Theorem elfzoelz 11537

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoelz	|- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ZZ )

Proof of Theorem elfzoelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 11535	. . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B e. ZZ )
2		elfzoel2 11536	. . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> C e. ZZ )
3		fzof 11534	. . . . 5 |- ..^ : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ
4	3	fovcl 6184	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B..^ C ) e. ~P ZZ )
5	1, 2, 4	syl2anc 654	. . 3 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( B..^ C ) e. ~P ZZ )
6	5	elpwid 3858	. 2 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( B..^ C ) C_ ZZ )
7		id 22	. 2 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ( B..^ C ) )
8	6, 7	sseldd 3345	1 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1755   ~Pcpw 3848  (class class class)co 6080   ZZcz 10634  ..^cfzo 11532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-neg 9586  df-z 10635  df-uz 10850  df-fz 11425  df-fzo 11533

This theorem is referenced by:  elfzo2  11540  elfzole1  11544  elfzolt2  11545  elfzolt3  11546  elfzolt2b  11547  elfzouz2  11550  fzonnsub  11558  fzospliti  11565  fzodisj  11567  fzonmapblen  11576  fzoaddel  11581  fzosubel  11583  elfznelfzob  11615  modaddmodup  11746  modaddmodlo  11747  wrdexg  12228  ccatval3  12262  ccatlid  12268  ccatass  12270  swrd0val  12301  swrdid  12305  swrd0fv  12319  swrdspsleq  12326  swrds1  12329  ccatswrd  12334  swrdswrd  12338  swrdccatin12lem2a  12360  swrdccatin2  12362  swrdccatin12lem2  12364  splfv1  12381  splfv2a  12382  revccat  12390  revrev  12391  repswrevw  12408  cshwidxmod  12424  cshwidx0  12426  cshwidxm1  12427  cshweqrep  12439  cshw1  12440  cshco  12448  fzomaxdiflem  12814  fzomaxdif  12815  fzo0dvdseq  13569  fzocongeq  13570  crt  13836  phimullem  13837  eulerthlem1  13839  eulerthlem2  13840  reumodprminv  13855  modprm0  13856  nnnn0modprm0  13857  modprmn0modprm0  13858  cshwshashlem2  14106  cshwshashlem3  14107  cshwrepswhash1  14112  psgnunilem5  15980  odf1o2  16052  odngen  16056  efgsp1  16214  efgsres  16215  znf1o  17826  zntoslem  17831  znunithash  17839  dvfsumle  21335  dvfsumabs  21337  dchrisumlem1  22623  dchrisumlem2  22624  dchrisum  22626  pntlemq  22735  pntlemr  22736  pntlemj  22737  pntlemi  22738  pntlemf  22739  wlkdvspthlem  23329  fargshiftf1  23346  eupatrl  23412  signsvfn  26831  hashgcdlem  29410  hashgcdeq  29411  phisum  29412  stoweidlem3  29644  clwwisshclwwlem  30316  clwwisshclww  30317