Theorem zntoslem 19724

Description: Lemma for zntos 19725. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znle2.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znle2.f	⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
znle2.w	⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
znle2.l	⊢ ≤ = (le‘𝑌)
znleval.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
zntoslem	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ Toset)

Proof of Theorem zntoslem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znle2.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2		fvex 6113	. . . . 5 ⊢ (ℤ/nℤ‘𝑁) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2684	. . . 4 ⊢ 𝑌 ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ V)
5		znleval.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑌)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑋 = (Base‘𝑌))
7		znle2.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝑌)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ≤ = (le‘𝑌))
9		znle2.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
10		znle2.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
11	1, 5, 9, 10	znf1o 19719	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐹:𝑊–1-1-onto→𝑋)
12		f1ocnv 6062	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝑊–1-1-onto→𝑋 → ◡𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑊)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ◡𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑊)
14		f1of 6050	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑊 → ◡𝐹:𝑋⟶𝑊)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ◡𝐹:𝑋⟶𝑊)
16		sseq1 3589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤ = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → (ℤ ⊆ ℤ ↔ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ))
17		sseq1 3589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0..^𝑁) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → ((0..^𝑁) ⊆ ℤ ↔ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ))
18		ssid 3587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℤ ⊆ ℤ
19		elfzoelz 12339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
20	19	ssriv 3572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^𝑁) ⊆ ℤ
21	16, 17, 18, 20	keephyp 4102	. . . . . . . . 9 ⊢ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ
22	10, 21	eqsstri 3598	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 ⊆ ℤ
23		zssre 11261	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
24	22, 23	sstri 3577	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 ⊆ ℝ
25		fss 5969	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐹:𝑋⟶𝑊 ∧ 𝑊 ⊆ ℝ) → ◡𝐹:𝑋⟶ℝ)
26	15, 24, 25	sylancl 693	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ◡𝐹:𝑋⟶ℝ)
27	26	ffvelrnda 6267	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (◡𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
28	27	leidd 10473	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑥))
29	1, 9, 10, 7, 5	znleval2 19723	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ≤ 𝑥 ↔ (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑥)))
30	29	3anidm23 1377	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ≤ 𝑥 ↔ (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑥)))
31	28, 30	mpbird 246	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ≤ 𝑥)
32	1, 9, 10, 7, 5	znleval2 19723	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦)))
33	1, 9, 10, 7, 5	znleval2 19723	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑥)))
34	33	3com23 1263	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑥)))
35	32, 34	anbi12d 743	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ ((◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦) ∧ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑥))))
36	27	3adant3 1074	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (◡𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
37	26	ffvelrnda 6267	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (◡𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
38	37	3adant2 1073	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (◡𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
39	36, 38	letri3d 10058	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((◡𝐹‘𝑥) = (◡𝐹‘𝑦) ↔ ((◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦) ∧ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑥))))
40		f1of1 6049	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝐹:𝑋–1-1-onto→𝑊 → ◡𝐹:𝑋–1-1→𝑊)
41	13, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ◡𝐹:𝑋–1-1→𝑊)
42		f1fveq 6420	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐹:𝑋–1-1→𝑊 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝑥) = (◡𝐹‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
43	41, 42	sylan 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → ((◡𝐹‘𝑥) = (◡𝐹‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
44	43	3impb 1252	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((◡𝐹‘𝑥) = (◡𝐹‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
45	35, 39, 44	3bitr2d 295	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ 𝑥 = 𝑦))
46	45	biimpd 218	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑥) → 𝑥 = 𝑦))
47	27	3ad2antr1 1219	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (◡𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
48	37	3ad2antr2 1220	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (◡𝐹‘𝑦) ∈ ℝ)
49	26	ffvelrnda 6267	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (◡𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
50	49	3ad2antr3 1221	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (◡𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
51		letr 10010	. . . . 5 ⊢ (((◡𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (◡𝐹‘𝑦) ∈ ℝ ∧ (◡𝐹‘𝑧) ∈ ℝ) → (((◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦) ∧ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑧)) → (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑧)))
52	47, 48, 50, 51	syl3anc 1318	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (((◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦) ∧ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑧)) → (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑧)))
53	32	3adant3r3 1268	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦)))
54	1, 9, 10, 7, 5	znleval2 19723	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦 ≤ 𝑧 ↔ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑧)))
55	54	3adant3r1 1266	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑦 ≤ 𝑧 ↔ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑧)))
56	53, 55	anbi12d 743	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) ↔ ((◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦) ∧ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑧))))
57	1, 9, 10, 7, 5	znleval2 19723	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑥 ≤ 𝑧 ↔ (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑧)))
58	57	3adant3r2 1267	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑥 ≤ 𝑧 ↔ (◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑧)))
59	52, 56, 58	3imtr4d 282	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑥 ≤ 𝑧))
60	4, 6, 8, 31, 46, 59	isposd 16778	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ Poset)
61	36, 38	letrid 10068	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦) ∨ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑥)))
62	32, 34	orbi12d 742	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → ((𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ ((◡𝐹‘𝑥) ≤ (◡𝐹‘𝑦) ∨ (◡𝐹‘𝑦) ≤ (◡𝐹‘𝑥))))
63	61, 62	mpbird 246	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥))
64	63	3expb 1258	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥))
65	64	ralrimivva 2954	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥))
66	5, 7	istos 16858	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ Toset ↔ (𝑌 ∈ Poset ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝑥 ≤ 𝑦 ∨ 𝑦 ≤ 𝑥)))
67	60, 65, 66	sylanbrc 695	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ Toset)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ifcif 4036   class class class wbr 4583  ^◡ccnv 5037   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   ≤ cle 9954  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ..^cfzo 12334  Basecbs 15695  lecple 15775  Posetcpo 16763  Tosetctos 16856  ℤRHomczrh 19667  ℤ/nℤczn 19670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-dvds 14822  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-imas 15991  df-qus 15992  df-poset 16769  df-toset 16857  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-nsg 17415  df-eqg 17416  df-ghm 17481  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-rnghom 18538  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-lidl 18995  df-rsp 18996  df-2idl 19053  df-cnfld 19568  df-zring 19638  df-zrh 19671  df-zn 19674

This theorem is referenced by:  zntos  19725