Theorem elfzoext 12392

Description: Membership of an integer in an extended open range of integers. (Contributed by AV, 30-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoext	⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)))

Proof of Theorem elfzoext

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel2 12338	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		zcn 11259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3		nn0cn 11179	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℂ)
4		addcom 10101	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐼 ∈ ℂ) → (𝑁 + 𝐼) = (𝐼 + 𝑁))
5	2, 3, 4	syl2an 493	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐼) = (𝐼 + 𝑁))
6		nn0pzuz 11621	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
7	6	ancoms 468	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑁) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
8	5, 7	eqeltrd 2688	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 𝐼) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
9		fzoss2 12365	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 + 𝐼) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)))
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑀..^𝑁) ⊆ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)))
11	10	sselda 3568	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) ∧ 𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑍 ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)))
12	11	expcom 450	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼))))
13	1, 12	mpand 707	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼))))
14	13	imp 444	1 ⊢ ((𝑍 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑍 ∈ (𝑀..^(𝑁 + 𝐼)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   + caddc 9818  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ..^cfzo 12334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335

This theorem is referenced by:  ccatval1  13214