Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrds1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrds1 13303
 Description: Extract a single symbol from a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
swrds1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)

Proof of Theorem swrds1
StepHypRef Expression
1 swrdcl 13271 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ∈ Word 𝐴)
21adantr 480 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ∈ Word 𝐴)
3 simpl 472 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
4 elfzouz 12343 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → 𝐼 ∈ (ℤ‘0))
54adantl 481 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝐼 ∈ (ℤ‘0))
6 elfzoelz 12339 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℤ)
76adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℤ)
8 uzid 11578 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ (ℤ𝐼))
9 peano2uz 11617 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (ℤ𝐼) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ𝐼))
107, 8, 93syl 18 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ𝐼))
11 elfzuzb 12207 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)) ↔ (𝐼 ∈ (ℤ‘0) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (ℤ𝐼)))
125, 10, 11sylanbrc 695 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)))
13 fzofzp1 12431 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
1413adantl 481 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
15 swrdlen 13275 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → (#‘(𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)) = ((𝐼 + 1) − 𝐼))
163, 12, 14, 15syl3anc 1318 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (#‘(𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)) = ((𝐼 + 1) − 𝐼))
177zcnd 11359 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℂ)
18 ax-1cn 9873 . . . . 5 1 ∈ ℂ
19 pncan2 10167 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐼 + 1) − 𝐼) = 1)
2017, 18, 19sylancl 693 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝐼 + 1) − 𝐼) = 1)
2116, 20eqtrd 2644 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (#‘(𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)) = 1)
22 eqs1 13245 . . 3 (((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ∈ Word 𝐴 ∧ (#‘(𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)) = 1) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0)”⟩)
232, 21, 22syl2anc 691 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0)”⟩)
24 0z 11265 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
25 snidg 4153 . . . . . . 7 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ {0})
2624, 25ax-mp 5 . . . . . 6 0 ∈ {0}
2720oveq2d 6565 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (0..^((𝐼 + 1) − 𝐼)) = (0..^1))
28 fzo01 12417 . . . . . . 7 (0..^1) = {0}
2927, 28syl6eq 2660 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (0..^((𝐼 + 1) − 𝐼)) = {0})
3026, 29syl5eleqr 2695 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 0 ∈ (0..^((𝐼 + 1) − 𝐼)))
31 swrdfv 13276 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) ∧ 0 ∈ (0..^((𝐼 + 1) − 𝐼))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘(0 + 𝐼)))
323, 12, 14, 30, 31syl31anc 1321 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘(0 + 𝐼)))
33 addid2 10098 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℂ → (0 + 𝐼) = 𝐼)
3433eqcomd 2616 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℂ → 𝐼 = (0 + 𝐼))
3517, 34syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝐼 = (0 + 𝐼))
3635fveq2d 6107 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘(0 + 𝐼)))
3732, 36eqtr4d 2647 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0) = (𝑊𝐼))
3837s1eqd 13234 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ⟨“((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0)”⟩ = ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)
3923, 38eqtrd 2644 1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {csn 4125  ⟨cop 4131  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   − cmin 10145  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146  ⟨“cs1 13149   substr csubstr 13150 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-s1 13157  df-substr 13158 This theorem is referenced by:  swrdlsw  13304  swrdccatwrd  13320  wrdeqs1cat  13326  swrds2  13533  pfx1  40274
 Copyright terms: Public domain W3C validator