Theorem elfzoel2 12338

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoel2	⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ne0i 3880	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ≠ ∅)
2		fzof 12336	. . . . . 6 ⊢ ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
3	2	fdmi 5965	. . . . 5 ⊢ dom ..^ = (ℤ × ℤ)
4	3	ndmov 6716	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) = ∅)
5	4	necon1ai 2809	. . 3 ⊢ ((𝐵..^𝐶) ≠ ∅ → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
6	1, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ))
7	6	simprd 478	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108   × cxp 5036  (class class class)co 6549  ℤcz 11254  ..^cfzo 12334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-neg 10148  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335

This theorem is referenced by:  elfzoelz  12339  elfzo2  12342  elfzole1  12347  elfzolt2  12348  elfzolt3  12349  elfzolt2b  12350  elfzolt3b  12351  fzonel  12352  elfzouz2  12353  fzonnsub  12362  fzoss1  12364  fzospliti  12369  fzodisj  12371  fzoaddel  12388  fzo0addelr  12390  elfzoext  12392  elincfzoext  12393  fzosubel  12394  fzoend  12425  ssfzo12  12427  fzofzp1  12431  elfzo1elm1fzo0  12435  fzonfzoufzol  12437  elfznelfzob  12440  peano2fzor  12441  fzostep1  12446  modsumfzodifsn  12605  addmodlteq  12607  cshwidxm1  13404  cshimadifsn0  13427  fzomaxdiflem  13930  fzo0dvdseq  14883  fzocongeq  14884  addmodlteqALT  14885  efgsp1  17973  efgsres  17974  fzssfzo  29940  signsvfn  29985  elfzop1le2  38443  elfzolem1  38478  dvnmul  38833  iblspltprt  38865  stoweidlem3  38896  fourierdlem12  39012  fourierdlem50  39049  fourierdlem64  39063  fourierdlem79  39078  iccpartiltu  39960  iccpartgt  39965  bgoldbtbndlem2  40222  fzoopth  40360  crctcsh1wlkn0lem2  41014  crctcsh1wlkn0lem3  41015  crctcsh1wlkn0lem5  41017  crctcsh1wlkn0lem6  41018  crctcsh1wlkn0  41024  crctcsh  41027  eucrctshift  41411  eucrct2eupth  41413