Theorem elfzoelz 11669

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoelz	|- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ZZ )

Proof of Theorem elfzoelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 11667	. . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B e. ZZ )
2		elfzoel2 11668	. . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> C e. ZZ )
3		fzof 11666	. . . . 5 |- ..^ : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ
4	3	fovcl 6304	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B..^ C ) e. ~P ZZ )
5	1, 2, 4	syl2anc 661	. . 3 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( B..^ C ) e. ~P ZZ )
6	5	elpwid 3977	. 2 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( B..^ C ) C_ ZZ )
7		id 22	. 2 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ( B..^ C ) )
8	6, 7	sseldd 3464	1 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1758   ~Pcpw 3967  (class class class)co 6199   ZZcz 10756  ..^cfzo 11664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-id 4743  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-fv 5533  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-neg 9708  df-z 10757  df-uz 10972  df-fz 11554  df-fzo 11665

This theorem is referenced by:  elfzo2  11672  elfzole1  11676  elfzolt2  11677  elfzolt3  11678  elfzolt2b  11679  elfzouz2  11682  fzonnsub  11690  fzospliti  11697  fzodisj  11699  fzonmapblen  11708  fzoaddel  11713  fzosubel  11715  elfznelfzob  11747  modaddmodup  11878  modaddmodlo  11879  wrdexg  12361  ccatval3  12395  ccatlid  12401  ccatass  12403  swrd0val  12434  swrdid  12438  swrd0fv  12452  swrdspsleq  12459  swrds1  12462  ccatswrd  12467  swrdswrd  12471  swrdccatin12lem2a  12493  swrdccatin2  12495  swrdccatin12lem2  12497  splfv1  12514  splfv2a  12515  revccat  12523  revrev  12524  repswrevw  12541  cshwidxmod  12557  cshwidx0  12559  cshwidxm1  12560  cshweqrep  12572  cshw1  12573  cshco  12581  fzomaxdiflem  12947  fzomaxdif  12948  fzo0dvdseq  13703  fzocongeq  13704  crt  13970  phimullem  13971  eulerthlem1  13973  eulerthlem2  13974  reumodprminv  13989  modprm0  13990  nnnn0modprm0  13991  modprmn0modprm0  13992  cshwshashlem2  14240  cshwshashlem3  14241  cshwrepswhash1  14246  psgnunilem5  16118  odf1o2  16192  odngen  16196  efgsp1  16354  efgsres  16355  znf1o  18108  zntoslem  18113  znunithash  18121  dvfsumle  21625  dvfsumabs  21627  dchrisumlem1  22870  dchrisumlem2  22871  dchrisum  22873  pntlemq  22982  pntlemr  22983  pntlemj  22984  pntlemi  22985  pntlemf  22986  wlkdvspthlem  23657  fargshiftf1  23674  eupatrl  23740  signsvfn  27126  hashgcdlem  29712  hashgcdeq  29713  phisum  29714  stoweidlem3  29945  clwwisshclwwlem  30617  clwwisshclww  30618