MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzoelz Unicode version

Theorem elfzoelz 11095
Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzoelz  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  A  e.  ZZ )

Proof of Theorem elfzoelz
StepHypRef Expression
1 elfzoel1 11093 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  B  e.  ZZ )
2 elfzoel2 11094 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  C  e.  ZZ )
3 fzof 11092 . . . . 5  |- ..^ : ( ZZ  X.  ZZ ) --> ~P ZZ
43fovcl 6134 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( B..^ C )  e.  ~P ZZ )
51, 2, 4syl2anc 643 . . 3  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  ( B..^ C )  e.  ~P ZZ )
65elpwid 3768 . 2  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  ( B..^ C )  C_  ZZ )
7 id 20 . 2  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  A  e.  ( B..^ C ) )
86, 7sseldd 3309 1  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  A  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721   ~Pcpw 3759  (class class class)co 6040   ZZcz 10238  ..^cfzo 11090
This theorem is referenced by:  elfzo2  11098  elfzole1  11102  elfzolt2  11103  elfzolt3  11104  elfzolt2b  11105  elfzouz2  11108  fzonnsub  11115  fzospliti  11120  fzodisj  11122  fzoaddel  11130  fzosubel  11132  elfznelfzob  11148  wrdexg  11694  ccatval3  11702  ccatlid  11703  ccatass  11705  swrd0val  11723  swrdid  11727  ccatswrd  11728  splfv1  11739  splfv2a  11740  swrds1  11742  revccat  11753  revrev  11754  fzomaxdiflem  12101  fzomaxdif  12102  fzo0dvdseq  12857  fzocongeq  12858  crt  13122  phimullem  13123  eulerthlem1  13125  eulerthlem2  13126  odf1o2  15162  odngen  15166  efgsp1  15324  efgsres  15325  znf1o  16787  zntoslem  16792  znunithash  16800  dvfsumle  19858  dvfsumabs  19860  dchrisumlem1  21136  dchrisumlem2  21137  dchrisum  21139  pntlemq  21248  pntlemr  21249  pntlemj  21250  pntlemi  21251  pntlemf  21252  wlkdvspthlem  21560  fargshiftf1  21577  eupatrl  21643  psgnunilem5  27285  hashgcdlem  27384  hashgcdeq  27385  phisum  27386  stoweidlem3  27619  swrdswrd  28011  swrdccatin12lem3a  28021  swrdccatin12lem3  28024
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-neg 9250  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091
  Copyright terms: Public domain W3C validator