Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfi1fseqlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfi1fseqlem1 23288
 Description: Lemma for mbfi1fseq 23294. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1fseq.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfi1fseq.2 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
mbfi1fseq.3 𝐽 = (𝑚 ∈ ℕ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))
Assertion
Ref Expression
mbfi1fseqlem1 (𝜑𝐽:(ℕ × ℝ)⟶(0[,)+∞))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑚,𝐹   𝑚,𝐽   𝜑,𝑚,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑦)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem1
StepHypRef Expression
1 mbfi1fseq.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
2 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
3 ffvelrn 6265 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ (0[,)+∞))
41, 2, 3syl2an 493 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐹𝑦) ∈ (0[,)+∞))
5 elrege0 12149 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑦) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑦)))
64, 5sylib 207 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑦)))
76simpld 474 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
8 2nn 11062 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ
9 nnnn0 11176 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ0)
10 nnexpcl 12735 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
118, 9, 10sylancr 694 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
1211ad2antrl 760 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
1312nnred 10912 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (2↑𝑚) ∈ ℝ)
147, 13remulcld 9949 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
15 reflcl 12459 . . . . . 6 (((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℝ)
1614, 15syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℝ)
1716, 12nndivred 10946 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
1812nnnn0d 11228 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (2↑𝑚) ∈ ℕ0)
1918nn0ge0d 11231 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 ≤ (2↑𝑚))
20 mulge0 10425 . . . . . . . 8 ((((𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑦)) ∧ ((2↑𝑚) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑𝑚))) → 0 ≤ ((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)))
216, 13, 19, 20syl12anc 1316 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 ≤ ((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)))
22 flge0nn0 12483 . . . . . . 7 ((((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) → (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℕ0)
2314, 21, 22syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℕ0)
2423nn0ge0d 11231 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 ≤ (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))))
2512nngt0d 10941 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 < (2↑𝑚))
26 divge0 10771 . . . . 5 ((((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)))) ∧ ((2↑𝑚) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑚))) → 0 ≤ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))
2716, 24, 13, 25, 26syl22anc 1319 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 0 ≤ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))
28 elrege0 12149 . . . 4 (((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ (0[,)+∞) ↔ (((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚))))
2917, 27, 28sylanbrc 695 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ (0[,)+∞))
3029ralrimivva 2954 . 2 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℝ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ (0[,)+∞))
31 mbfi1fseq.3 . . 3 𝐽 = (𝑚 ∈ ℕ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))
3231fmpt2 7126 . 2 (∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℝ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝐽:(ℕ × ℝ)⟶(0[,)+∞))
3330, 32sylib 207 1 (𝜑𝐽:(ℕ × ℝ)⟶(0[,)+∞))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   class class class wbr 4583   × cxp 5036  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  ℝcr 9814  0cc0 9815   · cmul 9820  +∞cpnf 9950   < clt 9953   ≤ cle 9954   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  [,)cico 12048  ⌊cfl 12453  ↑cexp 12722  MblFncmbf 23189 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-ico 12052  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723 This theorem is referenced by:  mbfi1fseqlem5  23292
 Copyright terms: Public domain W3C validator