Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  crctcsh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem crctcsh 41027
 Description: Cyclically shifting the indices of a circuit ⟨𝐹, 𝑃⟩ results in a circuit ⟨𝐻, 𝑄⟩. (Contributed by AV, 10-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
crctcsh.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
crctcsh.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
crctcsh.d (𝜑𝐹(CircuitS‘𝐺)𝑃)
crctcsh.n 𝑁 = (#‘𝐹)
crctcsh.s (𝜑𝑆 ∈ (0..^𝑁))
crctcsh.h 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcsh.q 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
Assertion
Ref Expression
crctcsh (𝜑𝐻(CircuitS‘𝐺)𝑄)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝐻
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem crctcsh
StepHypRef Expression
1 crctcsh.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 crctcsh.i . . . 4 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 crctcsh.d . . . 4 (𝜑𝐹(CircuitS‘𝐺)𝑃)
4 crctcsh.n . . . 4 𝑁 = (#‘𝐹)
5 crctcsh.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ (0..^𝑁))
6 crctcsh.h . . . 4 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
7 crctcsh.q . . . 4 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7crctcshlem4 41023 . . 3 ((𝜑𝑆 = 0) → (𝐻 = 𝐹𝑄 = 𝑃))
9 breq12 4588 . . . . 5 ((𝐻 = 𝐹𝑄 = 𝑃) → (𝐻(CircuitS‘𝐺)𝑄𝐹(CircuitS‘𝐺)𝑃))
103, 9syl5ibrcom 236 . . . 4 (𝜑 → ((𝐻 = 𝐹𝑄 = 𝑃) → 𝐻(CircuitS‘𝐺)𝑄))
1110adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑆 = 0) → ((𝐻 = 𝐹𝑄 = 𝑃) → 𝐻(CircuitS‘𝐺)𝑄))
128, 11mpd 15 . 2 ((𝜑𝑆 = 0) → 𝐻(CircuitS‘𝐺)𝑄)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7crctcshtrl 41026 . . . . 5 (𝜑𝐻(TrailS‘𝐺)𝑄)
1413adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝐻(TrailS‘𝐺)𝑄)
157a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)))))
16 breq1 4586 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ (𝑁𝑆) ↔ 0 ≤ (𝑁𝑆)))
17 oveq1 6556 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑥 + 𝑆) = (0 + 𝑆))
1817fveq2d 6107 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
1917oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) = ((0 + 𝑆) − 𝑁))
2019fveq2d 6107 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘((0 + 𝑆) − 𝑁)))
2116, 18, 20ifbieq12d 4063 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if(0 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(0 + 𝑆)), (𝑃‘((0 + 𝑆) − 𝑁))))
22 elfzo0le 12379 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆𝑁)
235, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆𝑁)
241, 2, 3, 4crctcshlem1 41020 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2524nn0red 11229 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
26 elfzoelz 12339 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
275, 26syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ ℤ)
2827zred 11358 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
2925, 28subge0d 10496 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 ≤ (𝑁𝑆) ↔ 𝑆𝑁))
3023, 29mpbird 246 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝑆))
3130adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 0 ≤ (𝑁𝑆))
3231iftrued 4044 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → if(0 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(0 + 𝑆)), (𝑃‘((0 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
3321, 32sylan9eqr 2666 . . . . . 6 (((𝜑𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = 0) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
343adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝐹(CircuitS‘𝐺)𝑃)
351, 2, 34, 4crctcshlem1 41020 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
36 0elfz 12305 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑁))
3735, 36syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 0 ∈ (0...𝑁))
38 fvex 6113 . . . . . . 7 (𝑃‘(0 + 𝑆)) ∈ V
3938a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝑃‘(0 + 𝑆)) ∈ V)
4015, 33, 37, 39fvmptd 6197 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝑄‘0) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
41 breq1 4586 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (#‘𝐻) → (𝑥 ≤ (𝑁𝑆) ↔ (#‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆)))
42 oveq1 6556 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (#‘𝐻) → (𝑥 + 𝑆) = ((#‘𝐻) + 𝑆))
4342fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (#‘𝐻) → (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)) = (𝑃‘((#‘𝐻) + 𝑆)))
4442oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (#‘𝐻) → ((𝑥 + 𝑆) − 𝑁) = (((#‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁))
4544fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (#‘𝐻) → (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(((#‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)))
4641, 43, 45ifbieq12d 4063 . . . . . . . 8 (𝑥 = (#‘𝐻) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = if((#‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘((#‘𝐻) + 𝑆)), (𝑃‘(((#‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁))))
47 elfzoel2 12338 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
48 elfzonn0 12380 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℕ0)
49 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → 𝑆 ∈ ℕ0)
5049anim1i 590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑆 ∈ ℕ0𝑆 ≠ 0))
51 elnnne0 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑆 ∈ ℕ ↔ (𝑆 ∈ ℕ0𝑆 ≠ 0))
5250, 51sylibr 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → 𝑆 ∈ ℕ)
5352nngt0d 10941 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → 0 < 𝑆)
54 zre 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
55 nn0re 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑆 ∈ ℕ0𝑆 ∈ ℝ)
5654, 55anim12ci 589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
5756adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
58 ltsubpos 10399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑆 ↔ (𝑁𝑆) < 𝑁))
5958bicomd 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑁𝑆) < 𝑁 ↔ 0 < 𝑆))
6057, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → ((𝑁𝑆) < 𝑁 ↔ 0 < 𝑆))
6153, 60mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) ∧ 𝑆 ≠ 0) → (𝑁𝑆) < 𝑁)
6261ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → (𝑆 ≠ 0 → (𝑁𝑆) < 𝑁))
6347, 48, 62syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝑆 ≠ 0 → (𝑁𝑆) < 𝑁))
645, 63syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆 ≠ 0 → (𝑁𝑆) < 𝑁))
6564imp 444 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝑁𝑆) < 𝑁)
665adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
671, 2, 34, 4, 66, 6crctcshlem2 41021 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (#‘𝐻) = 𝑁)
6867breq1d 4593 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → ((#‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁𝑆)))
6968notbid 307 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (¬ (#‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆) ↔ ¬ 𝑁 ≤ (𝑁𝑆)))
7025, 28resubcld 10337 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁𝑆) ∈ ℝ)
7170, 25jca 553 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
7271adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → ((𝑁𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
73 ltnle 9996 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑁𝑆) < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ (𝑁𝑆)))
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → ((𝑁𝑆) < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ (𝑁𝑆)))
7569, 74bitr4d 270 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (¬ (#‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆) ↔ (𝑁𝑆) < 𝑁))
7665, 75mpbird 246 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → ¬ (#‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆))
7776iffalsed 4047 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → if((#‘𝐻) ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘((#‘𝐻) + 𝑆)), (𝑃‘(((#‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(((#‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)))
7846, 77sylan9eqr 2666 . . . . . . 7 (((𝜑𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (#‘𝐻)) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(((#‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)))
791, 2, 3, 4, 5, 6crctcshlem2 41021 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (#‘𝐻) = 𝑁)
8079, 24eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (#‘𝐻) ∈ ℕ0)
8180nn0cnd 11230 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (#‘𝐻) ∈ ℂ)
8227zcnd 11359 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ ℂ)
8324nn0cnd 11230 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
8481, 82, 83addsubd 10292 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((#‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁) = (((#‘𝐻) − 𝑁) + 𝑆))
8579oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((#‘𝐻) − 𝑁) = (𝑁𝑁))
8683subidd 10259 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁𝑁) = 0)
8785, 86eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((#‘𝐻) − 𝑁) = 0)
8887oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((#‘𝐻) − 𝑁) + 𝑆) = (0 + 𝑆))
8984, 88eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((#‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁) = (0 + 𝑆))
9089fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃‘(((#‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
9190adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝑃‘(((#‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
9291adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (#‘𝐻)) → (𝑃‘(((#‘𝐻) + 𝑆) − 𝑁)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
9378, 92eqtrd 2644 . . . . . 6 (((𝜑𝑆 ≠ 0) ∧ 𝑥 = (#‘𝐻)) → if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
9479adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (#‘𝐻) = 𝑁)
95 nn0fz0 12306 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))
9624, 95sylib 207 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (0...𝑁))
9796adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
9894, 97eqeltrd 2688 . . . . . 6 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (#‘𝐻) ∈ (0...𝑁))
9915, 93, 98, 39fvmptd 6197 . . . . 5 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝑄‘(#‘𝐻)) = (𝑃‘(0 + 𝑆)))
10040, 99eqtr4d 2647 . . . 4 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝑄‘0) = (𝑄‘(#‘𝐻)))
10114, 100jca 553 . . 3 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝐻(TrailS‘𝐺)𝑄 ∧ (𝑄‘0) = (𝑄‘(#‘𝐻))))
1021, 2, 3, 4, 5, 6, 7crctcshlem3 41022 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))
103102adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))
104 isCrct 40996 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V) → (𝐻(CircuitS‘𝐺)𝑄 ↔ (𝐻(TrailS‘𝐺)𝑄 ∧ (𝑄‘0) = (𝑄‘(#‘𝐻)))))
105103, 104syl 17 . . 3 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → (𝐻(CircuitS‘𝐺)𝑄 ↔ (𝐻(TrailS‘𝐺)𝑄 ∧ (𝑄‘0) = (𝑄‘(#‘𝐻)))))
106101, 105mpbird 246 . 2 ((𝜑𝑆 ≠ 0) → 𝐻(CircuitS‘𝐺)𝑄)
10712, 106pm2.61dane 2869 1 (𝜑𝐻(CircuitS‘𝐺)𝑄)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173  ifcif 4036   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979   cyclShift ccsh 13385  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674  TrailSctrls 40899  CircuitSccrcts 40990 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-substr 13158  df-csh 13386  df-1wlks 40800  df-trls 40901  df-crcts 40992 This theorem is referenced by:  eucrctshift  41411
 Copyright terms: Public domain W3C validator