Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | iblspltprt.3 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) |
2 | | eluzelz 11573 |
. . . 4
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → 𝑁 ∈ ℤ) |
3 | 1, 2 | syl 17 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ) |
4 | | eluzle 11576 |
. . . 4
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) |
5 | 1, 4 | syl 17 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ 𝑁) |
6 | 3 | zred 11358 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ) |
7 | 6 | leidd 10473 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑁) |
8 | | iblspltprt.2 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ) |
9 | 8 | peano2zd 11361 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ) |
10 | | elfz1 12202 |
. . . 4
⊢ (((𝑀 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁))) |
11 | 9, 3, 10 | syl2anc 691 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 1) ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁))) |
12 | 3, 5, 7, 11 | mpbir3and 1238 |
. 2
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) |
13 | | fveq2 6103 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑗 = (𝑀 + 1) → (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘(𝑀 + 1))) |
14 | 13 | oveq2d 6565 |
. . . . . 6
⊢ (𝑗 = (𝑀 + 1) → ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑗)) = ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1)))) |
15 | 14 | mpteq1d 4666 |
. . . . 5
⊢ (𝑗 = (𝑀 + 1) → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑗)) ↦ 𝐴) = (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))) ↦ 𝐴)) |
16 | 15 | eleq1d 2672 |
. . . 4
⊢ (𝑗 = (𝑀 + 1) → ((𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑗)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))) ↦ 𝐴) ∈
𝐿1)) |
17 | 16 | imbi2d 329 |
. . 3
⊢ (𝑗 = (𝑀 + 1) → ((𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑗)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ↔
(𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))) ↦ 𝐴) ∈
𝐿1))) |
18 | | fveq2 6103 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝑘)) |
19 | 18 | oveq2d 6565 |
. . . . . 6
⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑗)) = ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘))) |
20 | 19 | mpteq1d 4666 |
. . . . 5
⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑗)) ↦ 𝐴) = (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴)) |
21 | 20 | eleq1d 2672 |
. . . 4
⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑗)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈
𝐿1)) |
22 | 21 | imbi2d 329 |
. . 3
⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑗)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ↔
(𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈
𝐿1))) |
23 | | fveq2 6103 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘(𝑘 + 1))) |
24 | 23 | oveq2d 6565 |
. . . . . 6
⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑗)) = ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) |
25 | 24 | mpteq1d 4666 |
. . . . 5
⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑗)) ↦ 𝐴) = (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴)) |
26 | 25 | eleq1d 2672 |
. . . 4
⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑗)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴) ∈
𝐿1)) |
27 | 26 | imbi2d 329 |
. . 3
⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑗)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ↔
(𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴) ∈
𝐿1))) |
28 | | fveq2 6103 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝑁)) |
29 | 28 | oveq2d 6565 |
. . . . . 6
⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑗)) = ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑁))) |
30 | 29 | mpteq1d 4666 |
. . . . 5
⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑗)) ↦ 𝐴) = (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑁)) ↦ 𝐴)) |
31 | 30 | eleq1d 2672 |
. . . 4
⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑗)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑁)) ↦ 𝐴) ∈
𝐿1)) |
32 | 31 | imbi2d 329 |
. . 3
⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑗)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ↔
(𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑁)) ↦ 𝐴) ∈
𝐿1))) |
33 | | uzid 11578 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈
(ℤ≥‘𝑀)) |
34 | 8, 33 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) |
35 | 8 | zred 11358 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ) |
36 | | 1red 9934 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℝ) |
37 | 35, 36 | readdcld 9948 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℝ) |
38 | 35 | ltp1d 10833 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝑀 < (𝑀 + 1)) |
39 | 35, 37, 6, 38, 5 | ltletrd 10076 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑀 < 𝑁) |
40 | | elfzo2 12342 |
. . . . . 6
⊢ (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁)) |
41 | 34, 3, 39, 40 | syl3anbrc 1239 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁)) |
42 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘𝑀)) |
43 | | oveq1 6556 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑖 + 1) = (𝑀 + 1)) |
44 | 43 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑀 + 1))) |
45 | 42, 44 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑖 = 𝑀 → ((𝑃‘𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) = ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1)))) |
46 | 45 | mpteq1d 4666 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝐴) = (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))) ↦ 𝐴)) |
47 | 46 | eleq1d 2672 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑖 = 𝑀 → ((𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))) ↦ 𝐴) ∈
𝐿1)) |
48 | 47 | imbi2d 329 |
. . . . . 6
⊢ (𝑖 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ↔
(𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))) ↦ 𝐴) ∈
𝐿1))) |
49 | | iblspltprt.7 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝐴) ∈
𝐿1) |
50 | 49 | expcom 450 |
. . . . . 6
⊢ (𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝐴) ∈
𝐿1)) |
51 | 48, 50 | vtoclga 3245 |
. . . . 5
⊢ (𝑀 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))) ↦ 𝐴) ∈
𝐿1)) |
52 | 41, 51 | mpcom 37 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))) ↦ 𝐴) ∈
𝐿1) |
53 | 52 | a1i 11 |
. . 3
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑀 + 1))) ↦ 𝐴) ∈
𝐿1)) |
54 | | nfv 1830 |
. . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑡 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) |
55 | | iblspltprt.1 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑡𝜑 |
56 | | nfmpt1 4675 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑡(𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) |
57 | 56 | nfel1 2765 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑡(𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈
𝐿1 |
58 | 55, 57 | nfim 1813 |
. . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑡(𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈
𝐿1) |
59 | 54, 58, 55 | nf3an 1819 |
. . . . 5
⊢
Ⅎ𝑡(𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) |
60 | | simp3 1056 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) → 𝜑) |
61 | | simp1 1054 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) → 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) |
62 | 35 | leidd 10473 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑀) |
63 | 35, 6, 39 | ltled 10064 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ 𝑁) |
64 | | elfz1 12202 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))) |
65 | 8, 3, 64 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))) |
66 | 8, 62, 63, 65 | mpbir3and 1238 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁)) |
67 | 66 | ancli 572 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))) |
68 | | eleq1 2676 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑖 = 𝑀 → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))) |
69 | 68 | anbi2d 736 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑖 = 𝑀 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁)))) |
70 | 42 | eleq1d 2672 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑖 = 𝑀 → ((𝑃‘𝑖) ∈ ℝ ↔ (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ)) |
71 | 69, 70 | imbi12d 333 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑖 = 𝑀 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘𝑖) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ))) |
72 | | iblspltprt.4 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘𝑖) ∈ ℝ) |
73 | 71, 72 | vtoclg 3239 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ)) |
74 | 66, 67, 73 | sylc 63 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ) |
75 | 74 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃‘𝑀) ∈ ℝ) |
76 | 75 | rexrd 9968 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃‘𝑀) ∈
ℝ*) |
77 | | simpl 472 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝜑) |
78 | | elfzoelz 12339 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ) |
79 | 78 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ) |
80 | 35 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ) |
81 | 79 | zred 11358 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ) |
82 | 37 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ) |
83 | 38 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑀 < (𝑀 + 1)) |
84 | | elfzole1 12347 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑘) |
85 | 84 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑘) |
86 | 80, 82, 81, 83, 85 | ltletrd 10076 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑀 < 𝑘) |
87 | 80, 81, 86 | ltled 10064 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑘) |
88 | 6 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ) |
89 | | elfzolt2 12348 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → 𝑘 < 𝑁) |
90 | 89 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑘 < 𝑁) |
91 | 81, 88, 90 | ltled 10064 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑘 ≤ 𝑁) |
92 | 8, 3 | jca 553 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) |
93 | 92 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) |
94 | | elfz1 12202 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁))) |
95 | 93, 94 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁))) |
96 | 79, 87, 91, 95 | mpbir3and 1238 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) |
97 | | eleq1 2676 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))) |
98 | 97 | anbi2d 736 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))) |
99 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘𝑘)) |
100 | 99 | eleq1d 2672 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝑃‘𝑖) ∈ ℝ ↔ (𝑃‘𝑘) ∈ ℝ)) |
101 | 98, 100 | imbi12d 333 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑖 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘𝑖) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘𝑘) ∈ ℝ))) |
102 | 101, 72 | chvarv 2251 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘𝑘) ∈ ℝ) |
103 | 77, 96, 102 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃‘𝑘) ∈ ℝ) |
104 | 103 | rexrd 9968 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃‘𝑘) ∈
ℝ*) |
105 | 79 | peano2zd 11361 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ) |
106 | 105 | zred 11358 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ) |
107 | | 1red 9934 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 1 ∈ ℝ) |
108 | 80, 81, 107, 86 | ltadd1dd 10517 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑀 + 1) < (𝑘 + 1)) |
109 | 80, 82, 106, 83, 108 | lttrd 10077 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑀 < (𝑘 + 1)) |
110 | 80, 106, 109 | ltled 10064 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)) |
111 | | zltp1le 11304 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 < 𝑁 ↔ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)) |
112 | 78, 3, 111 | syl2anr 494 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑘 < 𝑁 ↔ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)) |
113 | 90, 112 | mpbid 221 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁) |
114 | | elfz1 12202 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁))) |
115 | 93, 114 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → ((𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ∧ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁))) |
116 | 105, 110,
113, 115 | mpbir3and 1238 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) |
117 | 77, 116 | jca 553 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) |
118 | | eleq1 2676 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) |
119 | 118 | anbi2d 736 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))) |
120 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑘 + 1))) |
121 | 120 | eleq1d 2672 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → ((𝑃‘𝑖) ∈ ℝ ↔ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)) |
122 | 119, 121 | imbi12d 333 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑖 = (𝑘 + 1) → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘𝑖) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ))) |
123 | 122, 72 | vtoclg 3239 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝜑 ∧ (𝑘 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)) |
124 | 116, 117,
123 | sylc 63 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) |
125 | 124 | rexrd 9968 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈
ℝ*) |
126 | | eluz 11577 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈
(ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑘)) |
127 | 8, 78, 126 | syl2an 493 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑘)) |
128 | 87, 127 | mpbird 246 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) |
129 | | simpll 786 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝜑) |
130 | | elfzelz 12213 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑖 ∈ (𝑀...𝑘) → 𝑖 ∈ ℤ) |
131 | 130 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑖 ∈ ℤ) |
132 | | elfzle1 12215 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑖 ∈ (𝑀...𝑘) → 𝑀 ≤ 𝑖) |
133 | 132 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑀 ≤ 𝑖) |
134 | 131 | zred 11358 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑖 ∈ ℝ) |
135 | 129, 6 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑁 ∈ ℝ) |
136 | 81 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ) |
137 | | elfzle2 12216 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑖 ∈ (𝑀...𝑘) → 𝑖 ≤ 𝑘) |
138 | 137 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑖 ≤ 𝑘) |
139 | 90 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑘 < 𝑁) |
140 | 134, 136,
135, 138, 139 | lelttrd 10074 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑖 < 𝑁) |
141 | 134, 135,
140 | ltled 10064 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑖 ≤ 𝑁) |
142 | | elfz1 12202 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑁))) |
143 | 129, 92, 142 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑁))) |
144 | 131, 133,
141, 143 | mpbir3and 1238 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) |
145 | 129, 144,
72 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → (𝑃‘𝑖) ∈ ℝ) |
146 | | simpll 786 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝜑) |
147 | | elfzelz 12213 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑖 ∈ ℤ) |
148 | 147 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑖 ∈ ℤ) |
149 | | elfzle1 12215 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑀 ≤ 𝑖) |
150 | 149 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑀 ≤ 𝑖) |
151 | 148 | zred 11358 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑖 ∈ ℝ) |
152 | 146, 6 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ) |
153 | 81 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑘 ∈ ℝ) |
154 | | 1red 9934 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 1 ∈
ℝ) |
155 | 153, 154 | resubcld 10337 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ) |
156 | | elfzle2 12216 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑖 ≤ (𝑘 − 1)) |
157 | 156 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑖 ≤ (𝑘 − 1)) |
158 | 78 | zred 11358 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℝ) |
159 | | 1red 9934 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → 1 ∈ ℝ) |
160 | 158, 159 | resubcld 10337 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ) |
161 | | elfzoel2 12338 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ) |
162 | 161 | zred 11358 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ) |
163 | 158 | ltm1d 10835 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → (𝑘 − 1) < 𝑘) |
164 | 160, 158,
162, 163, 89 | lttrd 10077 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → (𝑘 − 1) < 𝑁) |
165 | 164 | ad2antlr 759 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑘 − 1) < 𝑁) |
166 | 151, 155,
152, 157, 165 | lelttrd 10074 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑖 < 𝑁) |
167 | 151, 152,
166 | ltled 10064 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑖 ≤ 𝑁) |
168 | 146, 92, 142 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑁))) |
169 | 148, 150,
167, 168 | mpbir3and 1238 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) |
170 | 146, 169,
72 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑃‘𝑖) ∈ ℝ) |
171 | 148 | peano2zd 11361 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℤ) |
172 | | elfzel1 12212 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑀 ∈ ℤ) |
173 | 172 | zred 11358 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑀 ∈ ℝ) |
174 | 147 | zred 11358 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑖 ∈ ℝ) |
175 | | 1red 9934 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 1 ∈
ℝ) |
176 | 174, 175 | readdcld 9948 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ) |
177 | 174 | ltp1d 10833 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑖 < (𝑖 + 1)) |
178 | 173, 174,
176, 149, 177 | lelttrd 10074 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑀 < (𝑖 + 1)) |
179 | 173, 176,
178 | ltled 10064 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑀 ≤ (𝑖 + 1)) |
180 | 179 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑀 ≤ (𝑖 + 1)) |
181 | 146, 1, 2 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ) |
182 | | zltp1le 11304 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 < 𝑁 ↔ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁)) |
183 | 148, 181,
182 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑖 < 𝑁 ↔ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁)) |
184 | 166, 183 | mpbid 221 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) |
185 | | elfz1 12202 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑖 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑖 + 1) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁))) |
186 | 146, 92, 185 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → ((𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑖 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑖 + 1) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁))) |
187 | 171, 180,
184, 186 | mpbir3and 1238 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) |
188 | 146, 187 | jca 553 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) |
189 | | eleq1 2676 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) |
190 | 189 | anbi2d 736 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))) |
191 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑃‘𝑘) = (𝑃‘(𝑖 + 1))) |
192 | 191 | eleq1d 2672 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝑃‘𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)) |
193 | 190, 192 | imbi12d 333 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘𝑘) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ))) |
194 | 193, 102 | vtoclg 3239 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)) |
195 | 187, 188,
194 | sylc 63 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ) |
196 | | elfzuz 12209 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1)) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) |
197 | 196 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) |
198 | | elfzo2 12342 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑁)) |
199 | 197, 181,
166, 198 | syl3anbrc 1239 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) |
200 | | iblspltprt.5 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1))) |
201 | 146, 199,
200 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1))) |
202 | 170, 195,
201 | ltled 10064 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...(𝑘 − 1))) → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘(𝑖 + 1))) |
203 | 128, 145,
202 | monoord 12693 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃‘𝑀) ≤ (𝑃‘𝑘)) |
204 | 161 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ) |
205 | | elfzo2 12342 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑘 < 𝑁)) |
206 | 128, 204,
90, 205 | syl3anbrc 1239 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) |
207 | | eleq1 2676 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁))) |
208 | 207 | anbi2d 736 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)))) |
209 | | oveq1 6556 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑖 + 1) = (𝑘 + 1)) |
210 | 209 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑃‘(𝑖 + 1)) = (𝑃‘(𝑘 + 1))) |
211 | 99, 210 | breq12d 4596 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑃‘𝑘) < (𝑃‘(𝑘 + 1)))) |
212 | 208, 211 | imbi12d 333 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑖 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑃‘𝑘) < (𝑃‘(𝑘 + 1))))) |
213 | 212, 200 | chvarv 2251 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑃‘𝑘) < (𝑃‘(𝑘 + 1))) |
214 | 77, 206, 213 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃‘𝑘) < (𝑃‘(𝑘 + 1))) |
215 | 103, 124,
214 | ltled 10064 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃‘𝑘) ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1))) |
216 | | iccintsng 38596 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑃‘𝑀) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ*) ∧
((𝑃‘𝑀) ≤ (𝑃‘𝑘) ∧ (𝑃‘𝑘) ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ∩ ((𝑃‘𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) = {(𝑃‘𝑘)}) |
217 | 76, 104, 125, 203, 215, 216 | syl32anc 1326 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ∩ ((𝑃‘𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) = {(𝑃‘𝑘)}) |
218 | 217 | fveq2d 6107 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (vol*‘(((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ∩ ((𝑃‘𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))))) = (vol*‘{(𝑃‘𝑘)})) |
219 | | ovolsn 23070 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑃‘𝑘) ∈ ℝ → (vol*‘{(𝑃‘𝑘)}) = 0) |
220 | 103, 219 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (vol*‘{(𝑃‘𝑘)}) = 0) |
221 | 218, 220 | eqtrd 2644 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (vol*‘(((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ∩ ((𝑃‘𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))))) = 0) |
222 | 60, 61, 221 | syl2anc 691 |
. . . . 5
⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) → (vol*‘(((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ∩ ((𝑃‘𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))))) = 0) |
223 | 75, 124, 103, 203, 215 | eliccd 38573 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃‘𝑘) ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) |
224 | 75, 124, 223 | 3jca 1235 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → ((𝑃‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))))) |
225 | 60, 61, 224 | syl2anc 691 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) → ((𝑃‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))))) |
226 | | iccsplit 12176 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑃‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑃‘𝑘) ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) = (((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ∪ ((𝑃‘𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))))) |
227 | 225, 226 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) → ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) = (((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ∪ ((𝑃‘𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))))) |
228 | | simpl3 1059 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝜑) |
229 | | simpl1 1057 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) |
230 | | simpr 476 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) |
231 | | simp1 1054 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝜑) |
232 | | eliccxr 38584 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) → 𝑡 ∈ ℝ*) |
233 | 232 | 3ad2ant3 1077 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝑡 ∈ ℝ*) |
234 | 74 | rexrd 9968 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑀) ∈
ℝ*) |
235 | 234 | 3ad2ant1 1075 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑃‘𝑀) ∈
ℝ*) |
236 | 125 | 3adant3 1074 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈
ℝ*) |
237 | | simp3 1056 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) |
238 | | iccgelb 12101 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑃‘𝑀) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑃‘𝑀) ≤ 𝑡) |
239 | 235, 236,
237, 238 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑃‘𝑀) ≤ 𝑡) |
240 | 75, 124 | jca 553 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → ((𝑃‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)) |
241 | 240 | 3adant3 1074 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → ((𝑃‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)) |
242 | | iccssre 12126 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑃‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ⊆ ℝ) |
243 | 242 | sseld 3567 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑃‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) → 𝑡 ∈ ℝ)) |
244 | 241, 237,
243 | sylc 63 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝑡 ∈ ℝ) |
245 | 124 | 3adant3 1074 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) |
246 | | elfz1 12202 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁))) |
247 | 8, 3, 246 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑁))) |
248 | 3, 63, 7, 247 | mpbir3and 1238 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁)) |
249 | 248 | ancli 572 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))) |
250 | | eleq1 2676 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑖 = 𝑁 → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))) |
251 | 250 | anbi2d 736 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑖 = 𝑁 → ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁)))) |
252 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑖 = 𝑁 → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘𝑁)) |
253 | 252 | eleq1d 2672 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑖 = 𝑁 → ((𝑃‘𝑖) ∈ ℝ ↔ (𝑃‘𝑁) ∈ ℝ)) |
254 | 251, 253 | imbi12d 333 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑖 = 𝑁 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘𝑖) ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘𝑁) ∈ ℝ))) |
255 | 254, 72 | vtoclg 3239 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑃‘𝑁) ∈ ℝ)) |
256 | 3, 249, 255 | sylc 63 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) ∈ ℝ) |
257 | 256 | 3ad2ant1 1075 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑃‘𝑁) ∈ ℝ) |
258 | | elicc1 12090 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑃‘𝑀) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ*) →
(𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↔ (𝑡 ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝑀) ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1))))) |
259 | 235, 236,
258 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↔ (𝑡 ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝑀) ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1))))) |
260 | 237, 259 | mpbid 221 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑡 ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝑀) ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1)))) |
261 | 260 | simp3d 1068 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝑡 ≤ (𝑃‘(𝑘 + 1))) |
262 | | elfzop1le2 38443 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑁) |
263 | 78 | peano2zd 11361 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ) |
264 | | eluz 11577 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑘 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈
(ℤ≥‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)) |
265 | 263, 161,
264 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑘 + 1) ≤ 𝑁)) |
266 | 262, 265 | mpbird 246 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))) |
267 | 266 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑘 + 1))) |
268 | | simpll 786 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝜑) |
269 | | elfzelz 12213 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁) → 𝑖 ∈ ℤ) |
270 | 269 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℤ) |
271 | 268, 35 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ) |
272 | 270 | zred 11358 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℝ) |
273 | 81 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ) |
274 | 86 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑀 < 𝑘) |
275 | 158 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ) |
276 | | 1red 9934 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 1 ∈ ℝ) |
277 | 275, 276 | readdcld 9948 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ) |
278 | 269 | zred 11358 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁) → 𝑖 ∈ ℝ) |
279 | 278 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ ℝ) |
280 | 275 | ltp1d 10833 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑘 < (𝑘 + 1)) |
281 | | elfzle1 12215 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑖) |
282 | 281 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑖) |
283 | 275, 277,
279, 280, 282 | ltletrd 10076 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑘 < 𝑖) |
284 | 283 | adantll 746 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑘 < 𝑖) |
285 | 271, 273,
272, 274, 284 | lttrd 10077 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑀 < 𝑖) |
286 | 271, 272,
285 | ltled 10064 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑖) |
287 | | elfzle2 12216 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁) → 𝑖 ≤ 𝑁) |
288 | 287 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ≤ 𝑁) |
289 | 268, 92, 142 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑁))) |
290 | 270, 286,
288, 289 | mpbir3and 1238 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) |
291 | 268, 290,
72 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...𝑁)) → (𝑃‘𝑖) ∈ ℝ) |
292 | | simpll 786 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝜑) |
293 | | elfzelz 12213 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1)) → 𝑖 ∈ ℤ) |
294 | 293 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ ℤ) |
295 | 292, 35 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑀 ∈ ℝ) |
296 | 294 | zred 11358 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ ℝ) |
297 | 81 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℝ) |
298 | 86 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑀 < 𝑘) |
299 | 158 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℝ) |
300 | | 1red 9934 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 1 ∈
ℝ) |
301 | 299, 300 | readdcld 9948 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ) |
302 | 293 | zred 11358 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1)) → 𝑖 ∈ ℝ) |
303 | 302 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ ℝ) |
304 | 299 | ltp1d 10833 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑘 < (𝑘 + 1)) |
305 | | elfzle1 12215 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1)) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑖) |
306 | 305 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑖) |
307 | 299, 301,
303, 304, 306 | ltletrd 10076 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑘 < 𝑖) |
308 | 307 | adantll 746 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑘 < 𝑖) |
309 | 295, 297,
296, 298, 308 | lttrd 10077 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑀 < 𝑖) |
310 | 295, 296,
309 | ltled 10064 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑀 ≤ 𝑖) |
311 | 302 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ ℝ) |
312 | 6 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ) |
313 | | 1red 9934 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 1 ∈
ℝ) |
314 | 312, 313 | resubcld 10337 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ) |
315 | | elfzle2 12216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1)) → 𝑖 ≤ (𝑁 − 1)) |
316 | 315 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 ≤ (𝑁 − 1)) |
317 | 312 | ltm1d 10835 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑁 − 1) < 𝑁) |
318 | 311, 314,
312, 316, 317 | lelttrd 10074 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 < 𝑁) |
319 | 311, 312,
318 | ltled 10064 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 ≤ 𝑁) |
320 | 319 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 ≤ 𝑁) |
321 | 292, 92, 142 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑖 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑁))) |
322 | 294, 310,
320, 321 | mpbir3and 1238 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ (𝑀...𝑁)) |
323 | 292, 322,
72 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑃‘𝑖) ∈ ℝ) |
324 | 294 | peano2zd 11361 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℤ) |
325 | 324 | zred 11358 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ) |
326 | 303, 300 | readdcld 9948 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ ℝ) |
327 | 299, 303,
307 | ltled 10064 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ≤ 𝑖) |
328 | 299, 303,
300, 327 | leadd1dd 10520 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑘 + 1) ≤ (𝑖 + 1)) |
329 | 299, 301,
326, 304, 328 | ltletrd 10076 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑘 < (𝑖 + 1)) |
330 | 329 | adantll 746 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑘 < (𝑖 + 1)) |
331 | 295, 297,
325, 298, 330 | lttrd 10077 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑀 < (𝑖 + 1)) |
332 | 295, 325,
331 | ltled 10064 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑀 ≤ (𝑖 + 1)) |
333 | 293, 3, 182 | syl2anr 494 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑖 < 𝑁 ↔ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁)) |
334 | 318, 333 | mpbid 221 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) |
335 | 334 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ≤ 𝑁) |
336 | 292, 92, 185 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → ((𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑖 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑖 + 1) ∧ (𝑖 + 1) ≤ 𝑁))) |
337 | 324, 332,
335, 336 | mpbir3and 1238 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) |
338 | 292, 337 | jca 553 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝜑 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))) |
339 | 337, 338,
194 | sylc 63 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑃‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ) |
340 | 292, 8 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ) |
341 | | eluz 11577 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈
(ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑖)) |
342 | 340, 294,
341 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ≤ 𝑖)) |
343 | 310, 342 | mpbird 246 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) |
344 | 292, 1, 2 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ) |
345 | 318 | adantlr 747 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 < 𝑁) |
346 | 343, 344,
345, 198 | syl3anbrc 1239 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) |
347 | 292, 346,
200 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘(𝑖 + 1))) |
348 | 323, 339,
347 | ltled 10064 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ ((𝑘 + 1)...(𝑁 − 1))) → (𝑃‘𝑖) ≤ (𝑃‘(𝑖 + 1))) |
349 | 267, 291,
348 | monoord 12693 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑁)) |
350 | 349 | 3adant3 1074 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝑃‘𝑁)) |
351 | 244, 245,
257, 261, 350 | letrd 10073 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝑡 ≤ (𝑃‘𝑁)) |
352 | 257 | rexrd 9968 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑃‘𝑁) ∈
ℝ*) |
353 | | elicc1 12090 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑃‘𝑀) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝑁) ∈ ℝ*) → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑁)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝑀) ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ (𝑃‘𝑁)))) |
354 | 235, 352,
353 | syl2anc 691 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑁)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝑀) ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ (𝑃‘𝑁)))) |
355 | 233, 239,
351, 354 | mpbir3and 1238 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑁))) |
356 | | iblspltprt.6 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑁))) → 𝐴 ∈ ℂ) |
357 | 231, 355,
356 | syl2anc 691 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℂ) |
358 | 228, 229,
230, 357 | syl3anc 1318 |
. . . . 5
⊢ (((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℂ) |
359 | | simp2 1055 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) → (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈
𝐿1)) |
360 | 60, 359 | mpd 15 |
. . . . 5
⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈
𝐿1) |
361 | 60, 61 | jca 553 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) → (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))) |
362 | 77, 206 | jca 553 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁))) |
363 | 99, 210 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝑃‘𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) = ((𝑃‘𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1)))) |
364 | 363 | mpteq1d 4666 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝐴) = (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴)) |
365 | 364 | eleq1d 2672 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1 ↔ (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴) ∈
𝐿1)) |
366 | 208, 365 | imbi12d 333 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑖 = 𝑘 → (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑖)[,](𝑃‘(𝑖 + 1))) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ↔
((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴) ∈
𝐿1))) |
367 | 366, 49 | chvarv 2251 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴) ∈
𝐿1) |
368 | 361, 362,
367 | 3syl 18 |
. . . . 5
⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑘)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴) ∈
𝐿1) |
369 | 59, 222, 227, 358, 360, 368 | iblsplitf 38862 |
. . . 4
⊢ ((𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∧ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) ∧ 𝜑) → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴) ∈
𝐿1) |
370 | 369 | 3exp 1256 |
. . 3
⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) → ((𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑘)) ↦ 𝐴) ∈ 𝐿1) →
(𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘(𝑘 + 1))) ↦ 𝐴) ∈
𝐿1))) |
371 | 17, 22, 27, 32, 53, 370 | fzind2 12448 |
. 2
⊢ (𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑁)) ↦ 𝐴) ∈
𝐿1)) |
372 | 12, 371 | mpcom 37 |
1
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ((𝑃‘𝑀)[,](𝑃‘𝑁)) ↦ 𝐴) ∈
𝐿1) |