − 1) = (𝑃 − ((2 · 𝑛) + 1))) |
209 | | 2cnd 10970 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → 2 ∈
ℂ) |
210 | 209, 165,
179 | subdid 10365 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → (2
· (𝑀 − 𝑛)) = ((2 · 𝑀) − (2 · 𝑛))) |
211 | 127 | oveq2i 6560 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (2
· 𝑀) = (2 ·
((𝑃 − 1) /
2)) |
212 | 14 | nnzd 11357 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ) |
213 | 212 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → 𝑃 ∈
ℤ) |
214 | | peano2zm 11297 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 − 1) ∈
ℤ) |
215 | 213, 214 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → (𝑃 − 1) ∈
ℤ) |
216 | 215 | zcnd 11359 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → (𝑃 − 1) ∈
ℂ) |
217 | 78 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → 2 ≠
0) |
218 | 216, 209,
217 | divcan2d 10682 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → (2
· ((𝑃 − 1) /
2)) = (𝑃 −
1)) |
219 | 211, 218 | syl5eq 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → (2
· 𝑀) = (𝑃 − 1)) |
220 | 219 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → ((2
· 𝑀) − (2
· 𝑛)) = ((𝑃 − 1) − (2 ·
𝑛))) |
221 | 210, 220 | eqtr2d 2645 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → ((𝑃 − 1) − (2 ·
𝑛)) = (2 · (𝑀 − 𝑛))) |
222 | 207, 208,
221 | 3eqtr3d 2652 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → (𝑃 − ((2 · 𝑛) + 1)) = (2 · (𝑀 − 𝑛))) |
223 | 222 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) → (𝑃 − (𝑃 − ((2 · 𝑛) + 1))) = (𝑃 − (2 · (𝑀 − 𝑛)))) |
224 | 205, 223,
145 | 3eqtr3rd 2653 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) →
(1st ‘𝑧) =
(𝑃 − (2 ·
(𝑀 − 𝑛)))) |
225 | | oveq2 6557 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑢 = (𝑀 − 𝑛) → (2 · 𝑢) = (2 · (𝑀 − 𝑛))) |
226 | 225 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑢 = (𝑀 − 𝑛) → (𝑃 − (2 · 𝑢)) = (𝑃 − (2 · (𝑀 − 𝑛)))) |
227 | 226 | eqeq2d 2620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑢 = (𝑀 − 𝑛) → ((1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ↔ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · (𝑀 − 𝑛))))) |
228 | 227 | rspcev 3282 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑀 − 𝑛) ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∧ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · (𝑀 − 𝑛)))) → ∃𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))) |
229 | 199, 224,
228 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧))) →
∃𝑢 ∈
(((⌊‘(𝑀 / 2)) +
1)...𝑀)(1st
‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))) |
230 | 229 | rexlimdvaa 3014 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = (1st
‘𝑧) →
∃𝑢 ∈
(((⌊‘(𝑀 / 2)) +
1)...𝑀)(1st
‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)))) |
231 | 126, 230 | sylbid 229 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧) →
∃𝑢 ∈
(((⌊‘(𝑀 / 2)) +
1)...𝑀)(1st
‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)))) |
232 | 119, 231 | impbid 201 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (∃𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ↔ ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧))) |
233 | 232 | rabbidva 3163 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ∃𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} = {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧)}) |
234 | 86, 233 | syl5eq 2656 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ∪ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀){𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} = {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧)}) |
235 | 234 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (#‘∪ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀){𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}) = (#‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧)})) |
236 | 31 | relopabi 5167 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ Rel 𝑆 |
237 | | relss 5129 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ({𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ⊆ 𝑆 → (Rel 𝑆 → Rel {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))})) |
238 | 58, 236, 237 | mp2 9 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ Rel
{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} |
239 | | relxp 5150 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ Rel
({(𝑃 − (2 ·
𝑢))} × (1...((2
· 𝑁) −
(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) |
240 | 31 | eleq2i 2680 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝑆 ↔ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ {〈𝑥, 𝑦〉 ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))}) |
241 | | opabid 4907 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉 ∈ {〈𝑥, 𝑦〉 ∣ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))} ↔ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))) |
242 | 240, 241 | bitri 263 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝑆 ↔ ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄))) |
243 | | anass 679 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁) ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄)) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ≤ 𝑁 ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄)))) |
244 | 24 | peano2zd 11361 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ∈ ℤ) |
245 | 244 | zred 11358 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ∈ ℝ) |
246 | 245 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) →
((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ∈
ℝ) |
247 | 10 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ ℝ) |
248 | | nnre 10904 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈
ℝ) |
249 | 248 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℝ) |
250 | | lesub 10386 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
((((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑄 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) →
(((⌊‘((𝑄 /
𝑃) · (2 ·
𝑢))) + 1) ≤ (𝑄 − 𝑦) ↔ 𝑦 ≤ (𝑄 − ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1)))) |
251 | 246, 247,
249, 250 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) →
(((⌊‘((𝑄 /
𝑃) · (2 ·
𝑢))) + 1) ≤ (𝑄 − 𝑦) ↔ 𝑦 ≤ (𝑄 − ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1)))) |
252 | 10 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑄 ∈ ℝ) |
253 | 252 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑄 ∈ ℂ) |
254 | 68, 253 | mulcomd 9940 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 · 𝑄) = (𝑄 · 𝑃)) |
255 | 70, 253 | mulcomd 9940 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑢) · 𝑄) = (𝑄 · (2 · 𝑢))) |
256 | 67 | nnne0d 10942 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ≠ 0) |
257 | 253, 68, 256 | divcan1d 10681 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 / 𝑃) · 𝑃) = 𝑄) |
258 | 257 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (((𝑄 / 𝑃) · 𝑃) · (2 · 𝑢)) = (𝑄 · (2 · 𝑢))) |
259 | 16 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 / 𝑃) ∈ ℂ) |
260 | 259, 68, 70 | mul32d 10125 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (((𝑄 / 𝑃) · 𝑃) · (2 · 𝑢)) = (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) · 𝑃)) |
261 | 255, 258,
260 | 3eqtr2d 2650 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑢) · 𝑄) = (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) · 𝑃)) |
262 | 254, 261 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 · 𝑄) − ((2 · 𝑢) · 𝑄)) = ((𝑄 · 𝑃) − (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) · 𝑃))) |
263 | 68, 70, 253 | subdird 10366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄) = ((𝑃 · 𝑄) − ((2 · 𝑢) · 𝑄))) |
264 | 23 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℂ) |
265 | 253, 264,
68 | subdird 10366 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) · 𝑃) = ((𝑄 · 𝑃) − (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) · 𝑃))) |
266 | 262, 263,
265 | 3eqtr4d 2654 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄) = ((𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) · 𝑃)) |
267 | 266 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄) = ((𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) · 𝑃)) |
268 | 267 | breq2d 4595 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄) ↔ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) · 𝑃))) |
269 | 23 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ) |
270 | 247, 269 | resubcld 10337 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℝ) |
271 | 67 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℕ) |
272 | 271 | nnred 10912 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑃 ∈ ℝ) |
273 | 271 | nngt0d 10941 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 0 < 𝑃) |
274 | | ltmul1 10752 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃)) → (𝑦 < (𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ↔ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) · 𝑃))) |
275 | 249, 270,
272, 273, 274 | syl112anc 1322 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 < (𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ↔ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) · 𝑃))) |
276 | | ltsub13 10388 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑄 ∈ ℝ ∧ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ) → (𝑦 < (𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ↔ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < (𝑄 − 𝑦))) |
277 | 249, 247,
269, 276 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 < (𝑄 − ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ↔ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < (𝑄 − 𝑦))) |
278 | 268, 275,
277 | 3bitr2d 295 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄) ↔ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < (𝑄 − 𝑦))) |
279 | 9 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑄 ∈ ℕ) |
280 | 279 | nnzd 11357 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑄 ∈ ℤ) |
281 | | nnz 11276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈
ℤ) |
282 | | zsubcl 11296 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑄 − 𝑦) ∈ ℤ) |
283 | 280, 281,
282 | syl2an 493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑄 − 𝑦) ∈ ℤ) |
284 | | fllt 12469 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ ∧ (𝑄 − 𝑦) ∈ ℤ) → (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < (𝑄 − 𝑦) ↔ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < (𝑄 − 𝑦))) |
285 | 269, 283,
284 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < (𝑄 − 𝑦) ↔ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < (𝑄 − 𝑦))) |
286 | 24 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) →
(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈
ℤ) |
287 | | zltp1le 11304 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
(((⌊‘((𝑄
/ 𝑃) · (2 ·
𝑢))) ∈ ℤ ∧
(𝑄 − 𝑦) ∈ ℤ) →
((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < (𝑄 − 𝑦) ↔ ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ≤ (𝑄 − 𝑦))) |
288 | 286, 283,
287 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) →
((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < (𝑄 − 𝑦) ↔ ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ≤ (𝑄 − 𝑦))) |
289 | 278, 285,
288 | 3bitrd 293 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄) ↔ ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1) ≤ (𝑄 − 𝑦))) |
290 | | lgsquad.5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ 𝑁 = ((𝑄 − 1) / 2) |
291 | 290 | oveq2i 6560 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (2
· 𝑁) = (2 ·
((𝑄 − 1) /
2)) |
292 | | peano2rem 10227 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑄 ∈ ℝ → (𝑄 − 1) ∈
ℝ) |
293 | 252, 292 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 − 1) ∈ ℝ) |
294 | 293 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 − 1) ∈ ℂ) |
295 | | 2cnd 10970 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 2 ∈ ℂ) |
296 | 78 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 2 ≠ 0) |
297 | 294, 295,
296 | divcan2d 10682 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · ((𝑄 − 1) / 2)) = (𝑄 − 1)) |
298 | 291, 297 | syl5eq 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑁) = (𝑄 − 1)) |
299 | 298 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = ((𝑄 − 1) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) |
300 | | 1cnd 9935 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 1 ∈ ℂ) |
301 | 24 | zcnd 11359 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℂ) |
302 | 253, 300,
301 | sub32d 10303 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 − 1) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = ((𝑄 − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) − 1)) |
303 | 253, 301,
300 | subsub4d 10302 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) − 1) = (𝑄 − ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1))) |
304 | 299, 302,
303 | 3eqtrd 2648 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = (𝑄 − ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1))) |
305 | 304 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = (𝑄 − ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1))) |
306 | 305 | breq2d 4595 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ↔ 𝑦 ≤ (𝑄 − ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + 1)))) |
307 | 251, 289,
306 | 3bitr4d 299 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄) ↔ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) |
308 | 307 | anbi2d 736 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 ≤ 𝑁 ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄)) ↔ (𝑦 ≤ 𝑁 ∧ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))) |
309 | | 2nn 11062 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ 2 ∈
ℕ |
310 | | oddprm 15353 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2})
→ ((𝑄 − 1) / 2)
∈ ℕ) |
311 | 6, 310 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝜑 → ((𝑄 − 1) / 2) ∈
ℕ) |
312 | 290, 311 | syl5eqel 2692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ) |
313 | | nnmulcl 10920 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((2
∈ ℕ ∧ 𝑁
∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ) |
314 | 309, 312,
313 | sylancr 694 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈
ℕ) |
315 | 314 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ) |
316 | 315 | nnred 10912 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ) |
317 | 312 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ) |
318 | 317 | nnred 10912 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℝ) |
319 | 24 | zred 11358 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℝ) |
320 | 312 | nncnd 10913 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ) |
321 | 320 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ) |
322 | 321 | 2timesd 11152 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁)) |
323 | 322 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = ((𝑁 + 𝑁) − 𝑁)) |
324 | 321, 321 | pncan2d 10273 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑁 + 𝑁) − 𝑁) = 𝑁) |
325 | 323, 324 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑁) − 𝑁) = 𝑁) |
326 | 252 | rehalfcld 11156 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 / 2) ∈ ℝ) |
327 | 252 | ltm1d 10835 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 − 1) < 𝑄) |
328 | 155 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 2 ∈ ℝ) |
329 | 157 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 0 < 2) |
330 | | ltdiv1 10766 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝑄 − 1) ∈ ℝ ∧
𝑄 ∈ ℝ ∧ (2
∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑄 − 1) < 𝑄 ↔ ((𝑄 − 1) / 2) < (𝑄 / 2))) |
331 | 293, 252,
328, 329, 330 | syl112anc 1322 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 − 1) < 𝑄 ↔ ((𝑄 − 1) / 2) < (𝑄 / 2))) |
332 | 327, 331 | mpbid 221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 − 1) / 2) < (𝑄 / 2)) |
333 | 290, 332 | syl5eqbr 4618 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 < (𝑄 / 2)) |
334 | 318, 326,
333 | ltled 10064 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 ≤ (𝑄 / 2)) |
335 | 253, 295,
68, 296 | div32d 10703 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 / 2) · 𝑃) = (𝑄 · (𝑃 / 2))) |
336 | 131 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ) |
337 | 336 | rehalfcld 11156 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑀 / 2) ∈ ℝ) |
338 | | peano2re 10088 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢
((⌊‘(𝑀 /
2)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ∈ ℝ) |
339 | 337, 134,
338 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ∈ ℝ) |
340 | 19 | zred 11358 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑢 ∈ ℝ) |
341 | | flltp1 12463 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝑀 / 2) ∈ ℝ →
(𝑀 / 2) <
((⌊‘(𝑀 / 2)) +
1)) |
342 | 337, 341 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑀 / 2) < ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)) |
343 | | elfzle1 12215 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) → ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ≤ 𝑢) |
344 | 343 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1) ≤ 𝑢) |
345 | 337, 339,
340, 342, 344 | ltletrd 10076 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑀 / 2) < 𝑢) |
346 | | ltdivmul 10777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑢 ∈ ℝ ∧ (2 ∈
ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑀 / 2) < 𝑢 ↔ 𝑀 < (2 · 𝑢))) |
347 | 336, 340,
328, 329, 346 | syl112anc 1322 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑀 / 2) < 𝑢 ↔ 𝑀 < (2 · 𝑢))) |
348 | 345, 347 | mpbid 221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑀 < (2 · 𝑢)) |
349 | 127, 348 | syl5eqbrr 4619 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − 1) / 2) < (2 · 𝑢)) |
350 | 67 | nnred 10912 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℝ) |
351 | | peano2rem 10227 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − 1) ∈
ℝ) |
352 | 350, 351 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ) |
353 | | ltdivmul 10777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (((𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧
(2 · 𝑢) ∈
ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((𝑃 − 1) / 2) < (2 · 𝑢) ↔ (𝑃 − 1) < (2 · (2 ·
𝑢)))) |
354 | 352, 22, 328, 329, 353 | syl112anc 1322 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (((𝑃 − 1) / 2) < (2 · 𝑢) ↔ (𝑃 − 1) < (2 · (2 ·
𝑢)))) |
355 | 349, 354 | mpbid 221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − 1) < (2 · (2 ·
𝑢))) |
356 | 212 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℤ) |
357 | | zmulcl 11303 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((2
∈ ℤ ∧ (2 · 𝑢) ∈ ℤ) → (2 · (2
· 𝑢)) ∈
ℤ) |
358 | 17, 21, 357 | sylancr 694 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · (2 · 𝑢)) ∈
ℤ) |
359 | | zlem1lt 11306 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (2
· (2 · 𝑢))
∈ ℤ) → (𝑃
≤ (2 · (2 · 𝑢)) ↔ (𝑃 − 1) < (2 · (2 ·
𝑢)))) |
360 | 356, 358,
359 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 ≤ (2 · (2 · 𝑢)) ↔ (𝑃 − 1) < (2 · (2 ·
𝑢)))) |
361 | 355, 360 | mpbird 246 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ≤ (2 · (2 · 𝑢))) |
362 | | ledivmul 10778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (2
· 𝑢) ∈ ℝ
∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑃 / 2) ≤ (2 · 𝑢) ↔ 𝑃 ≤ (2 · (2 · 𝑢)))) |
363 | 350, 22, 328, 329, 362 | syl112anc 1322 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 / 2) ≤ (2 · 𝑢) ↔ 𝑃 ≤ (2 · (2 · 𝑢)))) |
364 | 361, 363 | mpbird 246 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 / 2) ≤ (2 · 𝑢)) |
365 | 350 | rehalfcld 11156 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 / 2) ∈ ℝ) |
366 | 279 | nngt0d 10941 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 0 < 𝑄) |
367 | | lemul2 10755 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (2
· 𝑢) ∈ ℝ
∧ (𝑄 ∈ ℝ
∧ 0 < 𝑄)) →
((𝑃 / 2) ≤ (2 ·
𝑢) ↔ (𝑄 · (𝑃 / 2)) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢)))) |
368 | 365, 22, 252, 366, 367 | syl112anc 1322 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 / 2) ≤ (2 · 𝑢) ↔ (𝑄 · (𝑃 / 2)) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢)))) |
369 | 364, 368 | mpbid 221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 · (𝑃 / 2)) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢))) |
370 | 335, 369 | eqbrtrd 4605 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 / 2) · 𝑃) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢))) |
371 | 252, 22 | remulcld 9949 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ) |
372 | 67 | nngt0d 10941 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 0 < 𝑃) |
373 | | lemuldiv 10782 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝑄 / 2) ∈ ℝ ∧
(𝑄 · (2 ·
𝑢)) ∈ ℝ ∧
(𝑃 ∈ ℝ ∧ 0
< 𝑃)) → (((𝑄 / 2) · 𝑃) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ↔ (𝑄 / 2) ≤ ((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃))) |
374 | 326, 371,
350, 372, 373 | syl112anc 1322 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (((𝑄 / 2) · 𝑃) ≤ (𝑄 · (2 · 𝑢)) ↔ (𝑄 / 2) ≤ ((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃))) |
375 | 370, 374 | mpbid 221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 / 2) ≤ ((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃)) |
376 | 253, 70, 68, 256 | div23d 10717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃) = ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) |
377 | 375, 376 | breqtrd 4609 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 / 2) ≤ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) |
378 | 318, 326,
23, 334, 377 | letrd 10073 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 ≤ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) |
379 | 312 | nnzd 11357 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ) |
380 | 379 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ) |
381 | | flge 12468 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ↔ 𝑁 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) |
382 | 23, 380, 381 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑁 ≤ ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ↔ 𝑁 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) |
383 | 378, 382 | mpbid 221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑁 ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) |
384 | 325, 383 | eqbrtrd 4605 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑁) − 𝑁) ≤ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) |
385 | 316, 318,
319, 384 | subled 10509 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ≤ 𝑁) |
386 | 385 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ≤ 𝑁) |
387 | 315 | nnzd 11357 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ) |
388 | 387, 24 | zsubcld 11363 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℤ) |
389 | 388 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℤ) |
390 | 389 | zred 11358 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℝ) |
391 | 312 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ) |
392 | 391 | nnred 10912 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ) |
393 | | letr 10010 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ((2
· 𝑁) −
(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∧ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ≤ 𝑁) → 𝑦 ≤ 𝑁)) |
394 | 249, 390,
392, 393 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∧ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ≤ 𝑁) → 𝑦 ≤ 𝑁)) |
395 | 386, 394 | mpan2d 706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) → 𝑦 ≤ 𝑁)) |
396 | 395 | pm4.71rd 665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ↔ (𝑦 ≤ 𝑁 ∧ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))) |
397 | 308, 396 | bitr4d 270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 ≤ 𝑁 ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄)) ↔ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) |
398 | 397 | pm5.32da 671 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ≤ 𝑁 ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))) |
399 | 398 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (𝑦 ≤ 𝑁 ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))) |
400 | 243, 399 | syl5bb 271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁) ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄)) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))) |
401 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) |
402 | 356, 21 | zsubcld 11363 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℤ) |
403 | | elfzle2 12216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) → 𝑢 ≤ 𝑀) |
404 | 403 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑢 ≤ 𝑀) |
405 | 404, 127 | syl6breq 4624 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑢 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)) |
406 | | lemuldiv2 10783 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝑢 ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧
(2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑢) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑢 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))) |
407 | 340, 352,
328, 329, 406 | syl112anc 1322 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑢) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑢 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))) |
408 | 405, 407 | mpbird 246 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑢) ≤ (𝑃 − 1)) |
409 | 350 | ltm1d 10835 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − 1) < 𝑃) |
410 | 22, 352, 350, 408, 409 | lelttrd 10074 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑢) < 𝑃) |
411 | 22, 350 | posdifd 10493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑢) < 𝑃 ↔ 0 < (𝑃 − (2 · 𝑢)))) |
412 | 410, 411 | mpbid 221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 0 < (𝑃 − (2 · 𝑢))) |
413 | | elnnz 11264 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℕ ↔ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℤ ∧ 0 <
(𝑃 − (2 ·
𝑢)))) |
414 | 402, 412,
413 | sylanbrc 695 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℕ) |
415 | 68, 70, 300 | sub32d 10303 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) − 1) = ((𝑃 − 1) − (2 · 𝑢))) |
416 | 127, 127 | oveq12i 6561 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑀 + 𝑀) = (((𝑃 − 1) / 2) + ((𝑃 − 1) / 2)) |
417 | 67 | nnzd 11357 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑃 ∈ ℤ) |
418 | 417, 214 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ) |
419 | 418 | zcnd 11359 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ) |
420 | 419 | 2halvesd 11155 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (((𝑃 − 1) / 2) + ((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑃 − 1)) |
421 | 416, 420 | syl5eq 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑀 + 𝑀) = (𝑃 − 1)) |
422 | 421 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑀 + 𝑀) − 𝑀) = ((𝑃 − 1) − 𝑀)) |
423 | 164 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ) |
424 | 423, 423 | pncan2d 10273 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑀 + 𝑀) − 𝑀) = 𝑀) |
425 | 422, 424 | eqtr3d 2646 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − 1) − 𝑀) = 𝑀) |
426 | 425, 348 | eqbrtrd 4605 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − 1) − 𝑀) < (2 · 𝑢)) |
427 | 352, 336,
22, 426 | ltsub23d 10511 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − 1) − (2 · 𝑢)) < 𝑀) |
428 | 415, 427 | eqbrtrd 4605 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) − 1) < 𝑀) |
429 | 130 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ) |
430 | 429 | nnzd 11357 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ) |
431 | | zlem1lt 11306 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ≤ 𝑀 ↔ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) − 1) < 𝑀)) |
432 | 402, 430,
431 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ≤ 𝑀 ↔ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) − 1) < 𝑀)) |
433 | 428, 432 | mpbird 246 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − (2 · 𝑢)) ≤ 𝑀) |
434 | | fznn 12278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ (1...𝑀) ↔ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℕ ∧ (𝑃 − (2 · 𝑢)) ≤ 𝑀))) |
435 | 430, 434 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ (1...𝑀) ↔ ((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℕ ∧ (𝑃 − (2 · 𝑢)) ≤ 𝑀))) |
436 | 414, 433,
435 | mpbir2and 959 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ (1...𝑀)) |
437 | 436 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ (1...𝑀)) |
438 | 401, 437 | eqeltrd 2688 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → 𝑥 ∈ (1...𝑀)) |
439 | 438 | biantrurd 528 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (𝑦 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)))) |
440 | 379 | ad2antrr 758 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → 𝑁 ∈ ℤ) |
441 | | fznn 12278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁))) |
442 | 440, 441 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (𝑦 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁))) |
443 | 439, 442 | bitr3d 269 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → ((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁))) |
444 | 401 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (𝑥 · 𝑄) = ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄)) |
445 | 444 | breq2d 4595 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → ((𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄) ↔ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄))) |
446 | 443, 445 | anbi12d 743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄)) ↔ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝑁) ∧ (𝑦 · 𝑃) < ((𝑃 − (2 · 𝑢)) · 𝑄)))) |
447 | 388 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℤ) |
448 | | fznn 12278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((2
· 𝑁) −
(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℤ →
(𝑦 ∈ (1...((2 ·
𝑁) −
(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))) |
449 | 447, 448 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))) |
450 | 400, 446,
449 | 3bitr4d 299 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (((𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑁)) ∧ (𝑦 · 𝑃) < (𝑥 · 𝑄)) ↔ 𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))) |
451 | 242, 450 | syl5bb 271 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))) |
452 | 451 | pm5.32da 671 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∧ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝑆) ↔ (𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∧ 𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))) |
453 | | vex 3176 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ 𝑥 ∈ V |
454 | | vex 3176 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ 𝑦 ∈ V |
455 | 453, 454 | op1std 7069 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → (1st ‘𝑧) = 𝑥) |
456 | 455 | eqeq1d 2612 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → ((1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ↔ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢)))) |
457 | 456 | elrab 3331 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ↔ (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢)))) |
458 | | ancom 465 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) ↔ (𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∧ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝑆)) |
459 | 457, 458 | bitri 263 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ↔ (𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∧ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝑆)) |
460 | | opelxp 5070 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉 ∈ ({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 ·
𝑁) −
(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) ↔ (𝑥 ∈ {(𝑃 − (2 · 𝑢))} ∧ 𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))) |
461 | | velsn 4141 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 ∈ {(𝑃 − (2 · 𝑢))} ↔ 𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢))) |
462 | 461 | anbi1i 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑥 ∈ {(𝑃 − (2 · 𝑢))} ∧ 𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) ↔ (𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∧ 𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))) |
463 | 460, 462 | bitri 263 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉 ∈ ({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 ·
𝑁) −
(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) ↔ (𝑥 = (𝑃 − (2 · 𝑢)) ∧ 𝑦 ∈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))) |
464 | 452, 459,
463 | 3bitr4g 302 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} ↔ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ ({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))) |
465 | 238, 239,
464 | eqrelrdv 5139 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → {𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))} = ({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))) |
466 | 465 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (#‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}) = (#‘({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))))) |
467 | | fzfid 12634 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) ∈ Fin) |
468 | | xpsnen2g 7938 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑃 − (2 · 𝑢)) ∈ ℤ ∧ (1...((2
· 𝑁) −
(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) ∈ Fin) →
({(𝑃 − (2 ·
𝑢))} × (1...((2
· 𝑁) −
(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) ≈ (1...((2 ·
𝑁) −
(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) |
469 | 402, 467,
468 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) ≈ (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) |
470 | | hasheni 12998 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 ·
𝑁) −
(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) ≈ (1...((2 ·
𝑁) −
(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) → (#‘({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 ·
𝑁) −
(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))) = (#‘(1...((2
· 𝑁) −
(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))) |
471 | 469, 470 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (#‘({(𝑃 − (2 · 𝑢))} × (1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))) = (#‘(1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))))) |
472 | | ltmul2 10753 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((2
· 𝑢) ∈ ℝ
∧ 𝑃 ∈ ℝ
∧ (𝑄 ∈ ℝ
∧ 0 < 𝑄)) → ((2
· 𝑢) < 𝑃 ↔ (𝑄 · (2 · 𝑢)) < (𝑄 · 𝑃))) |
473 | 22, 350, 252, 366, 472 | syl112anc 1322 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((2 · 𝑢) < 𝑃 ↔ (𝑄 · (2 · 𝑢)) < (𝑄 · 𝑃))) |
474 | 410, 473 | mpbid 221 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (𝑄 · (2 · 𝑢)) < (𝑄 · 𝑃)) |
475 | | ltdivmul2 10779 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝑄 · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ ∧ 𝑄 ∈ ℝ ∧ (𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 <
𝑃)) → (((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃) < 𝑄 ↔ (𝑄 · (2 · 𝑢)) < (𝑄 · 𝑃))) |
476 | 371, 252,
350, 372, 475 | syl112anc 1322 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃) < 𝑄 ↔ (𝑄 · (2 · 𝑢)) < (𝑄 · 𝑃))) |
477 | 474, 476 | mpbird 246 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 · (2 · 𝑢)) / 𝑃) < 𝑄) |
478 | 376, 477 | eqbrtrrd 4607 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < 𝑄) |
479 | | fllt 12469 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) ∈ ℝ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < 𝑄 ↔ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < 𝑄)) |
480 | 23, 280, 479 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)) < 𝑄 ↔ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < 𝑄)) |
481 | 478, 480 | mpbid 221 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < 𝑄) |
482 | | zltlem1 11307 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((⌊‘((𝑄
/ 𝑃) · (2 ·
𝑢))) ∈ ℤ ∧
𝑄 ∈ ℤ) →
((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < 𝑄 ↔ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ≤ (𝑄 − 1))) |
483 | 24, 280, 482 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) < 𝑄 ↔ (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ≤ (𝑄 − 1))) |
484 | 481, 483 | mpbid 221 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ≤ (𝑄 − 1)) |
485 | 484, 298 | breqtrrd 4611 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ≤ (2 · 𝑁)) |
486 | | eluz2 11569 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((2
· 𝑁) ∈
(ℤ≥‘(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ↔ ((⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧
(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ≤ (2 · 𝑁))) |
487 | 24, 387, 485, 486 | syl3anbrc 1239 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑁) ∈
(ℤ≥‘(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) |
488 | | uznn0sub 11595 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((2
· 𝑁) ∈
(ℤ≥‘(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) → ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈
ℕ0) |
489 | | hashfz1 12996 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((2
· 𝑁) −
(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) ∈ ℕ0
→ (#‘(1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) = ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) |
490 | 487, 488,
489 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (#‘(1...((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) = ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) |
491 | 466, 471,
490 | 3eqtrd 2648 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (#‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}) = ((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) |
492 | 491 | sumeq2dv 14281 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(#‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ (1st ‘𝑧) = (𝑃 − (2 · 𝑢))}) = Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) |
493 | 85, 235, 492 | 3eqtr3rd 2653 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = (#‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧)})) |
494 | 314 | nncnd 10913 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈
ℂ) |
495 | 494 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ) |
496 | 5, 495, 301 | fsumsub 14362 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)((2 · 𝑁) − (⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) − Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) |
497 | 493, 496 | eqtr3d 2646 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (#‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧)}) = (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) − Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) |
498 | 497 | oveq2d 6565 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (#‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧)})) =
(Σ𝑢 ∈
(((⌊‘(𝑀 / 2)) +
1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) − Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))))) |
499 | 25 | zcnd 11359 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℂ) |
500 | 5, 387 | fsumzcl 14313 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) ∈ ℤ) |
501 | 500 | zcnd 11359 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) ∈ ℂ) |
502 | 499, 501 | pncan3d 10274 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) − Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))))) = Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁)) |
503 | | fsumconst 14364 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀) ∈ Fin ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℂ) →
Σ𝑢 ∈
(((⌊‘(𝑀 / 2)) +
1)...𝑀)(2 · 𝑁) =
((#‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · (2 · 𝑁))) |
504 | 5, 494, 503 | syl2anc 691 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) = ((#‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · (2 · 𝑁))) |
505 | | hashcl 13009 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((⌊‘(𝑀
/ 2)) + 1)...𝑀) ∈ Fin
→ (#‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∈
ℕ0) |
506 | 5, 505 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 →
(#‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∈
ℕ0) |
507 | 506 | nn0cnd 11230 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 →
(#‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∈ ℂ) |
508 | | 2cnd 10970 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℂ) |
509 | 507, 508,
320 | mul12d 10124 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 →
((#‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · (2 · 𝑁)) = (2 ·
((#‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁))) |
510 | 504, 509 | eqtrd 2644 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(2 · 𝑁) = (2 ·
((#‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁))) |
511 | 498, 502,
510 | 3eqtrd 2648 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (#‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧)})) = (2 ·
((#‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁))) |
512 | 511 | oveq2d 6565 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (-1↑(Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (#‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧)}))) = (-1↑(2
· ((#‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)))) |
513 | 17 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℤ) |
514 | 506 | nn0zd 11356 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 →
(#‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) ∈ ℤ) |
515 | 514, 379 | zmulcld 11364 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 →
((#‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁) ∈ ℤ) |
516 | | expmulz 12768 |
. . . . . 6
⊢ (((-1
∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧
((#‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁) ∈ ℤ)) → (-1↑(2
· ((#‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁))) =
((-1↑2)↑((#‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁))) |
517 | 2, 4, 513, 515, 516 | syl22anc 1319 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (-1↑(2 ·
((#‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁))) =
((-1↑2)↑((#‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁))) |
518 | | neg1sqe1 12821 |
. . . . . . 7
⊢
(-1↑2) = 1 |
519 | 518 | oveq1i 6559 |
. . . . . 6
⊢
((-1↑2)↑((#‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)) =
(1↑((#‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)) |
520 | | 1exp 12751 |
. . . . . . 7
⊢
(((#‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁) ∈ ℤ →
(1↑((#‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)) = 1) |
521 | 515, 520 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 →
(1↑((#‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)) = 1) |
522 | 519, 521 | syl5eq 2656 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 →
((-1↑2)↑((#‘(((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)) · 𝑁)) = 1) |
523 | 512, 517,
522 | 3eqtrd 2648 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (-1↑(Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (#‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧)}))) =
1) |
524 | 45, 56, 523 | 3eqtr4d 2654 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((-1↑(#‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧)})) ·
(-1↑(#‘{𝑧 ∈
𝑆 ∣ ¬ 2 ∥
(1st ‘𝑧)}))) = (-1↑(Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (#‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧)})))) |
525 | | expaddz 12766 |
. . . 4
⊢ (((-1
∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) ∈ ℤ ∧ (#‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧)}) ∈
ℤ)) → (-1↑(Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (#‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧)}))) =
((-1↑Σ𝑢 ∈
(((⌊‘(𝑀 / 2)) +
1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) · (-1↑(#‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧)})))) |
526 | 2, 4, 25, 43, 525 | syl22anc 1319 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (-1↑(Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢))) + (#‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧)}))) =
((-1↑Σ𝑢 ∈
(((⌊‘(𝑀 / 2)) +
1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) · (-1↑(#‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧)})))) |
527 | 524, 526 | eqtr2d 2645 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) · (-1↑(#‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧)}))) =
((-1↑(#‘{𝑧
∈ 𝑆 ∣ ¬ 2
∥ (1st ‘𝑧)})) · (-1↑(#‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧)})))) |
528 | 26, 42, 42, 44, 527 | mulcan2ad 10542 |
1
⊢ (𝜑 → (-1↑Σ𝑢 ∈ (((⌊‘(𝑀 / 2)) + 1)...𝑀)(⌊‘((𝑄 / 𝑃) · (2 · 𝑢)))) = (-1↑(#‘{𝑧 ∈ 𝑆 ∣ ¬ 2 ∥ (1st
‘𝑧)}))) |