Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrd0val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrd0val 13273
 Description: Value of the subword extractor for left-anchored subwords. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
swrd0val ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝑆 ↾ (0..^𝐿)))

Proof of Theorem swrd0val
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 12213 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆)) → 𝐿 ∈ ℤ)
21adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → 𝐿 ∈ ℤ)
32zcnd 11359 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → 𝐿 ∈ ℂ)
43subid1d 10260 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → (𝐿 − 0) = 𝐿)
54oveq2d 6565 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → (0..^(𝐿 − 0)) = (0..^𝐿))
65mpteq1d 4666 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))) = (𝑥 ∈ (0..^𝐿) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))))
7 elfzoelz 12339 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → 𝑥 ∈ ℤ)
87zcnd 11359 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → 𝑥 ∈ ℂ)
98addid1d 10115 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
109fveq2d 6107 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → (𝑆‘(𝑥 + 0)) = (𝑆𝑥))
1110adantl 481 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑆‘(𝑥 + 0)) = (𝑆𝑥))
1211mpteq2dva 4672 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → (𝑥 ∈ (0..^𝐿) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))) = (𝑥 ∈ (0..^𝐿) ↦ (𝑆𝑥)))
136, 12eqtrd 2644 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))) = (𝑥 ∈ (0..^𝐿) ↦ (𝑆𝑥)))
14 simpl 472 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
15 elfzuz 12209 . . . . 5 (𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆)) → 𝐿 ∈ (ℤ‘0))
1615adantl 481 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → 𝐿 ∈ (ℤ‘0))
17 eluzfz1 12219 . . . 4 (𝐿 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝐿))
1816, 17syl 17 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → 0 ∈ (0...𝐿))
19 simpr 476 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆)))
20 swrdval2 13272 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))))
2114, 18, 19, 20syl3anc 1318 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))))
22 wrdf 13165 . . . 4 (𝑆 ∈ Word 𝐴𝑆:(0..^(#‘𝑆))⟶𝐴)
2322adantr 480 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → 𝑆:(0..^(#‘𝑆))⟶𝐴)
24 elfzuz3 12210 . . . . 5 (𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆)) → (#‘𝑆) ∈ (ℤ𝐿))
2524adantl 481 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → (#‘𝑆) ∈ (ℤ𝐿))
26 fzoss2 12365 . . . 4 ((#‘𝑆) ∈ (ℤ𝐿) → (0..^𝐿) ⊆ (0..^(#‘𝑆)))
2725, 26syl 17 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → (0..^𝐿) ⊆ (0..^(#‘𝑆)))
2823, 27feqresmpt 6160 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → (𝑆 ↾ (0..^𝐿)) = (𝑥 ∈ (0..^𝐿) ↦ (𝑆𝑥)))
2913, 21, 283eqtr4d 2654 1 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(#‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝑆 ↾ (0..^𝐿)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ⟨cop 4131   ↦ cmpt 4643   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815   + caddc 9818   − cmin 10145  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   substr csubstr 13150 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-substr 13158 This theorem is referenced by:  swrd0len  13274  swrdccat1  13309  psgnunilem5  17737  efgsres  17974  efgredlemd  17980  efgredlem  17983  wwlkm1edg  26263  iwrdsplit  29776  wrdsplex  29944  signsvtn0  29973  1wlkreslem0  40877  wwlksm1edg  41078
 Copyright terms: Public domain W3C validator