MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzoelz Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem elfzoelz 11950
Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzoelz  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  A  e.  ZZ )

Proof of Theorem elfzoelz
StepHypRef Expression
1 elfzoel1 11948 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  B  e.  ZZ )
2 elfzoel2 11949 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  C  e.  ZZ )
3 fzof 11947 . . . . 5  |- ..^ : ( ZZ  X.  ZZ ) --> ~P ZZ
43fovcl 6427 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( B..^ C )  e.  ~P ZZ )
51, 2, 4syl2anc 671 . . 3  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  ( B..^ C )  e.  ~P ZZ )
65elpwid 3972 . 2  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  ( B..^ C )  C_  ZZ )
7 id 22 . 2  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  A  e.  ( B..^ C ) )
86, 7sseldd 3444 1  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  A  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1897   ~Pcpw 3962  (class class class)co 6314   ZZcz 10965  ..^cfzo 11945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-id 4767  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-fv 5608  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-neg 9888  df-z 10966  df-uz 11188  df-fz 11813  df-fzo 11946
This theorem is referenced by:  elfzo2  11953  elfzole1  11958  elfzolt2  11959  elfzolt3  11960  elfzolt2b  11961  elfzouz2  11964  fzonnsub  11973  fzospliti  11980  fzodisj  11982  fzonmapblen  11991  fzoaddel  11997  elincfzoext  12002  fzosubel  12003  elfznelfzob  12045  modaddmodup  12184  modaddmodlo  12185  wrdexg  12714  ccatval3  12759  ccatlid  12765  ccatass  12767  ccatrn  12768  swrd0val  12813  swrdid  12820  swrd0fv  12831  swrdfv2  12838  swrds1  12843  ccatswrd  12848  swrdswrd  12852  swrdccatin12lem2a  12877  swrdccatin2  12879  swrdccatin12lem2  12881  splfv1  12898  splfv2a  12899  revccat  12907  revrev  12908  repswrevw  12925  cshwidxmod  12941  cshwidx0  12943  cshwidxm1  12944  cshweqrep  12956  cshw1  12957  cshco  12969  fzomaxdiflem  13453  fzomaxdif  13454  fzo0dvdseq  14406  fzocongeq  14407  crt  14774  phimullem  14775  eulerthlem1  14777  eulerthlem2  14778  reumodprminv  14803  modprm0  14804  nnnn0modprm0  14805  modprmn0modprm0  14806  prmgaplem7  15075  cshwshashlem2  15115  cshwshashlem3  15116  cshwrepswhash1  15121  psgnunilem5  17183  odf1o2  17270  odngen  17274  efgsp1  17435  efgsres  17436  znf1o  19170  zntoslem  19175  znunithash  19183  dvfsumle  23021  dvfsumabs  23023  dchrisumlem1  24375  dchrisumlem2  24376  dchrisum  24378  pntlemq  24487  pntlemr  24488  pntlemj  24489  pntlemi  24490  pntlemf  24491  wlkdvspthlem  25385  fargshiftf1  25413  clwwisshclwwlem  25582  clwwisshclww  25583  eupatrl  25744  signsvfn  29519  poimirlem8  31992  poimirlem18  32002  poimirlem21  32005  poimirlem22  32006  poimirlem24  32008  hashgcdlem  36118  hashgcdeq  36119  phisum  36120  elfzop1le2  37540  iblspltprt  37887  itgspltprt  37893  stoweidlem3  37900  fourierdlem12  38018  fourierdlem20  38026  fourierdlem46  38053  fourierdlem50  38057  fourierdlem54  38061  fourierdlem63  38070  fourierdlem64  38071  fourierdlem65  38072  fourierdlem76  38083  fourierdlem79  38086  fourierdlem102  38109  fourierdlem103  38110  fourierdlem104  38111  fourierdlem114  38121  iundjiun  38335  carageniuncllem1  38379  caratheodorylem1  38384  iccpartipre  38772  iccpartiltu  38773  iccpartigtl  38774  iccpartgt  38778  icceuelpartlem  38786  icceuelpart  38787  iccpartnel  38789  bgoldbtbndlem2  38938  pfxfv  38979  ccatpfx  38989  pfxccatin12lem2  39004  1wlk1walk  39696  pthdadjvtx  39762  m1modmmod  40596  fllog2  40651  nn0sumshdiglemA  40702  nn0sumshdiglemB  40703  nn0mullong  40708
  Copyright terms: Public domain W3C validator