Theorem efgsres 17974

Description: An initial segment of an extension sequence is an extension sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r	⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
efgval2.m	⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜 ∖ 𝑧)⟩)
efgval2.t	⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d	⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
efgred.s	⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))

Assertion

Ref	Expression
efgsres	⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ dom 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ∼ ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   ∼ (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem efgsres

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
2		efgval.r	. . . . . . . . 9 ⊢ ∼ = ( ~FG ‘𝐼)
3		efgval2.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜 ∖ 𝑧)⟩)
4		efgval2.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = (𝑣 ∈ 𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(#‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀‘𝑤)”⟩⟩)))
5		efgred.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (𝑊 ∖ ∪ 𝑥 ∈ 𝑊 ran (𝑇‘𝑥))
6		efgred.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(#‘𝑡))(𝑡‘𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((#‘𝑚) − 1)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsdm 17966	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 ↔ (𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
8	7	simp1bi 1069	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → 𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → 𝐹 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
10	9	eldifad 3552	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → 𝐹 ∈ Word 𝑊)
11		1eluzge0 11608	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (ℤ≥‘0)
12		fzss1 12251	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘0) → (1...(#‘𝐹)) ⊆ (0...(#‘𝐹)))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1...(#‘𝐹)) ⊆ (0...(#‘𝐹))
14		simpr 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → 𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹)))
15	13, 14	sseldi 3566	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹)))
16		swrd0val 13273	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) → (𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
17	10, 15, 16	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → (𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
18		swrdcl 13271	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑊 → (𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑊)
19	10, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → (𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑊)
20	17, 19	eqeltrrd 2689	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑊)
21		swrd0len 13274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑊 ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝐹))) → (#‘(𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)
22	10, 15, 21	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → (#‘(𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)
23		elfznn 12241	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹)) → 𝑁 ∈ ℕ)
24	23	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → 𝑁 ∈ ℕ)
25	22, 24	eqeltrd 2688	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → (#‘(𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩)) ∈ ℕ)
26		wrdfin 13178	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑊 → (𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Fin)
27		hashnncl 13018	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Fin → ((#‘(𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩)) ∈ ℕ ↔ (𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩) ≠ ∅))
28	19, 26, 27	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → ((#‘(𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩)) ∈ ℕ ↔ (𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩) ≠ ∅))
29	25, 28	mpbid 221	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → (𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩) ≠ ∅)
30	17, 29	eqnetrrd 2850	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ≠ ∅)
31		eldifsn 4260	. . 3 ⊢ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ↔ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑊 ∧ (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ≠ ∅))
32	20, 30, 31	sylanbrc 695	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}))
33		lbfzo0 12375	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
34	24, 33	sylibr 223	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → 0 ∈ (0..^𝑁))
35		fvres 6117	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘0) = (𝐹‘0))
36	34, 35	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘0) = (𝐹‘0))
37	7	simp2bi 1070	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → (𝐹‘0) ∈ 𝐷)
38	37	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → (𝐹‘0) ∈ 𝐷)
39	36, 38	eqeltrd 2688	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘0) ∈ 𝐷)
40		elfzuz3 12210	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹)) → (#‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
41	40	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → (#‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘𝑁))
42		fzoss2 12365	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (1..^𝑁) ⊆ (1..^(#‘𝐹)))
43	41, 42	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → (1..^𝑁) ⊆ (1..^(#‘𝐹)))
44	7	simp3bi 1071	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom 𝑆 → ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
45	44	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
46		ssralv 3629	. . . . 5 ⊢ ((1..^𝑁) ⊆ (1..^(#‘𝐹)) → (∀𝑖 ∈ (1..^(#‘𝐹))(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
47	43, 45, 46	sylc 63	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
48		fzo0ss1 12367	. . . . . . . 8 ⊢ (1..^𝑁) ⊆ (0..^𝑁)
49	48	sseli 3564	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
50		fvres 6117	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) = (𝐹‘𝑖))
51	49, 50	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) = (𝐹‘𝑖))
52		elfzoel2 12338	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
53		peano2zm 11297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
55		uzid 11578	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
56	52, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
57	52	zcnd 11359	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
58		ax-1cn 9873	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℂ
59		npcan 10169	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
60	57, 58, 59	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
61	60	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝑁))
62	56, 61	eleqtrrd 2691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1)))
63		peano2uzr 11619	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑁 − 1) + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1)))
64	54, 62, 63	syl2anc 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1)))
65		fzoss2 12365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 1)) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
67		elfzoelz 12339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → 𝑖 ∈ ℤ)
68		elfzom1b 12433	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑖 − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1))))
69	67, 52, 68	syl2anc 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑖 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑖 − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1))))
70	69	ibi 255	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑖 − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
71	66, 70	sseldd 3569	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑖 − 1) ∈ (0..^𝑁))
72		fvres 6117	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 − 1) ∈ (0..^𝑁) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1)) = (𝐹‘(𝑖 − 1)))
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1)) = (𝐹‘(𝑖 − 1)))
74	73	fveq2d 6107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) = (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
75	74	rneqd 5274	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) = ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
76	51, 75	eleq12d 2682	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (1..^𝑁) → (((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) ↔ (𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1)))))
77	76	ralbiia 2962	. . . 4 ⊢ (∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)(𝐹‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘(𝐹‘(𝑖 − 1))))
78	47, 77	sylibr 223	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))))
79	17	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → (#‘(𝐹 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = (#‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))
80	79, 22	eqtr3d 2646	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → (#‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))) = 𝑁)
81	80	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → (1..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁)))) = (1..^𝑁))
82	81	raleqdv 3121	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → (∀𝑖 ∈ (1..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1)))))
83	78, 82	mpbird 246	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1))))
84	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsdm 17966	. 2 ⊢ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ dom 𝑆 ↔ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∧ ((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑖 ∈ (1..^(#‘(𝐹 ↾ (0..^𝑁))))((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘𝑖) ∈ ran (𝑇‘((𝐹 ↾ (0..^𝑁))‘(𝑖 − 1)))))
85	32, 39, 83, 84	syl3anbrc 1239	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ (1...(#‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ dom 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  {crab 2900   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  ⟨cop 4131  ⟨cotp 4133  ∪ ciun 4455   ↦ cmpt 4643   I cid 4948   × cxp 5036  dom cdm 5038  ran crn 5039   ↾ cres 5040  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  1_𝑜c1o 7440  2_𝑜c2o 7441  Fincfn 7841  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   substr csubstr 13150   splice csplice 13151  ⟨“cs2 13437   ~_FG cefg 17942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-substr 13158

This theorem is referenced by:  efgredlemd  17980  efgredlem  17983