Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odngen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odngen 17815
 Description: A cyclic subgroup of size (𝑂‘𝐴) has (ϕ‘(𝑂‘𝐴)) generators. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odhash.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
odhash.o 𝑂 = (od‘𝐺)
odhash.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
odngen ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (#‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}) = (ϕ‘(𝑂𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝑂   𝑥,𝑋

Proof of Theorem odngen
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . 4 (𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)) = (𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴))
21mptpreima 5545 . . 3 ((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}) = {𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∣ (𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}}
32fveq2i 6106 . 2 (#‘((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)})) = (#‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∣ (𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}})
4 odhash.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
5 eqid 2610 . . . . 5 (.g𝐺) = (.g𝐺)
6 odhash.o . . . . 5 𝑂 = (od‘𝐺)
7 odhash.k . . . . 5 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
84, 5, 6, 7odf1o2 17811 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))
9 f1ocnv 6062 . . . 4 ((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)):(0..^(𝑂𝐴))–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}) → (𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1-onto→(0..^(𝑂𝐴)))
10 f1of1 6049 . . . 4 ((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1-onto→(0..^(𝑂𝐴)) → (𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1→(0..^(𝑂𝐴)))
118, 9, 103syl 18 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1→(0..^(𝑂𝐴)))
12 ssrab2 3650 . . 3 {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)} ⊆ (𝐾‘{𝐴})
13 fvex 6113 . . . . . 6 (𝐾‘{𝐴}) ∈ V
1413rabex 4740 . . . . 5 {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)} ∈ V
1514f1imaen 7904 . . . 4 (((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1→(0..^(𝑂𝐴)) ∧ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)} ⊆ (𝐾‘{𝐴})) → ((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}) ≈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)})
16 hasheni 12998 . . . 4 (((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}) ≈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)} → (#‘((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)})) = (#‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}))
1715, 16syl 17 . . 3 (((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)):(𝐾‘{𝐴})–1-1→(0..^(𝑂𝐴)) ∧ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)} ⊆ (𝐾‘{𝐴})) → (#‘((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)})) = (#‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}))
1811, 12, 17sylancl 693 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (#‘((𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ↦ (𝑦(.g𝐺)𝐴)) “ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)})) = (#‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}))
19 simpl1 1057 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → 𝐺 ∈ Grp)
20 simpl2 1058 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → 𝐴𝑋)
21 elfzoelz 12339 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) → 𝑦 ∈ ℤ)
2221adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → 𝑦 ∈ ℤ)
234, 5, 7cycsubg2cl 17455 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}))
2419, 20, 22, 23syl3anc 1318 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → (𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}))
25 fveq2 6103 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦(.g𝐺)𝐴) → (𝑂𝑥) = (𝑂‘(𝑦(.g𝐺)𝐴)))
2625eqeq1d 2612 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦(.g𝐺)𝐴) → ((𝑂𝑥) = (𝑂𝐴) ↔ (𝑂‘(𝑦(.g𝐺)𝐴)) = (𝑂𝐴)))
2726elrab3 3332 . . . . . . 7 ((𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}) → ((𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)} ↔ (𝑂‘(𝑦(.g𝐺)𝐴)) = (𝑂𝐴)))
2824, 27syl 17 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → ((𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)} ↔ (𝑂‘(𝑦(.g𝐺)𝐴)) = (𝑂𝐴)))
29 simpl3 1059 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
304, 6, 5odmulgeq 17797 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘(𝑦(.g𝐺)𝐴)) = (𝑂𝐴) ↔ (𝑦 gcd (𝑂𝐴)) = 1))
3119, 20, 22, 29, 30syl31anc 1321 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → ((𝑂‘(𝑦(.g𝐺)𝐴)) = (𝑂𝐴) ↔ (𝑦 gcd (𝑂𝐴)) = 1))
3228, 31bitrd 267 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴))) → ((𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)} ↔ (𝑦 gcd (𝑂𝐴)) = 1))
3332rabbidva 3163 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → {𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∣ (𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}} = {𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∣ (𝑦 gcd (𝑂𝐴)) = 1})
3433fveq2d 6107 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (#‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∣ (𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}}) = (#‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∣ (𝑦 gcd (𝑂𝐴)) = 1}))
35 dfphi2 15317 . . . 4 ((𝑂𝐴) ∈ ℕ → (ϕ‘(𝑂𝐴)) = (#‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∣ (𝑦 gcd (𝑂𝐴)) = 1}))
36353ad2ant3 1077 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (ϕ‘(𝑂𝐴)) = (#‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∣ (𝑦 gcd (𝑂𝐴)) = 1}))
3734, 36eqtr4d 2647 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (#‘{𝑦 ∈ (0..^(𝑂𝐴)) ∣ (𝑦(.g𝐺)𝐴) ∈ {𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}}) = (ϕ‘(𝑂𝐴)))
383, 18, 373eqtr3a 2668 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (#‘{𝑥 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝐴)}) = (ϕ‘(𝑂𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900   ⊆ wss 3540  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ◡ccnv 5037   “ cima 5041  –1-1→wf1 5801  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ≈ cen 7838  0cc0 9815  1c1 9816  ℕcn 10897  ℤcz 11254  ..^cfzo 12334  #chash 12979   gcd cgcd 15054  ϕcphi 15307  Basecbs 15695  mrClscmrc 16066  Grpcgrp 17245  .gcmg 17363  SubGrpcsubg 17411  odcod 17767 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-phi 15309  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-od 17771 This theorem is referenced by:  proot1hash  36797
 Copyright terms: Public domain W3C validator