Theorem elfzoelz 11545

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoelz	|- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ZZ )

Proof of Theorem elfzoelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 11543	. . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B e. ZZ )
2		elfzoel2 11544	. . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> C e. ZZ )
3		fzof 11542	. . . . 5 |- ..^ : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ
4	3	fovcl 6190	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B..^ C ) e. ~P ZZ )
5	1, 2, 4	syl2anc 661	. . 3 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( B..^ C ) e. ~P ZZ )
6	5	elpwid 3865	. 2 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( B..^ C ) C_ ZZ )
7		id 22	. 2 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ( B..^ C ) )
8	6, 7	sseldd 3352	1 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1756   ~Pcpw 3855  (class class class)co 6086   ZZcz 10638  ..^cfzo 11540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-neg 9590  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541

This theorem is referenced by:  elfzo2  11548  elfzole1  11552  elfzolt2  11553  elfzolt3  11554  elfzolt2b  11555  elfzouz2  11558  fzonnsub  11566  fzospliti  11573  fzodisj  11575  fzonmapblen  11584  fzoaddel  11589  fzosubel  11591  elfznelfzob  11623  modaddmodup  11754  modaddmodlo  11755  wrdexg  12236  ccatval3  12270  ccatlid  12276  ccatass  12278  swrd0val  12309  swrdid  12313  swrd0fv  12327  swrdspsleq  12334  swrds1  12337  ccatswrd  12342  swrdswrd  12346  swrdccatin12lem2a  12368  swrdccatin2  12370  swrdccatin12lem2  12372  splfv1  12389  splfv2a  12390  revccat  12398  revrev  12399  repswrevw  12416  cshwidxmod  12432  cshwidx0  12434  cshwidxm1  12435  cshweqrep  12447  cshw1  12448  cshco  12456  fzomaxdiflem  12822  fzomaxdif  12823  fzo0dvdseq  13578  fzocongeq  13579  crt  13845  phimullem  13846  eulerthlem1  13848  eulerthlem2  13849  reumodprminv  13864  modprm0  13865  nnnn0modprm0  13866  modprmn0modprm0  13867  cshwshashlem2  14115  cshwshashlem3  14116  cshwrepswhash1  14121  psgnunilem5  15991  odf1o2  16063  odngen  16067  efgsp1  16225  efgsres  16226  znf1o  17959  zntoslem  17964  znunithash  17972  dvfsumle  21468  dvfsumabs  21470  dchrisumlem1  22713  dchrisumlem2  22714  dchrisum  22716  pntlemq  22825  pntlemr  22826  pntlemj  22827  pntlemi  22828  pntlemf  22829  wlkdvspthlem  23457  fargshiftf1  23474  eupatrl  23540  signsvfn  26935  hashgcdlem  29518  hashgcdeq  29519  phisum  29520  stoweidlem3  29751  clwwisshclwwlem  30423  clwwisshclww  30424