MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzoelz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfzoelz 12339
Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzoelz (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzoelz
StepHypRef Expression
1 elfzoel1 12337 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐵 ∈ ℤ)
2 elfzoel2 12338 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐶 ∈ ℤ)
3 fzof 12336 . . . . 5 ..^:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
43fovcl 6663 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
51, 2, 4syl2anc 691 . . 3 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ∈ 𝒫 ℤ)
65elpwid 4118 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → (𝐵..^𝐶) ⊆ ℤ)
7 id 22 . 2 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶))
86, 7sseldd 3569 1 (𝐴 ∈ (𝐵..^𝐶) → 𝐴 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1977  𝒫 cpw 4108  (class class class)co 6549  cz 11254  ..^cfzo 12334
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-neg 10148  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335
This theorem is referenced by:  elfzo2  12342  elfzole1  12347  elfzolt2  12348  elfzolt3  12349  elfzolt2b  12350  elfzouz2  12353  fzonnsub  12362  fzospliti  12369  fzodisj  12371  fzodisjsn  12374  fzonmapblen  12381  fzoaddel  12388  elincfzoext  12393  fzosubel  12394  elfzom1elp1fzo1  12434  elfzo1elm1fzo0  12435  elfznelfzob  12440  modaddmodup  12595  modaddmodlo  12596  modfzo0difsn  12604  modsumfzodifsn  12605  addmodlteq  12607  wrdexg  13170  ccatval3  13216  ccatlid  13222  ccatass  13224  ccatrn  13225  ccatalpha  13228  swrd0val  13273  swrdid  13280  swrd0fv  13291  swrdfv2  13298  swrds1  13303  ccatswrd  13308  swrdswrd  13312  swrdccatin12lem2a  13336  swrdccatin2  13338  swrdccatin12lem2  13340  splfv1  13357  splfv2a  13358  revccat  13366  revrev  13367  repswrevw  13384  cshwidxmod  13400  cshwidxmodr  13401  cshwidx0  13403  cshwidxm1  13404  cshweqrep  13418  cshw1  13419  cshimadifsn  13426  cshimadifsn0  13427  cshco  13433  fzomaxdiflem  13930  fzomaxdif  13931  fzo0dvdseq  14883  fzocongeq  14884  addmodlteqALT  14885  crth  15321  phimullem  15322  eulerthlem1  15324  eulerthlem2  15325  hashgcdlem  15331  hashgcdeq  15332  phisum  15333  reumodprminv  15347  modprm0  15348  nnnn0modprm0  15349  modprmn0modprm0  15350  prmgaplem7  15599  cshwshashlem2  15641  cshwshashlem3  15642  cshwrepswhash1  15647  psgnunilem5  17737  odf1o2  17811  odngen  17815  efgsp1  17973  efgsres  17974  znf1o  19719  zntoslem  19724  znunithash  19732  dvfsumle  23588  dvfsumabs  23590  dchrisumlem1  24978  dchrisumlem2  24979  dchrisum  24981  pntlemq  25090  pntlemr  25091  pntlemj  25092  pntlemi  25093  pntlemf  25094  wlkdvspthlem  26137  fargshiftf1  26165  clwwisshclwwlem  26334  clwwisshclww  26335  eupatrl  26495  signsvfn  29985  poimirlem8  32587  poimirlem18  32597  poimirlem21  32600  poimirlem22  32601  poimirlem24  32603  elfzop1le2  38443  iblspltprt  38865  itgspltprt  38871  stoweidlem3  38896  fourierdlem12  39012  fourierdlem20  39020  fourierdlem46  39045  fourierdlem50  39049  fourierdlem54  39053  fourierdlem63  39062  fourierdlem64  39063  fourierdlem65  39064  fourierdlem76  39075  fourierdlem79  39078  fourierdlem102  39101  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  fourierdlem114  39113  iundjiun  39353  carageniuncllem1  39411  caratheodorylem1  39416  iccpartipre  39959  iccpartiltu  39960  iccpartigtl  39961  iccpartgt  39965  icceuelpartlem  39973  icceuelpart  39974  iccpartnel  39976  pwdif  40039  pwm1geoserALT  40040  bgoldbtbndlem2  40222  pfxfv  40262  ccatpfx  40272  pfxccatin12lem2  40287  1wlk1walk  40843  pthdadjvtx  40936  crctcsh1wlkn0lem3  41015  crctcsh1wlkn0lem4  41016  crctcsh1wlkn0lem5  41017  crctcsh1wlkn0lem6  41018  crctcshlem2  41021  crctcsh1wlkn0  41024  crctcshtrl  41026  crctcsh  41027  clwwisshclwwslem  41234  clwwisshclwws  41235  eucrctshift  41411  eucrct2eupth  41413  m1modmmod  42110  fllog2  42160  nn0sumshdiglemA  42211  nn0sumshdiglemB  42212  nn0mullong  42217
  Copyright terms: Public domain W3C validator