MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfzoelz Structured version   Unicode version

Theorem elfzoelz 11804
Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzoelz  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  A  e.  ZZ )

Proof of Theorem elfzoelz
StepHypRef Expression
1 elfzoel1 11802 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  B  e.  ZZ )
2 elfzoel2 11803 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  C  e.  ZZ )
3 fzof 11801 . . . . 5  |- ..^ : ( ZZ  X.  ZZ ) --> ~P ZZ
43fovcl 6380 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( B..^ C )  e.  ~P ZZ )
51, 2, 4syl2anc 659 . . 3  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  ( B..^ C )  e.  ~P ZZ )
65elpwid 4009 . 2  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  ( B..^ C )  C_  ZZ )
7 id 22 . 2  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  A  e.  ( B..^ C ) )
86, 7sseldd 3490 1  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  A  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1823   ~Pcpw 3999  (class class class)co 6270   ZZcz 10860  ..^cfzo 11799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-neg 9799  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800
This theorem is referenced by:  elfzo2  11807  elfzole1  11812  elfzolt2  11813  elfzolt3  11814  elfzolt2b  11815  elfzouz2  11818  fzonnsub  11827  fzospliti  11834  fzodisj  11836  fzonmapblen  11845  fzoaddel  11850  elincfzoext  11855  fzosubel  11856  elfznelfzob  11897  modaddmodup  12035  modaddmodlo  12036  wrdexg  12547  ccatval3  12589  ccatlid  12595  ccatass  12597  ccatrn  12598  swrd0val  12640  swrdid  12647  swrd0fv  12658  swrdfv2  12665  swrds1  12670  ccatswrd  12675  swrdswrd  12679  swrdccatin12lem2a  12704  swrdccatin2  12706  swrdccatin12lem2  12708  splfv1  12725  splfv2a  12726  revccat  12734  revrev  12735  repswrevw  12752  cshwidxmod  12768  cshwidx0  12770  cshwidxm1  12771  cshweqrep  12783  cshw1  12784  cshco  12796  fzomaxdiflem  13260  fzomaxdif  13261  fzo0dvdseq  14126  fzocongeq  14127  crt  14395  phimullem  14396  eulerthlem1  14398  eulerthlem2  14399  reumodprminv  14416  modprm0  14417  nnnn0modprm0  14418  modprmn0modprm0  14419  cshwshashlem2  14668  cshwshashlem3  14669  cshwrepswhash1  14674  psgnunilem5  16721  odf1o2  16795  odngen  16799  efgsp1  16957  efgsres  16958  znf1o  18766  zntoslem  18771  znunithash  18779  dvfsumle  22591  dvfsumabs  22593  dchrisumlem1  23875  dchrisumlem2  23876  dchrisum  23878  pntlemq  23987  pntlemr  23988  pntlemj  23989  pntlemi  23990  pntlemf  23991  wlkdvspthlem  24814  fargshiftf1  24842  clwwisshclwwlem  25011  clwwisshclww  25012  eupatrl  25173  signsvfn  28806  hashgcdlem  31401  hashgcdeq  31402  phisum  31403  elfzop1le2  31721  iblspltprt  32014  itgspltprt  32020  stoweidlem3  32027  fourierdlem12  32143  fourierdlem20  32151  fourierdlem46  32177  fourierdlem50  32181  fourierdlem54  32185  fourierdlem63  32194  fourierdlem64  32195  fourierdlem65  32196  fourierdlem76  32207  fourierdlem79  32210  fourierdlem102  32233  fourierdlem103  32234  fourierdlem104  32235  fourierdlem114  32245  pfxfv  32646  ccatpfx  32656  pfxccatin12lem2  32671  m1modmmod  33407  fllog2  33462  nn0sumshdiglemA  33513  nn0sumshdiglemB  33514  nn0mullong  33519
  Copyright terms: Public domain W3C validator