Theorem cshwidxmodr 13401

Description: The symbol at a given index of a cyclically shifted nonempty word is the symbol at the shifted index of the original word. (Contributed by AV, 17-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cshwidxmodr	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝐼 − 𝑁) mod (#‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼))

Proof of Theorem cshwidxmodr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 12376	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (#‘𝑊)))
2		nn0z 11277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (#‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℤ)
4		zsubcl 11296	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ)
5	3, 4	sylan 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (#‘𝑊)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ)
6		simpl2 1058	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (#‘𝑊)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
7	5, 6	jca 553	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (#‘𝑊)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ))
8	7	ex 449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (#‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ)))
9	1, 8	sylbi 206	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ → ((𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ)))
10	9	impcom 445	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ))
11	10	3adant1 1072	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ))
12		zmodfzo 12555	. . . 4 ⊢ (((𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) → ((𝐼 − 𝑁) mod (#‘𝑊)) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝐼 − 𝑁) mod (#‘𝑊)) ∈ (0..^(#‘𝑊)))
14		cshwidxmod 13400	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ ((𝐼 − 𝑁) mod (#‘𝑊)) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝐼 − 𝑁) mod (#‘𝑊))) = (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (#‘𝑊)) + 𝑁) mod (#‘𝑊))))
15	13, 14	syld3an3 1363	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝐼 − 𝑁) mod (#‘𝑊))) = (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (#‘𝑊)) + 𝑁) mod (#‘𝑊))))
16		elfzoelz 12339	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℤ)
17	16	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℤ)
18	17, 4	sylan 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 − 𝑁) ∈ ℤ)
19	18	zred 11358	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 − 𝑁) ∈ ℝ)
20		zre 11258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
21	20	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
22		nnrp 11718	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝑊) ∈ ℕ → (#‘𝑊) ∈ ℝ+)
23	22	ad3antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (#‘𝑊) ∈ ℝ+)
24		modaddmod 12571	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 − 𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ+) → ((((𝐼 − 𝑁) mod (#‘𝑊)) + 𝑁) mod (#‘𝑊)) = (((𝐼 − 𝑁) + 𝑁) mod (#‘𝑊)))
25	19, 21, 23, 24	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐼 − 𝑁) mod (#‘𝑊)) + 𝑁) mod (#‘𝑊)) = (((𝐼 − 𝑁) + 𝑁) mod (#‘𝑊)))
26		nn0cn 11179	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℂ)
27	26	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℂ)
28		zcn 11259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
29		npcan 10169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐼 − 𝑁) + 𝑁) = 𝐼)
30	27, 28, 29	syl2an 493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐼 − 𝑁) + 𝑁) = 𝐼)
31	30	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐼 − 𝑁) + 𝑁) mod (#‘𝑊)) = (𝐼 mod (#‘𝑊)))
32		zmodidfzoimp 12562	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → (𝐼 mod (#‘𝑊)) = 𝐼)
33	32	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 mod (#‘𝑊)) = 𝐼)
34	25, 31, 33	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐼 − 𝑁) mod (#‘𝑊)) + 𝑁) mod (#‘𝑊)) = 𝐼)
35	34	fveq2d 6107	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (#‘𝑊)) + 𝑁) mod (#‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼))
36	35	ex 449	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (#‘𝑊)) + 𝑁) mod (#‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼)))
37	36	ex 449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ) → (𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (#‘𝑊)) + 𝑁) mod (#‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼))))
38	37	3adant3 1074	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (#‘𝑊)) → (𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (#‘𝑊)) + 𝑁) mod (#‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼))))
39	1, 38	sylbi 206	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → (𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (#‘𝑊)) + 𝑁) mod (#‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼))))
40	39	pm2.43i 50	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (#‘𝑊)) + 𝑁) mod (#‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼)))
41	40	impcom 445	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (#‘𝑊)) + 𝑁) mod (#‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼))
42	41	3adant1 1072	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊‘((((𝐼 − 𝑁) mod (#‘𝑊)) + 𝑁) mod (#‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼))
43	15, 42	eqtrd 2644	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 cyclShift 𝑁)‘((𝐼 − 𝑁) mod (#‘𝑊))) = (𝑊‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818   < clt 9953   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℝ⁺crp 11708  ..^cfzo 12334   mod cmo 12530  #chash 12979  Word cword 13146   cyclShift ccsh 13385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-substr 13158  df-csh 13386

This theorem is referenced by: (None)