Theorem elfzoelz 11793

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoelz	|- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ZZ )

Proof of Theorem elfzoelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 11791	. . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B e. ZZ )
2		elfzoel2 11792	. . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> C e. ZZ )
3		fzof 11790	. . . . 5 |- ..^ : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ
4	3	fovcl 6389	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B..^ C ) e. ~P ZZ )
5	1, 2, 4	syl2anc 661	. . 3 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( B..^ C ) e. ~P ZZ )
6	5	elpwid 4020	. 2 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( B..^ C ) C_ ZZ )
7		id 22	. 2 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ( B..^ C ) )
8	6, 7	sseldd 3505	1 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1767   ~Pcpw 4010  (class class class)co 6282   ZZcz 10860  ..^cfzo 11788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-neg 9804  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789

This theorem is referenced by:  elfzo2  11796  elfzole1  11800  elfzolt2  11801  elfzolt3  11802  elfzolt2b  11803  elfzouz2  11806  fzonnsub  11814  fzospliti  11821  fzodisj  11823  fzonmapblen  11832  fzoaddel  11837  fzosubel  11839  elfznelfzob  11880  modaddmodup  12014  modaddmodlo  12015  wrdexg  12519  ccatval3  12558  ccatlid  12564  ccatass  12566  swrd0val  12607  swrdid  12611  swrd0fv  12625  swrdspsleq  12632  swrds1  12635  ccatswrd  12640  swrdswrd  12644  swrdccatin12lem2a  12669  swrdccatin2  12671  swrdccatin12lem2  12673  splfv1  12690  splfv2a  12691  revccat  12699  revrev  12700  repswrevw  12717  cshwidxmod  12733  cshwidx0  12735  cshwidxm1  12736  cshweqrep  12748  cshw1  12749  cshco  12761  fzomaxdiflem  13134  fzomaxdif  13135  fzo0dvdseq  13894  fzocongeq  13895  crt  14163  phimullem  14164  eulerthlem1  14166  eulerthlem2  14167  reumodprminv  14184  modprm0  14185  nnnn0modprm0  14186  modprmn0modprm0  14187  cshwshashlem2  14435  cshwshashlem3  14436  cshwrepswhash1  14441  psgnunilem5  16315  odf1o2  16389  odngen  16393  efgsp1  16551  efgsres  16552  znf1o  18357  zntoslem  18362  znunithash  18370  dvfsumle  22157  dvfsumabs  22159  dchrisumlem1  23402  dchrisumlem2  23403  dchrisum  23405  pntlemq  23514  pntlemr  23515  pntlemj  23516  pntlemi  23517  pntlemf  23518  wlkdvspthlem  24285  fargshiftf1  24313  clwwisshclwwlem  24482  clwwisshclww  24483  eupatrl  24644  signsvfn  28179  hashgcdlem  30762  hashgcdeq  30763  phisum  30764  elfzop1le2  31055  iblspltprt  31291  itgspltprt  31297  stoweidlem3  31303  fourierdlem12  31419  fourierdlem20  31427  fourierdlem46  31453  fourierdlem50  31457  fourierdlem54  31461  fourierdlem63  31470  fourierdlem65  31472  fourierdlem76  31483  fourierdlem79  31486  fourierdlem102  31509  fourierdlem103  31510  fourierdlem104  31511  fourierdlem114  31521